6.3.5平面向量数量积的坐标表示教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量数量积的坐标表示，模、夹角的坐标表示。前面我们学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。教学目标与核心素养课程目标学科素养A.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹1.数学抽象：用数量积判断两个平面向量的垂直关系；角的公式。2.逻辑推理：证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.B.能用公式求向量的数量积、模、夹角；3.数学运算：利用平面向量数量积解决有关长度、角度C.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明的问题；两向量垂直，以及能解决一些简单问题4.直观想象：用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系。教学重难点1.教学重点：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式：2.教学难点：平面向量数量积的应用。课前准备多媒体
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第六章《平面向量及其 应用》，本节课主要学习平面向量数量积的坐标表示，模、夹角的坐标表示。 前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示 以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也 能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积 的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运 算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示. 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训 练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求 出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示 和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。 课程目标 学科素养 A.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹 角的公式。 B.能用公式求向量的数量积、模、夹角； C.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明 两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 1.数学抽象：用数量积判断两个平面向量的垂直关系; 2.逻辑推理：证明两向量垂直，以及能解决一些简单问 题. 3.数学运算：利用平面向量数量积解决有关长度、角度 的问题； 4.直观想象：用坐标表示平面向量数量积的有关运算， 揭示几何图形与代数运算之间的内在联系。 1.教学重点：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式； 2.教学难点：平面向量数量积的应用。 多媒体
教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标复习回顾，温故知新1.平面向量的数量积（内积)的定义：通过复习上节所学知识，引入本节新【答案】a.b=Jalb|coso课。建立知识间的联系，提高学生概2.两个向量的数量积的性质：括、类比推理的能力。a.b-1-12步=Va.a,coso=alb-a.b=0【答案】a·a=[a6二、探索新知探究：已知两个非零向量a=(x,),b=(x,），怎样用向量的坐通过探究，让学生数标表示a·b?量积的坐标表示，提高学生的解决问题、分析问题的能力。【答案】a=xi+yj,b=xi+y2］所以a.b=(xi+yj)(xi+yj)=xxi+xyij+xyij+yy2j=Xx2 +yy21.数量积的坐标表示：a·b=xx2+yiy2，故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。通过思考，让
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1. 平面向量的数量积(内积)的定义： 【答案】 | || | cos . a b a b = 2.两个向量的数量积的性质： 【答案】 cos . 0 2 ⊥ = = = = a b a b a b a b a a a 或a a a ， 二、探索新知 探究：已知两个非零向量 ( , ), ( , ) 1 1 2 2 a = x y b = x y ，怎样用向量的坐 标表示 ab ？ 【答案】 a x i y j b x i y j 1 1 2 2 = + , = + 所以 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 a b =（x i + y j)(x i + y j) = x x i + x y i j + x y i j + y y j 1 2 1 2 = x x + y y 1.数量积的坐标表示： 1 2 1 2 ab = x x + y y ， 故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 通过复习上节所学 知识，引入本节新 课。建立知识间的 联系，提高学生概 括、类比推理的能 力。 通过探究，让学生数 量积的坐标表示，提 高学生的解决问题、 分析问题的能力。 通过思考，让
学生会用坐标表示思考1：设a=(x,)，则用坐标怎样表示|aP和a|?向量的模、垂直，提高学生分析问题、概括能力。【答案】laP=?+ylaFx?+y2思考2.表示α的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x,y)(2,J2)，那么a的坐标，lal怎么用坐标表示？【答案】a=(x-x,2-),[a/(x-x)+(2-)思考3.设a=(x,y),b=(x,y)，则a1b用坐标表示能得到什么结论？【答案】alb=0例1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断△ABC的形状，证明你的猜想通过例题练习数量积的坐标表示，提高学生解决问题的能力。2-10123解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现△ABC是直角三角形.证明如下，因为AB=(2-1，3-2)=(1，1)，AC-(—2-1,52)=(-3,3)，所以AB·AC=1X(—3)+1X3=0于是ABLAC.因此，△ABC是直角三角形思考4：设ab是两个非零向量，其夹角为0，若a=(x,y),b=(x2,y2)，那么cosa如何用坐标表示？通过思考，推导夹角的坐标表示，提高学生的推理能力
思考 1：设 a = (x, y) ，则用坐标怎样表示 | | | | 2 a 和 a ？ 【答案】 2 2 2 2 2 | a | = x + y ,| a |= x + y 思 考 2. 表 示 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( , ),( , ) 1 1 2 2 x y x y ，那么 a 的坐标， | a | 怎么用坐标表示？ 【答案】 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 a = (x − x , y − y ),| a |= （x − x ) + ( y − y ) 思考 3.设 ( , ), ( , ) 1 1 2 2 a = x y b = x y ，则 a ⊥ b 用坐标表示能得到什么 结论？ 【答案】 a ⊥b x1 x2 + y1 y2 = 0 例 1.已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(−2， 5)，试判断△ABC 的形状， 证明你的猜想. 思 考 4 ： 设 a,b 是两个非零向量，其夹角为θ，若 ( , ), ( , ) 1 1 2 2 a = x y b = x y ，那么 cos 如何用坐 标表示？ 学生会用坐标表示 向量的模、垂直， 提高学生分析问 题、概括能力。 通过例题练习数量 积的坐标表示，提 高学生解决问题的 能力。 通过思考，推导夹角 的坐标表示，提高学 生的推理能力
a.bXix2 +yiy2【答案】cos=[al|b]x+y/x+y例2.设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a.b及a间的夹角e(精确到1°)解：a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2,因为1a=V5+（-7）=/74，161=/-6)+（-4=/52，所以用计算器计算可得cos0=.a.b-2#-0.03Tal16/74x/52利用计算器中的“cos-1键，得0~92°通过例题进一步熟悉向量的应例3.用向量方法证明两角差的余弦公式用，提高学生的观察、概括能力，进cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ一步体会向量的工具性。证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系zOy内作单位圆O，以轴的非负半轴为始边作角α，β，它们的终边与单位圈O的交点分别为A，B.则OA(cosasina),OB(cosβ,sinp)收终边β终边终边终达(2)(1)图6.3-20由向量数量积的坐标表示，有OA.OBcos acosβ+sinasinp.设OA与OB的夹角为，则OA.OB=OA/.OBcs8=cOs0.所以cos0cosacosβ+sinasinβ.另一方面，由图6.3-20（1）可知，=2k元+β+0；由图6.3-20（2）可知，a=2+0.于是—=2k±0，EZ所以··cos(αβ)=cos0,于是远用向量工具遗行探cos(a-β)=cosacosβ+sinasin β.索，过程多么简洁有！三、达标检测1.已知a=（1，一1)，b=(2,3)，则a·b=（
【答案】 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 | || | cos x y x y x x y y a b a b + + + = = 例 2. (5, 7), ( 6, 4), ( 1 ). 设 求 及 、间的夹角 精确到 o a = − b = − − ab a b 例 3. 用向量方法证明两角差的余弦公式 cos( − ) = cos cos + sin sin 通过例题进一 步熟悉向量的应 用，提高学生的观 察、概括能力，进 一步体会向量的工 具性。 三、达标检测 1．已知 a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则 a·b＝( )
A. 5B. 4C.-2D. -1【解析】8·b=(1, -1).(2,3)=1×2+(-1)×3=-1.通过练习巩固本节上所学知识，通过学【答案】 D生解决问题的能力，感悟其中蕴含2.已知a=（一2，1)，b=（x，一2)，且ab，则x的值为（的数学思想，增强c. 1D. 2A.B. 0-1学生的应用意识。【解析】 由题意，a·b=(-2，1)：（x，-2)=-2x—2=0,解得X=-1.故选A.【答案】A3.（2016·邢台期末)平行四边形ABCD中，AB=（1，0)，AC=(2，2)，则AD·BD等于（C. 2A. -4B.—2D. 4【解析】AD·BD=(AC-AB)·（AC-2AB=AC+2AB—3AC·AB=8+2-3×2=4.故选 D.【答案】D4.已知a=(3，一4)，则/a/=【解析】因为8=(3，-4)，所以/a/=V32+（-4）2=5【答案】55.已知向量a=(3，一1)，b=（1，—2)，求：(1)a·b;(2)(a+b)";(3)(a+b)·(a-b).【解】(1)因为8=(3，-1)，b=(1,-2),所以a·b=3×1+(-1)×(-2)=3+2=5.(2) a+b=(3, -1)+(1, -2)=(4, -3),所以(a+b)=[ab=4+(—3)*=25
A．5 B．4 C．－2 D．－1 【解析】 a·b＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1. 【答案】 D 2．已知 a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且 a⊥b，则 x 的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】 由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0， 解得 x＝－1.故选 A． 【答案】 A 3．(2016·邢台期末)平行四边形 ABCD 中，AB →＝(1，0)，AC →＝(2，2)， 则AD →·BD →等于( ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 【解析】 AD →·BD →＝(AC →－AB →)·(AC →－2AB →) ＝AC →2＋2AB →2－3AC →·AB →＝8＋2－3×2＝4.故选 D． 【答案】 D 4．已知 a＝(3，－4)，则|a|＝_. 【解析】 因为 a＝(3，－4)，所以|a|＝ 3 2＋（－4）2＝5. 【答案】 5 5．已知向量 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， 求：(1)a·b；(2)(a＋b) 2；(3)(a＋b)·(a－b)． 【解】 (1)因为 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， 所以 a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. (2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， 所以(a＋b) 2＝ 2 | | a b ＋ ＝4 2＋(－3)2＝25. 通过练习巩固本节 所学知识，通过学 生解决问题的能 力，感悟其中蕴含 的数学思想，增强 学生的应用意识