6.2.4向量的数量积第2课时向量的向量积教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的运算律，本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。向量的数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律，而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量。教学目标与核心素养课程目标学科素养1.数学抽象：数量积的运算律：A.掌握数量积的运算律：2.逻辑推理：证明数量积的运算律：B.利用数量积的运算律进行化简、求值；3.数学运算：运用数量积的运算律求值；教学重难点1.教学重点：数量积的运算律；2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。课前准备多媒体教学过程
6.2.4 向量的数量积 第 2 课时 向量的向量积 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第六章《平面向量及 其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数 量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。 向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很 丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代 数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区 别,运算结果是一个数量。 课程目标 学科素养 A.掌握数量积的运算律； B.利用数量积的运算律进行化简、求值； 1.数学抽象：数量积的运算律； 2.逻辑推理：证明数量积的运算律； 3.数学运算：运用数量积的运算律求值； 1.教学重点：数量积的运算律； 2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。 多媒体
教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新1.向量的数乘的运算律通过复习上节所学知识，引入本【答案】设α、b为任意向量，入、μ为任意实数，则有：.节新课。建立知识间的联系，提高学(μa) =(aμ)a(1)生概括、类比推理的能力。(2) (a+μ)a=a+μa(3)2(a+b)=a+2b2.平面向量的数量积定义：a.b=allb|coso平面向量的数量积的结果是数量。二、探索新知1.平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？平面向量数量积的运算律通过探究，让学
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律 【答案】设 a 、b 为任意向量， 、 为任意实数，则有： （1） (a) = ()a （2） ( + )a = a + a （3） (a + b) = a + b 2.平面向量的数量积定义： ab =| a || b | cos 平面向量的数量积的结果是数量。 二、探索新知 1.平面向量数量积的运算律 探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得 到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ 平面向量数量积的运算律 通过复习上节 所学知识，引入本 节新课。建立知识 间的联系，提高学 生概括、类比推理 的能力。 通过探究，让学
生证明，讲解向量数对于向量a，b，e和实数入，有量积的运算律，提高(1)a.b=ba;(2)(a).b=A(a·b)=a. (ab);学生的解决问题、分(3)(a+b).cma.c+b*c析问题的能力。证明：（1）因为a.b=ab|coso，b.a=balcose所以，a.b-b.a。（2）当>0时，a与的夹角、a与的夹角一样。因为(aa).b=ab|cos=a|ab|cos=a(a.b)a.(ab)=alab|cos=|ab|cos=(a.b)同理，当<0时(aa)·b=a(a·b)=a.(ab)成立所以,(Aa).b= a(a.b)=a.(ab)。(3)通过思考，总结D.e图6.2-22
证明：（1）因为 ab =| a || b | cos ，ba =| b || a | cos 所以， ab = ba 。 （2）当 0时，a与b的夹角、a与b的夹角 一样。 因为 (a)b =| a || b | cos = | a || b | cos = (ab) ， a(b) =| a || b | cos = | a || b | cos = (ab) 同理，当 0时，(a)b = (ab) = a(b) 成立。 所以， (a)b = (ab) = a(b)。 （3） 生证明，讲解向量数 量积的运算律，提高 学生的解决问题、分 析问题的能力。 通过思考，总 结
证明，如图6.2-22，任取一点O，作O=0，OB=b,OC=c,OD=a+b.设向量a，b，a+b与c的夹角分别为，，，它们在向量上的投影向量分别为OA，OB,，OD，与c方向相同的单位向量为e期OA,-|alcos 0,e,OB,=|b|cos 0;e,OD,=la+blcos 8e.因为=BD、所以OA/-B,D于是OD=OB1+B,D=OB+OA即[a+b|cos0e-lalcos8,e+/b|cosze.整理，得(a--b)cos.6(0lcos 9;|6/cos.0,)em0.所以a+6c0:0[a|005:0,1600#9,=0.邮la+blcosf=lalcs0,+blcs8通过思考，让学生明所以a+bllelcos=[al/elcos0,+(b/felcos8白向量数量积不满因此(a+b).c-a.c+b.c.足结合律，提高学生解决问题的能力。思考：设a,b.c是向量，（a.b)·c=a.b.)一定成立吗？为什么？【答案】·(a·b)·C表示与一个与°共线的向量，而α(6·℃)表示一个与“共线的向量，但“与°不一定共线。通过例题进一所以 (a.b)c+a-(b.c)。步巩固向量数量积的运算律，提高学结论：向量数量积不满足结合律。生运用所学知识解决问题的能力。例1.对任意a,beR，恒有（a+b)2=α2+2ab+b2，(a+b)(α-b)=α2-b2，对任意向量α,b，是否也有下面类似的结论？ (1) (a+b)= +2a.b+;(2)(a+b)a-b)=°-6
思考：设 a,b,c 是向量， (ab)c = a(bc) 一定成立吗？为什么？ 【答案】 (ab)c 表示与一个与 c 共线的向量， 而 a(bc) 表示一个与 a 共线的向量，但 a 与 c 不一定共线。 所以 (ab)c a(bc) 。 结论：向量数量积不满足结合律。 例 1. 对任意 a,b R ，恒有 2 2 2 (a +b) = a + 2ab +b ， 2 2 (a +b)(a −b) = a −b ，对任意向量 a,b ，是否也有下面类似的结 论？（1） 2 2 2 (a + b) = a + 2a b + b ；（2） 2 2 (a + b)(a − b) = a − b 。 通过思考，让学生明 白向量数量积不满 足结合律，提高学生 解决问题的能力。 通过例题进一 步巩固向量数量积 的运算律，提高学 生运用所学知识解 决问题的能力
【解析】(D)(a+b)? =(a+b)(a+b)=a.a+a.b+b.a+b.b=a +2a.b+6(2)(a+b)(a-b)=a.a-a.b+b.a-b.b=a -6例 2. 已知=6,=4,夹角Q=60°,求(a+2b) (a-3b)解：原式=a.a-3a.b+2b.a-6b.bapa.b-6palcos-6=62-6×4×cos60°-6×42=-72例3.已知α=3b=4,且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？解：a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)-(a-kb)=0即-k26°=0，因为2=3=9,6"=42=16。S所以9-16k2=0，解得k=±43.二时，向量a+kb与a-kb互相垂直。也就是说，当k=±4三、达标检测1.给出下列判断：①若az+b=0，则a=b=0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a十b=0，则ac=b.c：③a，b共线ab=aa外<ab：?aaa=a③a+b≥2ab：向量a，b满足：ab>0通过练习巩固本节则a与b的夹角为锐角：③若a，b的夹角为0，则bcos表示向量所学知识，通过学
【解析】 2 2 2 2 2 (2)( )( ) 2 1 ( ) ( )( ) a b a b a b a a a b b a b b a a b b a b a b a b a a a b b a b b = − + − = − + − = + + （） + = + + = + + + 例 2. 6, 4, 60 , ( 2 ) ( 3 ) 0 已知a = b = 夹角 = 求 a + b a − b 6 6 4 cos60 6 4 72 | | | || | cos 6 | | | | 6 | | 3 2 6 2 2 2 2 2 2 = − − = − = − − = − − = − + − a a b b a a b b a a a b b a b b 解：原式 例 3.已知 | a |= 3,| b |= 4, 且 a与b 不共线，当 k 为何值时，向量 a + kb与a − kb 互相垂直？ 解： a + kb与a − kb 互相垂直的充要条件是 (a + kb)(a −kb) = 0 ， 即 0 2 2 2 a −k b = ，因为 3 9, 4 16 2 2 2 2 a = = b = = 。 所以 9 16 0 2 − k = ，解得 4 3 k = 。 也就是说，当 4 3 k = 时，向量 a + kb与a − kb 互相垂直。 三、达标检测 1．给出下列判断：①若 a 2＋b 2＝0，则 a＝b＝0；②已知 a，b，c 是 三个非零向量，若 a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b 共线⇔a·b＝|a||b|； ④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a| 3；⑥a 2＋b 2≥2a·b；⑦向量 a，b 满足：a·b>0， 则 a 与 b 的夹角为锐角；⑧若 a，b 的夹角为 θ，则|b|cos θ表示向量 通过练习巩固本节 所学知识，通过学