7.1.1数系的扩充和复数的概念教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第七章《复数》，本节课主要学习数系的扩充和复数的概念。本节课数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时是数学产生、发展的客观需求,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。《课标》将复数作为数系扩充的结果引入体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化这部分内容的学习有助于学生体会理论产生与发展的过程认识到数学产生和发展既有来自外部的动力也有来自数学内部的动力从面形成正确的数学观有助手发展学生的全新意识和创新能力。复数的内容是高中数学课程中的传统内容.对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用.感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件：了解复数的代数表示法及其几何意义：能进行复数代数形式的四则运算了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。教学目标与核心素养课程目标学科素养A、了解数系的扩展过程以及i的引入；1.数学抽象：i的规定以及复数的有关概念B、理解复数的概念、表示法及相关概念：2.逻辑推理：复数相等：C、掌握复数的分类及复数相等的条件。3.数学运算：复数相等求字母的值；4.直观想象：熟悉的扩充。教学重难点1.教学重点：对i的规定以及复数的有关概念。2.教学难点：复数概念的理解。课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第七章《复数》，本节课主要 学习数系的扩充和复数的概念。 本节课数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,同时是数学产生、发展的客观需求,复数的引入是 中学阶段数系的又一次扩充。 《课标》将复数作为数系扩充的结果引入,体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用, 以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化,这部分内容的学习,有助于学生体会理论产生与发展的过 程,认识到数学产生和发展既有来自外部的动力,也有来自数学内部的动力,从面形成正确的数学观;有助于发 展学生的全新意识和创新能力。 复数的内容是高中数学课程中的传统内容.对于复数,《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程, 体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作 用以数与现实世界的联系;理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何 意义:能进行复数代数形式的四则运算了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 课程目标 学科素养 A、了解数系的扩展过程以及 i 的引入； B、理解复数的概念、表示法及相关概念； C、掌握复数的分类及复数相等的条件。 1.数学抽象：i 的规定以及复数的有关概念； 2.逻辑推理：复数相等； 3.数学运算：复数相等求字母的值； 4.直观想象：熟悉的扩充。 1.教学重点：对 i 的规定以及复数的有关概念。 2.教学难点：复数概念的理解。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标
一、复习回顾，温故知新1，对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）①10-3=?②3-5=?通过复习数系的扩③正方形的面积是2，求该正方形的边长a。充过程，引入本节新课。建立知识间的联①求方程x2+1=0的解。系，提高学生概括、类比推理的能力。71二、探索新知思考：我们知道，对于实系数一元二次方程*”+1=0，没有实数通过思考，引入根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到虚数单位，提高学生圆满解决呢？分析问题、概括能【分析】引入来并规定：力。（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立叫做虚数单位。（一）复数的概念形如a+bi(a、bER)的数叫做复数全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。（二）复数的代数形式复数通常用字母=表示，即z=a+bi（a、beR）其中a叫复数=的，b叫复数z的【答案】实部虚部练一练：把下列式子化为a+bi（a、bER）的形式，并分别指出它们的实部和虚部(1) 2 -j=_;（2)-2i=通过练习题巩固复(3) 5=:(4)0=数的形式，提高学生【答案】（1）2-i=2+（-），实部2，虚部-1;解决问题的能力。(2）-2i=0+（-2），实部0，虚部-2
一、复习回顾，温故知新 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教 师引导学生进行简明扼要的概括和总结） ①10÷3=？ ②3–5 = ？ ③正方形的面积是 2，求该正方形的边长 a。 ④求方程 1 0 2 x + = 的解。 二、探索新知 思考：我们知道，对于实系数一元二次方程 ，没有实数 根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到 圆满解决呢？ 【分析】 引入新数 ，并规定： （1） ； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、 乘运算律仍然成立． 叫做虚数单位。 （一）复数的概念 形如 a+bi(a、b∈R)的数叫做复数， 全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母 C 表示 。 （二）复数的代数形式 复数通常用字母 z 表示，即 z=a+bi（a、b R） 其中 a 叫复数 z 的 ，b 叫复数 z 的 。 【答案】实部 虚部 练一练： 把下列式子化为 a+bi（a、b R）的形式，并分别指出它们的实部和 虚部 （1）2 -i = ；（2）-2i = ； （3）5= ；（4）0= 。 【答案】（1）2 -i =2+（ -i ），实部 2，虚部-1； （2）-2i =0+（-2）i ，实部 0，虚部-2； 通过复习数系的扩 充过程，引入本节新 课。建立知识间的联 系，提高学生概括、 类比推理的能力。 通过思考，引入 虚数单位，提高学生 分析问题、概括能 力。 通过练习题巩固复 数的形式，提高学生 解决问题的能力
（3）5=5+0i，实部5，虚部0：（4）0=0+0i，实部0，虚部0。思考：根据上述几个例子，复数z=α+bi可以是实数吗？满足什么条件？【答案】b=0时，复数为实数。（三）、复数的分类实数（复数T纯虚数（Z=a+bi虚数（7非纯虚数（试一试：0.61821、下列数中,2+7:258 03-9J2i实数有，虚数有;通过练习题，进一步其中纯虚数是一。巩固复数的分类，提【答案】实数：2+V7,0.618，0，2；虚数：高学生概括问题的2能力。2i,3-9/2i,i(1-V3),5i+8；纯虚数：i(1-V3)712、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数。（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数。（3）若a为实数，则Z=α一定不是虚数。【答案】（1）错（2）错（3）对例1、实数m分别取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是(1)实数；(2)虚数：(3)纯虚数。【解析】解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数≥是实数，（2）当m一1≠0，即m≠1时，复数是虚数通过例题、练习题进一步巩固复数的(3）当m+1=0，且m-1=0.即m=-1时，复数是纯虚数分类，提高学生的概练习：当m为何实数时，复数括问题的能力、解决问题的能力。z=m2+m-2+(m2-1)i且mER,是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零。【解析】（1）当m2-1=0即m=±1时，复数Z为实数；（2）当m2-1+0即m*±1时，复数z为虚数；
（3）5=5+0i ，实部 5，虚部 0； （4）0=0+0i ，实部 0，虚部 0。 思考：根据上述几个例子，复数 z= a+bi 可以是实数吗？满足什么 条件？ 【答案】b=0 时，复数为实数。 （三）、复数的分类 试一试： 1、下列数中， 实数有 ； 虚数有 ； 其中纯虚数是 。 【答案】实数： 2 + 7,0.618 ， 0 ， 2 i ；虚数： ,3 9 2 , (1 3),5 8 7 2 i − i i − i + ；纯虚数： , (1 3) 7 2 i i − 2、判断下列命题是否正确： （1）若 a、b 为实数，则 Z=a+bi 为虚数。 （2）若 b 为实数，则 Z=bi 必为纯虚数。 （3）若 a 为实数，则 Z=a 一定不是虚数。 【答案】（1）错 （2） 错 （3）对 例 1、实数 m 分别取什么值时，复数 z＝m+1＋(m-1)i 是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数。 【解析】 练习：当 m 为何实数时，复数 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 ；（4）零。 【解析】（1）当 1 0 1 2 m − = 即m = 时，复数 Z 为实数； （2）当 1 0 1 2 m − 即m 时，复数 Z 为虚数； 通过练习题，进一步 巩固复数的分类，提 高学生概括问题的 能力。 通过例题、练习题 进一步巩固复数的 分类，提高学生的概 括问题的能力、解决 问题的能力。 2 7 + 0.618 2 7 i 3 9 2 − i i(1 3 − ) 2 0 i 5 8 i +
[m2+m-2=0（3）当即m=-1时，复数z为纯虚数；m-1+0通过例题的讲解，让m2+m-2=0(4）当即m=1时，复数Z为零。学生进一步理解复m2-1=0数相等的概念，提高（四）、复数相等学生解决与分析问如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数题的能力。相等.若a、b、c、dER，a+bi=c+dia=c且b=d。注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。(2x-1)+i=-(3-)，其中xyeR,求x与y的值。例2[2x-1=y5【解析】由己知得】解得x=y=4。(-(3-y)=12三、达标检测1.判断正误(1)若α，b为实数，则≥=a+bi为虚数.（）通过练习巩固本节(2)复数i的实部不存在，虚部为0.（）(3)bi是纯虚数（）所学知识，通过学生(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复解决问题的能力，感数相等．（）悟其中蕴含的数学【答案】(1)×(2)x(3)×(4)V思想，增强学生的应2．已知复数==α2—(2—b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，用意识。b的值分别是（）A.,1B.,5C.±,5D.±，1【答案】C【解析】令-2十b=3，得a=±，b=53.已知x-y2+2xyi=2i，则实数x，y的值分别为
（3）当 − + − = 1 0 2 0 2 2 m m m 即 m = −1 时，复数 Z 为纯虚数； （4）当 − = + − = 1 0 2 0 2 2 m m m 即 m =1 时，复数 Z 为零。 （四）、复数相等 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数 相等． 若 a、b、c、d∈R，a+bi=c+ di a = c且b = d 。 注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数 可以比较大小。 例 2 已知 ，其中 x、y R，求 x 与 y 的值。 【解析】由已知得 − − = − = (3 ) 1 2 1 y x y ，解得 , 4 2 5 x = y = 。 通过例题的讲解，让 学生进一步理解复 数相等的概念，提高 学生解决与分析问 题的能力。 三、达标检测 1．判断正误 (1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．( ) (2)复数 i 的实部不存在，虚部为 0.( ) (3)bi 是纯虚数．( ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复 数相等．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知复数 z＝a 2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a， b 的值分别是( ) A.，1 B.，5 C．±，5 D．±，1 【答案】C【解析】 令－2＋b＝3， a2＝2， 得 a＝±，b＝5. 3．已知 x 2－y 2＋2xyi＝2i，则实数 x，y 的值分别为 ． 通过练习巩固本节 所学知识，通过学生 解决问题的能力，感 悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应 用意识
[答案 (二 或(三二]【解析】：x2-y2+2xyi=2i[x2-12=0,[x=],x=-1解得式[2xy=2,(v=1.=4.实数m分别取什么数值时，复数z=（m2+5m十6)+（m2一2m一15）i(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是0【解析】由mz+5m十6=0得，m=-2或m=-3，由mz-2m-15=0得m=5或m=-3.(1)当m2-2m-15=0时，复数=为实数，：m=5或-3.(2)当m2-2m-15#0时，复数=为虚数，m+5且m一3[m2-2m-15+0,时，复数z是纯虚数，.m一2(3）当lm2+5m+6=0[m2-2m-15=0,时，复数=是0，m=-3(4）当(m2+5m+6=0四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所一、数系的扩充：二、复数有关的概念：学内容，提高概括能1、复数的代数形式：力，提高学生的数学2、复数的实部、虚部；运算能力和逻辑推3、虚数、纯虚数；理能力。4、复数的相等。五、作业习题7.12,3题教学反思1、教师要精心设计合作的学习内容教师课前要花充足的时间，钻研教材,把握教学重点、难点，充分认识每个学生的特长与不足。要有针对性课前预设，精心选择有价值的问题或练习,提高小组合作学习质量。并不是所有的教学内容都适合小组合作学习,对于那些开放性的练习，在学生经过独立思考之后,再进行小组交流，这个过程让学生感受到与人合作的快乐。2、在合作过程中给学生足够的思维时间和空间合作学习之前学生先独学，有了初步想法后再探究、交流，共同解决问题。这样做给不爱动脑思考或学习有一定困难的学生提供进步的机会，让他们能有话可说,提高讨论效率。对提高学生的学习能力是有很大帮助的
【答案】 x＝1 y＝1 或 x＝－1 y＝－1 【解析】∵x 2－y 2＋2xyi＝2i， ∴ x 2－y 2＝0， 2xy＝2， 解得 x＝1， y＝1， 或 x＝－1， y＝－1. 4．实数 m 分别取什么数值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是 0？ 【解析】 由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3. (1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数，∴m＝5 或－3. (2)当 m2－2m－15≠0 时，复数 z 为虚数，∴m≠5 且 m≠－3. (3)当 m2－2m－15≠0， m2＋5m＋6＝0 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2. (4)当 m2－2m－15＝0， m2＋5m＋6＝0 时，复数 z 是 0，∴m＝－3. 四、小结 一、数系的扩充； 二、复数有关的概念： 1、复数的代数形式； 2、复数的实部、虚部； 3、虚数、纯虚数； 4、复数的相等。 五、作业 习题 7.1 2,3 题 通过总结，让学生 进一步巩固本节所 学内容，提高概括能 力,提高学生的数学 运算能力和逻辑推 理能力。 1、教师要精心设计合作的学习内容 教师课前要花充足的时间,钻研教材,把握教学重点、难点,充分认识每个学生的特长与不足。要有针对性 课前预设,精心选择有价值的问题或练习,提高小组合作学习质量。并不是所有的教学内容都适合小组合作学 习,对于那些开放性的练习,在学生经过独立思考之后,再进行小组交流,这个过程让学生感受到与人合作的快 乐。 2、在合作过程中给学生足够的思维时间和空间 合作学习之前学生先独学,有了初步想法后再探究、交流,共同解决问题。这样做给不爱动脑思考或学习 有一定困难的学生提供进步的机会,让他们能有话可说,提高讨论效率。对提高学生的学习能力是有很大帮助 的