【新教材】8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计（人教A版）教材分析本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积教学目标与核心素养课程目标1.通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式2.能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题数学学科素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题教学重难点重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用：难点：圆台的体积公式的理解课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程情景导入前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察研探二、预习课本，引入新课阅读课本116-119页，思考并完成以下问题1：圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？3球的表面积与体积公式各式什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积
【新教材】8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面 积和体积 教学设计（人教 A 版） 本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一 步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积. 课程目标 1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式． 2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 数学学科素养 1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式； 2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积； 3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用； 难点：圆台的体积公式的理解. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与 体积公式？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本 116-119 页，思考并完成以下问题 1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？ 2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？ 3．球的表面积与体积公式各式什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 （一） 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱（底面半径为r，母线长圆锥（底面半径为r，母线长圆台（上、下底面半径分为1)为1)别为r，r，母线长为1)侧面展.0开图TI2rS 底=2元2底面积S底=元S μ=(r2+r)侧面积S #=2元lS m=rlS侧一元(r十r)/表面积S表=2元(r+)S表=元(r+)S 表=(r2+r)+(r+r)(二)棱柱、棱锥、棱台的表面积1.棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh2.棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V=Sh.33．棱台：台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h，则V+ss+S)h（三）球的体积公式与表面积公式1.球的体积公式V=元R3(其中R为球的半径)2.球的表面积公式S=4元R2四、典例分析、举一反三题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为cm2，表面积为cm2.【答案】8元12元【解析】如图所示，：轴截面是边长为4cm的等边三角形，..OB=2cm,PB=4cm,圆锥的侧面积S=元×2×4=8元（cm2），表面积S表=8元十元×22=12元（cm2）解题技巧（求旋转体表面积注意事项）旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长，圆台通常还要还原为圆锥跟踪训练一1.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，若母线长为10，则圆台的表面积为（A.81元B.100元C.168元D.169元【答案】C
圆柱(底面半径为 r，母线长 为 l) 圆锥(底面半径为 r，母线长 为 l) 圆台(上、下底面半径分 别为 r′，r，母线长为 l) 侧面展 开图 底面积 S 底＝2πr 2 S 底＝πr 2 S 底＝π(r′ 2＋r 2 ) 侧面积 S 侧＝2πrl S 侧＝πrl S 侧＝π(r′＋r)l 表面积 S 表＝2πr(r+l) S 表＝πr(r+l) S 表＝π(r′ 2＋r 2 )+ π(r′＋r)l （二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝Sh. 2．棱锥：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝ 1 3 Sh. 3．棱台：台体的上、下底面面积分别为 S′、S，高为 h，则 V＝ 1 3 (S′＋ S′S＋S)h. (三) 球的体积公式与表面积公式 1．球的体积公式 V＝ 4 3 𝜋𝑅 3 (其中 R 为球的半径)． 2．球的表面积公式 S＝4𝜋𝑅 2 . 四、典例分析、举一反三 题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 例 1 若一个圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为_cm2，表面积为 _cm2 . 【答案】8π 12π. 【解析】如图所示，∵轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形， ∴OB＝2 cm，PB＝4 cm， ∴圆锥的侧面积 S 侧＝π×2×4＝8π (cm2 )，表面积 S 表＝8π＋π×22＝12π (cm2 )． 解题技巧（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 跟踪训练一 1．圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4，若母线长为 10，则圆台的表面积为( ) A．81π B．100π C．168π D．169π 【答案】C
【解析】选C，先画抽截面，再利用上、下底面半径和高的比求解，圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为/=Jh2+(R-r)2=(4r)2+(3r)2=5r=10,所以r=2，R=8.故S=元（R十r）/=元（8十2）×10=100元，S =S 微+元+元R2=100元+4元+64元=168元D.OLCLBOE题型二圆柱、圆锥、圆台的体积例2如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（元取3.14）【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是2元×0.15×0.6+4元×0.152=0.8478（m2），所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000=423.9(kg)解题技巧（求几何体积的常用方法）(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可，（3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等、(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积。【答案】10元，【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为元×2-×5=20元，故所求几何体的体积为10元
【解析】选 C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径 为 r，下底面半径为 R，则它的母线长为 l＝ 2 2 h R r + − ( ) ＝ 2 2 (4 ) (3 ) r r + ＝5r＝10， 所以 r＝2，R＝8.故 S 侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π. 题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积 例 2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是 0.3m，圆柱高 0.6m 如果在浮标表面 涂一层防水漆，每平方米需要 0.5kg 涂料，那么给 1000 个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π 取 3.14） 【答案】423.9kg 【解析】一个浮标的表面积是 ( ) 2 2 2 0.15 0.6 4 0.15 0.8478 m + = ， 所以给 1000 个这样的浮标涂防水漆约需涂料 0.8478 0.5 1000 423.9(kg) = . 解题技巧(求几何体积的常用方法) (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 跟踪训练二 1.如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几 何体的体积． 【答案】10π. 【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为 π×22×5＝20π，故所 求几何体的体积为 10π
2.梯形ABCD中，AD//BC，ZABC=90°，AD=a，BC=2a，ZDCB=60°，在平面ABCD内过点C作1工BC，以1为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积【答案】见解析【解析】由题意知以1为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示在梯形ABCD中，LABC=90°，AD//BC，AD=a，BC=2a，ZDCB=60°BC-AD2a,AB=CDsin60°=V3a,..CD=cOs60°.DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a,DO--DD'=a.由上述计算知，圆柱的母线长为V3a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.圆柱的侧面积S,=2元2a-V3a=4V3元2，圆锥的侧面积S2=元:α:2α=2元g2，圆柱的底面积S=（2a）2=4元，圆锥的底面积S4一元，组合体上底面面积Ss=S3一S4=3元c，：旋转体的表面积S=Si+S+Ss+Ss=(4V3+9)元a又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V=元（2a)2.V3a=4V3元asV33ra-Va=V=3ona=llV3: 旋转体的体积 V=Va-Va=4V3na--,元L3题型三球的表面积与体积例3如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比
2. 梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作 l ⊥BC，以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积和体积． 【答案】见解析 【解析】由题意知以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的 圆锥，如图所示． 在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴CD＝ BC－AD cos60° ＝2a，AB＝CDsin60°＝ 3a， ∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a， ∴DO＝ 1 2 DD′＝a. 由上述计算知，圆柱的母线长为 3a，底面半径为 2a；圆锥的母线长为 2a，底面半径为 a. ∴圆柱的侧面积 S1＝2π·2a· 3a＝4 3πa 2，圆锥的侧面积 S2＝π·a·2a＝2πa 2， 圆柱的底面积 S3＝π(2a) 2＝4πa 2，圆锥的底面积 S4＝πa 2， ∴组合体上底面面积 S5＝S3－S4＝3πa 2， ∴旋转体的表面积 S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4 3＋9)πa 2 . 又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且 V 柱＝π·(2a) 2 · 3a＝4 3πa 3， V 锥＝ 1 3 ·π·a 2 · 3a＝ 3 3 πa 3 . ∴旋转体的体积 V＝V 柱－V 锥＝4 3πa 3－ 3 3 πa 3＝ 11 3 3 πa 3 . 题型三 球的表面积与体积 例 3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比
2【答案】3【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R44三元R3，圆柱的体积V,=元R2.2R=2元R，：V：V,=三元R：球的体积V2元R3333例4平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为V2，则此球的体积为(C. 4V6元D. 6V3元A.V6元B.4V3元【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则 00=V2, 0M=1.:.0M=VN2)+1=V3.即球的半径为V3. :V=元(V3)=4V3元.解题技巧（与球有关问题的注意事项）1.正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r一，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)2.球与正方体的各条棱相切V2a，如图(2)球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有3.长方体的外接球长方体的八个项点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为rVa2+b2+c2如图(3)2Na2+b2+?22ari=2r2=2a2aa(2)(1)(3)4.正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R=V3a5.正四面体的外接球V6正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R=20
【答案】 2 3 【解析】 设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R. 球的体积 3 1 4 3 V R = ，圆柱的体积 2 3 2 V R R R = = 2 2 ， 1 2 4 2 3 3 : : 2 3 3 = = V V R R . 例 4 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1.球心 O 到平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π 【答案】B 【解析】如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点， 则 OO′＝ 2，O′M＝1.∴OM＝ ( 2) 2＋1＝ 3.即球的半径为 3.∴V＝ 4 3 π( 3) 3＝4 3π. 解题技巧（与球有关问题的注意事项） 1．正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1 ＝ 𝑎 2，过在一个平面上的四个 切点作截面如图(1)． 2．球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有 r 2 ＝ √2𝑎 2 ，如图(2)． 3．长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球 的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为 r 3 ＝ √𝑎2+𝑏 2+𝑐 2 2 ，如图(3)． 4．正方体的外接球 正方体棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 3a. 5．正四面体的外接球 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R＝ 6 2 a