6.1平面向量的概念教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量：在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等教学目标与核心素养课程目标学科素养1.数学抽象：平面向量的概念；A.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量：B.掌握向量的模、零向量、单位向量、平3.直观想象：向量的几何表示：行向量、相等向量、共线向量等概念；C.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.D、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别E、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力教学重难点1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系课前准备多媒体
6.1 平面向量的概念 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第六章《平面向量及其 应用》，本节课是第 1 课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量 与共线向量。 本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明 了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共 线向量、相等向量等基本概念。 在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线 段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位 向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等 课程目标 学科素养 A. 了解向量的实际背景，理解平面向量 的概念和向量的几何表示； B. 掌握向量的模、零向量、单位向量、平 行向量、相等向量、共线向量等概念； C. 并会区分平行向量、相等向量和共线 向量. D、通过对向量的学习，使学生初步认识现 实生活中的向量和数量的本质区别. E、通过学生对向量与数量的识别能力的训 练，培养学生认识客观事物的数学本质的 能力. 1.数学抽象：平面向量的概念； 2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量； 3.直观想象：向量的几何表示； 1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 多媒体
教学过程教学设计意图核心素养目标一、情景引入通过生动的例子及物理知识，引入本1.老鼠以10m/s的速度向东跑，猫以50m/s的速度向西追，节新课。建立知识猫能否追上老鼠？间的联系，提高学生概括、类比推理分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的的能力。量.2.问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？质量只有大小：力、速度既有大小，又有方向。二、探索新知（一）向量的实际背景与概念1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？【答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。通过物理量路程与位移引入向量概念，2.（1）向量与数量的定义：提高学生的解决问题、分析问题的能既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中称为矢量）：力。只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称为标量）注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小，)练习：下列量不是向量的是（（1）质量（2）速度（3）位移(4)力（5）加速度（6）面积（7）年龄（8）身高提高练习，进一步巩固向量的概念。(8)【答案】（1）（6）(7)（二）向量的几何表示探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？通过探究，引入向量表示，提高学生1.有向线段的定义分析问题、概括能
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、情景引入 1. 老鼠以 10m/s 的速度向东跑，猫以 50m/s 的速度向西追， 猫能否追上老鼠？ 分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的 量. 2.问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？ 质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向。 二、探索新知 （一）向量的实际背景与概念 1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 【答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。 2.（1）向量与数量的定义： 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量). 注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大 小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向 量不能比较大小. 练习：下列量不是向量的是（ ） （1）质量 （2） 速度 （3） 位移 （4）力 （5）加速度 （6） 面积 （7）年龄 （8） 身高 【答案】（1）（6） （7） （8） （二）向量的几何表示 探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个 点表示，那么，怎么表示向量呢？ 1.有向线段的定义 通过生动的例子及 物理知识，引入本 节新课。建立知识 间的联系，提高学 生概括、类比推理 的能力。 通过物理量路程与 位移引入向量概念， 提高学生的解决问 题、分析问题的能 力。 提高练习，进一步 巩固向量的概念。 通过探究，引入向 量表示，提高学生 分析问题、概括能
力。在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的B线段叫做有向线段，（终点）A(起点)如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作ABI思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？【答案】三个要素：起点、方向、长度通过思考，进一步理解向量的表示。2．向量的几何表示画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3.向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD。若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，（书写时用注意用a,b,c….表示）.(终点)A(起点)注意：（1）.向量：与起点无关.用有向(终点)A(起点)线段表示向量时，起点可以取任意位置，数学中的向量也叫自由向:（终）A(起点)量,（2），有向线段与向量的区别：有向线段：三要素：起点、大小、方向。向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。4.向量的模向量AB的大小，就是向量AB的长度（或模），记作|AB|或记作Ial。思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设 A 为起点，B 为终 点，就说线段 AB 具有方向，具有方向的 线段叫做有向线段. 如图，以 A 为起点、B 为终点的有向线段 记作 AB . 线段 AB 的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作 | AB| . 思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 【答案】三个要素：起点、方向、长度. 2. 向量的几何表示 画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度） 画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向 量的方向. 3. 向量的表示方法： 一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 AB、CD 。 若表示向量的有向线段没有标注起点和 终点字母，向量也可用黑体字母 a，b， c，.（书写时用注意用 a,b,c 表示）. 注意：（1）.向量:与起点无关.用有向 线段表示向量时,起点可以取任意位置. 数学中的向量也叫自由向 量. （2）.有向线段与向量的区别： 有向线段：三要素：起点、大小、方向。 向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。 4.向量的模 向量 AB 的大小，就是向量 AB 的长度（或模），记作 | AB| 或记作 | a |。 思考：向量的模可以为 0 吗？可以为 1 吗？可以为负数吗？ 力。 通过思考，进一步理 解向量的表示。 A(起点) B （终点） a A(起点) B （终点） a A(起点) B （终点） a A(起点) B （终点） a
【答案】可以为0,1，不能为负数。5.零向量：长度为0的向量，记作0单位向量：长度等于1个单位的向量，说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定。（2）注意：向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C提高思考，引入特两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出殊的向量，增强对A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）概念的理解，提高学生分析问题的能解：AB表示A地至B地的位移，且IAB|~力。AC表示A地至C地的位移，且|AC|～（三）相等向量与共线向量思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同通过例题进一步理1.平行向量定义：解向量的概念，提①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任高学生用向量解决一向量平行问题的能力。说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义：（2）向量&、b、c平行，记作a//b//c2.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明：（1）向量&与b相等，记作&=b：（2.）零向量与零向量相等：（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关通过思考，引入平行向量，提高学生3.共线向量与平行向量关系：的理解问题的能力
【答案】可以为 0,1，不能为负数。 5.零向量：长度为 0 的向量，记作 0 . 单位向量：长度等于 1 个单位的向量. 说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向. 故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定. （2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可 以进行大小比较的. 例 1.在图中，分别用向量表示 A 地至 B、C 两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出 A 地至 B、C 两地的实际距离（精确到 1km） （三）.相等向量与共线向量 思考 1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 a,b ，就其模等 与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？ 【答案】模相等，方向相同； 模相等，方向不相同； 模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同； 1.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定 0 与任 一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定 义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 2.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量 相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表 示，并且与有向线段的起点无关 ．．．．．．．．．．. 3.共线向量与平行向量关系： 提高思考，引入特 殊的向量，增强对 概念的理解，提高 学生分析问题的能 力。 通过例题进一步理 解向量的概念，提 高学生用向量解决 问题的能力。 通过思考，引入平 行向量，提高学生 的理解问题的能 力
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同直线上（与有向线段的起点无关）bAB0说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。牛刀小试；填空：)（1）平行向量是否一定方向相同？（（2）不相等的向量是否一定不平行？（)（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（))（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（通过练习，进一步（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？巩固所学的向量有()关知识，提高学生解决问题的能力。)（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（)（7）共线向量一定在同一直线上吗？（【答案】（1）不一定（2）不一定（3零向量（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同（7）不一定例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，（1）写出图中的共线向量：（2）分别写出图中与向量OA、OB、OC相等通过例题的讲解，的向量.让学生进一步理解共线向量、相等向解：（1)OA，CB，DO.FE是共线向量：量，提高学生解决OB，DC，EO.AF是共线向量；与分析问题的能OC，AB，ED，FO是共线向量力。(2)OA-CB-DO,OB-DC-EO:OC-AB-ED-FO.三、达标检测1．下列说法中正确的个数是(
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一 直线上（与有向线段的起点无关） ．．．．．．．．．．．. 说明： （1） 平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2） 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 牛刀小试; 填空： （1）平行向量是否一定方向相同？（ ） （2）不相等的向量是否一定不平行？（ ） （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（ ） （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（ ） （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （ ） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（ ） （7）共线向量一定在同一直线上吗？（ ） 【答案】（1）不一定 （2）不一定 (3 零向量 （4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同 （7）不一定 例 2.如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与向量 、 、 相等 的向量. 通过练习，进一步 巩固所学的向量有 关知识，提高学生 解决问题的能力。 通过例题的讲解， 让学生进一步理解 共线向量、相等向 量，提高学生解决 与分析问题的能 力。 三、达标检测 1．下列说法中正确的个数是( ) OA OB OC