6.3.2平面向量的的正交分解及坐标表示教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、i作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xiyji于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“坐标化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。教学目标与核心素养课程目标学科素养A会把向量正交分解；1.数学抽象：向量的正交分解：B.会用坐标表示向量：2.逻辑推理：将一向量分解为两个垂直的向量；3.数学运算：求向量的坐标；教学重难点1.教学重点：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示2.教学难点：平面向量的坐标表示。课前准备多媒体教学过程
6.3.2 平面向量的的正交分解及坐标表示 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第六章《平面向量及 其应用》，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。 在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重 要的一种分解。因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联 系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标 系中表示一个向量最方便的是分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，这时，对 于平面直角坐标系内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y，使得 a=xi+yj. 于是，平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量 a 的终点 的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起――映射，从而实现向量的“坐标 化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。 课程目标 学科素养 A.会把向量正交分解； B.会用坐标表示向量； 1.数学抽象：向量的正交分解； 2.逻辑推理：将一向量分解为两个垂直的向量； 3.数学运算：求向量的坐标； 1.教学重点：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示； 2.教学难点：平面向量的坐标表示。 多媒体
教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新通过复习上节所学平面向量基本定平面向量基本定理：理，引入本节新课。建立知识间的如果e,e,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的联系，提高学生概任意向量a，有且只有一对实数,，使a=e+ez。括、类比推理的能力。我们把(e,e}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。二、探索新知1.平面向量的正交分解：通过思考，建把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。立点的坐标和向量思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序坐标之间的关系，实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量提高学生分析问呢？题、概括能力。【解析】在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量、作为基底，对于平面内的一个向量（，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a=xi+yj，则把有序数对（x，y），叫做向量a的坐标。记作a=（x，y），此式叫做向量的坐标表示作向量OA=a，设OA=xi+yj，所以a=OA=(xy)
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 平面向量基本定理： 如果 1 2 e ,e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任意向量 a ，有且只有一对实数 1 2 , ，使 1 1 2 2 a = e + e 。 我们把 { , } 1 2 e e 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 二、探索新知 1.平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。 思考 1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序 实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量 呢？ 【解析】在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个不共 线向量 i、j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定 理知，有且只有一对实数 x，y 使得 a＝xi+yj，则把有序数对（x，y）， 叫做向量 a 的坐标．记作 a＝（x，y），此式叫做向量的坐标表示． 作向量 OA = a ，设 OA = xi + y j ，所以 a = OA = (x, y)。 通过复习上节所学 平面向量基本定 理，引入本节新 课。建立知识间的 联系，提高学生概 括、类比推理的能 力。 通过思考，建 立点的坐标和向量 坐标之间的关系， 提高学生分析问 题、概括能力
【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。两向量相等时，坐标一样。例1.如图，用基底i,j分别表示向量a,bc,d,并求出它们的坐标【解析】：由图可知,a=AA +AA=xi+yj..a=(2.3)通过例题练习向量4-3-2-11234x同理,b=-2i+3j=(-2,3)的坐标表示，提高学生解决问题的能c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3),力。三、达标检测1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.（(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐通过练习巩固本节标．（）所学知识，通过学生解决问题的能(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.（）力，感悟其中蕴含的数学思想，增强(4)点的坐标与向量的坐标相同。（学生的应用意识。【答案】(1)× (2)/ (3)× (4)X【解析】(1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样.(2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标(3)错误，根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关.（4)错误，当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于（终）点的坐标2.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且OA=(一1，一1)，则OB=
【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。 两向量相等时，坐标一样。 例 1．如图，用基底 i , j 分别表示向量 a,b,c,d,并求出它们的坐标 【解析】:由图可知,a= + =xi+yj, ∴a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).[来源:学*科 * 通过例题练习向量 的坐标表示，提高 学生解决问题的能 力。 三、达标检测 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)× 【解析】 (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标 都一样． (2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点 坐标之差等于终点坐标． (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺 序有关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点 的坐标． 2.如图，在正方形 ABCD 中，O 为中心，且OA→＝(－1，－1)，则OB→＝ 通过练习巩固本节 所学知识，通过学 生解决问题的能 力，感悟其中蕴含 的数学思想，增强 学生的应用意识。 AA1 AA2
OD【解析】因为0A=(-1,-1),由正方形的对称性可知，B(1，-1)，所以OB=(1，-1)同理OD=(-1，1)3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°0 (4)角，求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标【解析】由题意知B,D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点设B(x1，y)，D(x2，y2).由三角函数的定义，得xi=cos30°=号"=sin30=，所以B(学)(22 =m120号，所以-)x2=cos120°32所以-( ), D-(一1 )四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所1.向量的正交分解；2.向量的坐标表示：学内容，提高概括能五、作业力，提高学生的数学运算能力和逻辑推预习下一节。理能力
_；OD→ _. 【解析】因为OA→ ＝(－1，－1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以OB→ ＝(1，－1)， 同理OD→ ＝(－1，1)． 3.如图，已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30° 角，求点 B 和点 D 的坐标和AB→与AD→的坐标． 【解析】由题意知 B, D 分别是 30°，120°角的终边与以点 O 为圆心 的单位圆的交点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得 x1＝cos30°＝ 3 2 ，y1＝sin30°＝ 1 2 ，所以 B 3 2 ， 1 2 . x2＝cos120°＝－ 1 2 ，y2＝sin120°＝ 3 2 ，所以 D － 1 2 ， 3 2 . 所以AB→＝ 3 2 ， 1 2 ，AD→ ＝ － 1 2 ， 3 2 . 四、小结 1. 向量的正交分解；2.向量的坐标表示； 五、作业 预习下一节。 通过总结，让学生 进一步巩固本节所 学内容，提高概括能 力,提高学生的数学 运算能力和逻辑推 理能力
教学反思本教案的亮点是用心设置思考题，在学生已有的知识基础上得到要学习的问题，水到渠成，讲练结合。学生在独立或小组讨论中解决问题，很好调动学生的积极性与主动性
本教案的亮点是用心设置思考题，在学生已有的知识基础上得到要学习的问题，水到渠成，讲 练结合。学生在独立或小组讨论中解决问题，很好调动学生的积极性与主动性