【新教材】7.2.1复数的加、减法运算及其几何意义教学设计（人教A版）教材分析复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材教学目标与核心素养课程目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则：2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义数学学科素养1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用教学重难点重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义，难点：加、减运算及其几何意义课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练教学工具：多媒体教学过程情景导入提问：1、试判断下列复数1+4i,7-2i,6,i,-2-0i,7i,0,0-3i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。2、同时用坐标和几何形式表示复数=,=1+4i与Z，=7-2i所对应的向量，并计算OZ,+0Z。3、向量的加减运算满足何种法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探二、预习课本，引入新课阅读课本75-76页，思考并完成以下问题1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.复数加法与减法的运算法则(1)设z=a十bi，z2=c十di是任意两个复数，则
【新教材】7.2.1 复数的加、减法运算及其几何 意义 教学设计（人教 A 版） 复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通 过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材. 课程目标： 1.掌握复数代数形式的加、减运算法则； 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 数学学科素养 1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义; 2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题; 3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用. 重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义． 难点：加、减运算及其几何意义. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练. 教学工具：多媒体. 一、情景导入 提问：1、试判断下列复数 在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向 量。 2、同时用坐标和几何形式表示复数 所对应的向量，并计算 。 3、向量的加减运算满足何种法则？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本 75-76 页，思考并完成以下问题 1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？ 2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．复数加法与减法的运算法则 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，则 1 4 ,7 2 ,6, , 2 0 ,7 ,0,0 3 + − − − − i i i i i i z i Z i 1 2 = + = − 1 4 7 2 与 OZ OZ 1 2 +
①z+22=(a+c)+(b+d)i②z1—z2=(a-c)+(b-d)i(2)对任意21，22，23EC，有①z1+2=2+21;②(z1+22)+z3=2+(22+2)2.复数加减法的几何意义图3-2-1如图3-2-1所示，设复数z1，22对应向量分别为OZi，OZ2，四边形OZZZz为平行四边形，向量OZ与复数≥1+22对应，向量ZzZ与复数≥1一2对应思考：类比绝对值x一xo的几何意义，=一z0l(=，20EC)的几何意义是什么？提示一z0l(=，20EC)的几何意义是复平面内点Z到点Z的距离.四、典例分析、举一反三题型一复数的加减运算例1计算：(1)(—3+2i)-(4—5i):(2)(5—6i)+(—2—2i)—(3+2i);(3)(a+bi)+(2a-3bi)+4i(a，bER)【答案】（1)—7+7i(2)-10i.(3)3a+(4-2b)i【解析 (1)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i.(2)(5-6i)+(-2-2i)-(3+2i)=[5+(-2)-3]+[(-6)+(-2)-2]i=-10i(3)(a+bi)+(2a-3bi)+4i=(a+2a)+(b-3b+4)i=3a+(4-2b)i解题技巧（复数加减运算技巧）(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部(2)复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先：若无括号，可以从左到右依次进行计算.跟踪训练一1.计算：(1)2i-[3+2i+3(-1+3i)]：(2)(a+2bi)-(3a-4bi)-5i(a,bER)【答案】(1)-9i.(2)-2a+(6b-5)i【解析】（1)原式=2i—（3+2i-3+9i)=2i—11i=—9i(2)原式=-2a十6bi-5i=—2a+（6b-5)i题型二复数加减运算的几何意义例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)间的距离，【答案】 1Z1Z2/=/(x1-x2)2+(y1-y2)2
①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)对任意 z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2．复数加减法的几何意义 图 321 如图 321 所示，设复数 z1，z2 对应向量分别为OZ → 1，OZ → 2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，向量OZ → 与复 数 z1＋z2 对应，向量Z2Z1 → 与复数 z1－z2 对应． 思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？ 提示 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点 Z 到点 Z0 的距离． 四、典例分析、举一反三 题型一 复数的加减运算 例 1 计算： (1)(－3＋2i)－(4－5i)； (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)； (3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)． 【答案】(1)－7＋7i. (2)－10i. (3)3a＋(4－2b)i. 【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i. (3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i. 解题技巧（复数加减运算技巧） (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果 的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部． (2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左 到右依次进行计算． 跟踪训练一 1．计算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]； (2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)． 【答案】(1)－9i. (2)－2a＋(6b－5)i. 【解析】(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i. (2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i. 题型二 复数加减运算的几何意义 例 2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点𝑍1 (𝑥1 ,𝑦1 ), 𝑍2 (𝑥2 ,𝑦2 )间的距离. 【答案】|𝑍1𝑍2 | = √(𝑥1 − 𝑥2 ) 2 + (𝑦1 − 𝑦2 ) 2．
【解析】因为复平面内的点Zi(x1,y1),Z2(x2,y2)对应的复数分别为Z1=xi+y1i,Z2=x2+y2i.所以Z1,Z,之间的距离为|Z,Z21=区,Z=[Z,-Z2= I(x1 - x2)+ (y1 - y2)l= V(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2解题技巧：（运用复数加、减法运算几何意义注意事项）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据：利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数，注意向量对应的复数是≥一=(终点对应的复数减去起点对应的复数)。跟踪训练二1、已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数一5一2i，一4十5i2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长，【答案】D对应的复数是1-7i，AC与BD的长分别是V53和13ZA+ZC_ZB+ZD【解析】如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有=M=22所以=D=2A十2C—2B=1—7i因为 AC: zC—2A=2-(-5-2i)=7+2i,所以|AC /=|7+2i|=V2+22 = V53,因为BD：2D—zB=(1-7i)—(—4+5i)=5-12i,所以| BD|=|5-12i|= V52 +122 =13故点D对应的复数是1-7i，AC与BD的长分别是V53和13题型三复数加、减运算几何意义的应用例3已知=EC，且十3一4i=1，求=的最大值与最小值。【答案】[=max=6，[min=4.【解析】由于十3-4=一（一3十4i)/=1，所以在复平面上，复数=对应的点Z与复数一3十4i对应的点C之间的距离等于1，故复数=对应的点Z的轨迹是以C一3,4)为圆心，半径等于1的圆.O而表示复数=对应的点Z到原点0的距离，又OC=5，所以点Z到原点0的最大距离为5+1=6，最小距离为5-1=4即二max=6，min=4解题技巧（复数的加、减法运算几何意义的解题技巧）（1)一二表示复数=，二的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式
【解析】 因为复平面内的点𝑍1 (𝑥1 ,𝑦1 ), 𝑍2 (𝑥2 ,𝑦2 )对应的复数分别为𝑍1 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖, 𝑍2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖. 所以𝑍1 ,𝑍2之间的距离为|𝑍1𝑍2 | = |𝑍1𝑍2 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑍1−𝑍2 | = |(𝑥1 − 𝑥2 ) + (𝑦1 − 𝑦2 )| = √(𝑥1 − 𝑥2 ) 2 + (𝑦1 − 𝑦2 ) 2 解题技巧： (运用复数加、减法运算几何意义注意事项) 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加 法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的 复数是 z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)． 跟踪训练二 1、已知四边形 ABCD 是复平面上的平行四边形，顶点 A，B，C 分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点 D 对应的复数及对角线 AC，BD 的长． 【答案】D 对应的复数是 1－7i，AC 与 BD 的长分别是 53和 13. 【解析】如图，因为 AC 与 BD 的交点 M 是各自的中点，所以有 zM＝ zA＋zC 2 ＝ zB＋zD 2 ， 所以 zD＝zA＋zC－zB＝1－7i， 因为 AC ―→ ：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i， 所以| AC ―→ |＝|7＋2i|＝ 7 2＋2 2＝ 53， 因为 BD ―→ ：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i， 所以| BD ―→ |＝|5－12i|＝ 5 2＋122＝13. 故点 D 对应的复数是 1－7i，AC 与 BD 的长分别是 53和 13. 题型三 复数加、减运算几何意义的应用 例 3 已知 z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值． 【答案】 |z|max＝6，|z|min＝4. 【解析】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数 z 对应的点 Z 与复数－3＋4i 对应的点 C 之间的距离等于 1，故复数 z 对应的点 Z 的轨迹是以 C(－3,4)为圆心，半径等于 1 的圆． 而|z|表示复数 z 对应的点 Z 到原点 O 的距离，又|OC|＝5， 所以点 Z 到原点 O 的最大距离为 5＋1＝6，最小距离为 5－1＝4. 即|z|max＝6，|z|min＝4. 解题技巧（复数的加、减法运算几何意义的解题技巧） (1)|z－z 0 |表示复数 z，z 0 的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)一=/=r表示以=对应的点为圆心，r为半径的圆(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.跟踪训练三1.设21,22EC,已知[1=22]=1,1+2|=V2,求[1-22],【答案】 [=1—22]= V2【解析】设==a+bi,==c十di(a，b，,dER)，由题设知+b=1,+=1,(a+c+(b+)=2,又(a+c)+(b+d)=a+2ac++b2+2bd+d可得2ac+2bd=0.:2i-=2P=(a-c)2+(b-d)2=α2 +c2+b2+d -(2ac+2bd)=2,-1-2/= V2五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.2.1复数的加、减法运算及其几何意义例 11.复数的加、减法运算例 2例32.，复数的加、减法运算的儿何意义七、作业课本77页练习，80页习题7.2的1、2题教学反思本节课主要是在学生了解复数的概念及其几何意义的基础上，类比实数的加减运算法则探讨得出复数的加减运算法则，类比平面向量的加减运算法则探讨得出复数加减的几何意义，使学生对知识更加融会贯通
(2)|z－z 0 |＝r 表示以 z 0 对应的点为圆心，r 为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判 断，然后通过几何方法进行求解． 跟踪训练三 1．设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，求|z1－z2|. 【答案】|z1－z2|＝ 2. 【解析】设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a＋c) 2＋(b＋d) 2＝2， 又(a＋c) 2＋(b＋d) 2＝a 2＋2ac＋c 2＋b 2＋2bd＋d 2， 可得 2ac＋2bd＝0. ∴|z1－z2| 2＝(a－c) 2＋(b－d) 2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac＋2bd)＝2， ∴|z1－z2|＝ 2. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 77 页练习，80 页习题 7.2 的 1、2 题. 本节课主要是在学生了解复数的概念及其几何意义的基础上，类比实数的加减运算法则探讨得出复数 的加减运算法则，类比平面向量的加减运算法则探讨得出复数加减的几何意义，使学生对知识更加融会贯 通. 7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 1. 复数的加、减法运算 例 1 例 2 例 3 2. 复数的加、减法运算的几何意义