【新教材】8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教学设计（人教A版）教材分析本节是在学生已从校棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积教学目标与核心素养课程目标1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式2.能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题数学学科素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题教学重难点重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用：难点：棱台的体积公式的理解课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程情景导入在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探二、预习课本，引入新课阅读课本114-115页，思考并完成以下问题1：怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？2.柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积
【新教材】8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和 体积 教学设计（人教 A 版） 本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从 度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积. 课程目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 数学学科素养 1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式； 2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积； 3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用； 难点：棱台的体积公式的理解. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面 积和体积？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本 114-115 页，思考并完成以下问题 1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？ 2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 （一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也 就是展开图的面积．
(）棱柱、棱锥、棱台的表面积1.棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh.2.棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V=Sh3.棱台：台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h，则VS+Vss+S)h四、典例分析、举一反三题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积例1已知如图，四面体S一ABC的棱长均为a，求它的表面积，【答案】3a?【解析】因为四面体S一ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍，不妨求ASBC的面积，过点S作SD工BC，交BC于点D，如图所示.7因为BC=SB=a，SD=SB2-BD211所以SASBCBC-SD=0-2224故四面体 S-ABC 的表面积 S=4x a= V5 2.4解题技巧（求多面体表面积注意事项）1.多面体的表面积转化为各面面积之和2：解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决：二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决跟踪训练一1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.46m，问：制造这个滚筒需要m2铁板（精确到0.1m2）
（二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝Sh. 2．棱锥：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝ 1 3 Sh. 3．棱台：台体的上、下底面面积分别为 S′、S，高为 h，则 V＝ 1 3 (S′＋ S′S＋S)h. 四、典例分析、举一反三 题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例 1 已知如图，四面体 S ABC − 的棱长均为 a ，求它的表面积． 【答案】 2 3a 【解析】因为四面体 S－ABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的 4 倍． 不妨求△SBC 的面积，过点 S 作 SD⊥BC，交 BC 于点 D，如图所示． 因为 BC＝SB＝a，SD＝ 2 2 2 2 3 2 2 a SB BD a a − = − = , 所以 S△SBC＝ 1 2 BC·SD＝ 1 2 a× 3 2 a＝ 3 4 a 2 . 故四面体 S－ABC 的表面积 S＝4× 3 4 a 2＝ 3 a 2 . 解题技巧（求多面体表面积注意事项） 1．多面体的表面积转化为各面面积之和． 2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原 成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 跟踪训练一 1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高 1.6 m， 底面外接圆的半径是 0.46 m，问：制造这个滚筒需要_m2 铁板(精确到 0.1 m2 )．
om【答案】5.6【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m，所以底面正六边形的边长是0.46m所以S=ch=6×0.46×1.6=4.416(m2)V3所以S表=S删+S上联+S下除=4.416+2××0.462×6~5.6(m2)故制造这个滚筒约需要5.6m2铁板题型二棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图所示，正方体ABCD一AB,CD的棱长为1，E为线段BC上的一点，则三棱锥A一DED,的体积为DA【答案】6【解析】V三棱锥A一DED,=V三棱锥E一DDiA=-x1×1×1=f例3如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m2）？【答案】0.67m3【解析】由题意知长方体ABCD-ABCD的体积V=1x1x0.5=0.5（m）(m)-x1×1×0.5==棱锥P-ABC'D'的体积V=36所以这个漏斗的容积
【答案】5.6 【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为 0.46 m， 所以底面正六边形的边长是 0.46 m. 所以 S 侧＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416 (m2 )． 所以 S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝4.416＋2× 3 4 ×0.462×6≈5.6 (m2 )． 故制造这个滚筒约需要 5.6 m2 铁板． 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 例 2 如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A－DED1 的体积 为_． 【答案】1 6 . 【解析】 V 三棱锥 A－DED1＝V 三棱锥 E－DD1A＝ 1 3 × 1 2 ×1×1×1＝ 1 6 . 例 3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是 0.5m，公共面 ABCD 是边长为 1m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到 3 0.01m ）？ 【答案】 3 0.67m 【解析】由题意知长方体 ' ' ' ' ABCD A B C D − 的体积 V = 1 1 0.5 ( ) 3 = 0.5 m ， 棱锥 ' ' ' ' P A B C D − 的体积 1 1 1 0.5 3 V = ( ) 1 3 6 = m ， 所以这个漏斗的容积
1+1=2 ~0.67(m)V263解题技巧（求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项）1.常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算。跟踪训练二1、在正三棱柱ABC一A,BiC中，D为棱AA的中点，若△BC,D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为【答案】8V3，BCi=Va2+b2，由ABCiD是【解析】由题意，设AC=α（a>0)，CCi=b(b>0)，则BD=CiD=面积为 6 的直角三角形，得(α2+b)×2=2+b2，得 b=2dz，又xd2=6,.α =8,:. b2=16,即 b=4.V3, ..v=x8×4=8VSAABOX42、如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF/AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积【答案】见解析【解析】如图，连接EB，EC
1 1 2 2 6 3 V =+= ( ) 3 0.67 m . 解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项) 1．常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积 和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2．求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量， 最后代入公式计算． 跟踪训练二 1、在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点，若△BC1D 是面积为 6 的直角三角形，则此三棱柱的 体积为_； 【答案】8 3. 【解析】由题意，设 AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，则 BD＝C1D＝ a 2＋ b 2 4 ，BC1＝ a 2＋b 2，由△BC1D 是 面积为 6 的直角三角形，得 a 2＋ 1 4 b 2 ×2＝a 2＋b 2，得 b 2＝2a 2，又1 2 × 3 2 a 2＝6，∴a 2＝8，∴b 2＝16，即 b＝4. ∵S△ABC＝ 3 4 a 2，∴V＝ 3 4 ×8×4＝8 3. 2、 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF 上任意一点 到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积． 【答案】见解析 【解析】如图，连接 EB，EC
B×42x3=16四棱锥E一ABCD的体积V四校连E-ABCD=3AB=2EF,EF//AB,..SAEAB-2SABER.:. V 三数维 F-EBC=V 三楼维 C-EFB=三楼雅C-ABE三税维E-ABCV四校排E-ABCD=4.：多面体的体积V=V阅梭维E-ABCD+V三校维F-EBC=16+4=20.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积例 2例31、棱柱、棱锥、棱台的表面积例 12、棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱棱锥棱台七、作业课本116页练习，119页习题8.3的1、6题教学反思本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系（棱台上底面和下底面面积一样时，图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了：棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了）使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出几何图形，再利用相关公式解决
四棱锥 E－ABCD 的体积 V 四棱锥 E－ABCD＝ 1 3 ×42×3＝16. ∵AB＝2EF，EF∥AB， ∴S△EAB＝2S△BEF. ∴V 三棱锥 F－EBC＝V 三棱锥 C－EFB＝ 1 2 V 三棱锥 C－ABE＝ 1 2 V 三棱锥 E－ABC ＝ 1 2 × 1 2 V 四棱锥 E－ABCD＝4. ∴多面体的体积 V＝V 四棱锥 E－ABCD＋V 三棱锥 F－EBC＝16＋4＝20. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 116 页练习，119 页习题 8.3 的 1、6 题. 本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习， 学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系(棱台上底面和下底面面积一样时， 图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了; 棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱 锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.)使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出 几何图形，再利用相关公式解决. 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积 例 1 例 2 例 3 2、棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱 棱锥 棱台