向量的数乘运算6.2. 3教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算一一数乘向量，共线向量定理。实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。教学目标与核心素养课程目标学科素养1.数学抽象：实数与向量的积的定义；A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量2.逻辑推理：利用共线向量定理证明三点共线、两线平积的运算律进行有关的计算；行；B.理解两个向量平行的充要条件，能根据3.数学运算：利用实数与向量积的运算律进行有关的计条件两个向量是否平行；算；C.通过对实数与向量的积的学习培养学生4.直观想象：共线向量定理。的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。教学重难点1.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件：2.教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。课前准备多媒体教学过程
6.2.3 向量的数乘运算 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第六章《平面向量及 其应用》，本节课是第 4 课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定 理。 实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向 量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素 去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行 问题又提供了一种方法。特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。 课程目标 学科素养 A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与 向量积的三条运算律，会利用实数与向量 积的运算律进行有关的计算； B.理解两个向量平行的充要条件，能根据 条件两个向量是否平行； C.通过对实数与向量的积的学习培养学生 的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。 1.数学抽象：实数与向量的积的定义； 2.逻辑推理：利用共线向量定理证明三点共线、两线平 行； 3.数学运算：利用实数与向量积的运算律进行有关的计 算； 4.直观想象：共线向量定理。 1.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 2.教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 多媒体
教学过程教学设计意图核心素养目标复习回顾，温故知新1．向量的三角形法则通过复习上节所学a+知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。AB+BC=AC。特点：首尾相接，连首尾。2.向量的平行四边形法则OA+OB=OCB4特点：同一起点，对角线。3.向量减法的三角形法则通过探究，推出数乘向量的定α-b=OA-OB=BA。义，提高学生分析问题、归纳问题的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。能力
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1. 向量的三角形法则 AB+ BC = AC 。 特点:首尾相接，连首尾。 2.向量的平行四边形法则 OA+OB = OC 特点:同一起点,对角线。 3.向量减法的三角形法则 a −b = OA−OB = BA。 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。 通过复习上节所学 知识，引入本节新 课。建立知识间的 联系，提高学生类 比推理的能力。 通过探究，推 出数乘向量的定 义，提高学生分析 问题、归纳问题的 能力
二、探索新知探究l：已知非零向量a，作出a+a+a和-a+(-a)+(-a)，它们的长度与方向分别是怎样的？OC=OA+AB+BC=a+a+a，记作3a。即OC=3a。3a的方向与a的方向相同，[3a=3]al。类似地，PN=-3a，其方向与a的方向相反，1-3a=3|al1.定义：一般地，我们规定实数入与向量α的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入a，它的长度与方向规定如下：(1)1aallal:（2）当>0时，a的方向与a的方向相同：当<0时，a的方向与α的方向相反。说明：（1）当=0时，aa=0。（2）(-1)a=-a。2.向量数乘的运算律探究2：求作向量3(2a)和6a，(2+3)a和2a+3a通过探究，得到几个
二、探索新知 探究 1：已知非零向量 a ，作出 a + a + a 和 −a +(−a) +(−a) ，它们 的长度与方向分别是怎样的？ OC = OA+ AB+ BC = a + a + a，记作 3a 。即 OC = 3a 。3a 的方 向与 a 的方向相同， | 3a |= 3| a |。 类似地， PN = −3a ，其方向与 a 的方向相反， |-3a |= 3| a |。 1.定义：一般地，我们规定实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运 算叫做向量的数乘，记作 a ，它的长度与方向规定如下： （1） | a |=| || a | ； （2）当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的 方向与 a 的方向相反。 说明：（1）当 = 0 时， a = 0 。（2） (−1)a = −a。 2.向量数乘的运算律 探 究 2 ： 求作向量 3(2a) 和 6a ， (2+3)a和2a +3a ， 通过探究，得到几个
向量之间的关系，进2(a+b)和2a+2b（a为非零向量)，并进行比较。一步归纳出数乘向量的运算律，提高学【答案】生的分析问题、归纳问题的能力。3(2a)a2a6a5a2a3a2(a+6)=2a+26a+20+2625a+7az2C设α、6为任意向量，兄、μ为任意实数，则有：，a(ua) =(Au)a(1)(2) (a+μ)a= Na+μa(3) (a+b)=Na+b特别地，有(-)a=-(a)=(-a)a(a-b)=aa-ab向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。注：向量的线性运算的结果仍为向量。通过特例进一步理对于任意向量α、b及任意实数入、μ，恒有解数乘向量的运算
2(a +b)和2a + 2b ( a 为非零向量)，并进行比较。 【答案】 设 a 、b 为任意向量， 、 为任意实数，则有： （1） (a) = ()a （2） ( + )a = a + a （3） (a + b) = a + b 特别地，有 (−)a = −(a) = (−a) (a −b) = a −b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。 注：向量的线性运算的结果仍为向量。 对于任意向量 a 、b 及任意实数 、 ,恒有 向量之间的关系，进 一步归纳出数乘向 量的运算律，提高学 生的分析问题、归纳 问题的能力。 通过特例进一步理 解数乘向量的运算
律，提高学生解决a(uaμ,b)=ua±u,b问题的能力。例1：计算(1) (-3)×4a(2) 3(a+b)-2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c)解：（1）原式=（—3×4)a=-12a通过例题进一（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b步熟悉数乘向量的(3）原式=2a+3b—c—3a+2b-c运算律，提高学生=-a+5b—2c.利用知识解决问题的能力、运算素注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。养。例2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a,AD=b，用向量a,b表示MA,MB,MC和MD解：在口ABCD中，AC-AB+AD=a+b.DB=AB-AD=α-b通过例题进一由平行四边形的两条对角线互相平分，得步熟悉数乘向量的111MA---AC---(a+b)m运算律与向量的运02″2算，提高学生利用11MB=1i_1(a-b)DL2a-D所学知识解决问题22的能力、运算素养。VC11DB=-MD-探究3：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
(1 a 2 b) = 1 a 2 b。 例 1：计算 (1) (−3) 4a (2) 3(a + b) − 2(a −b) − a (3) (2a + 3b − c) − (3a − 2b + c) 注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。 例 2.如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，且 AB = a, AD = b ，用向量 a,b 表示 MA,MB,MC和MD. 探究 3：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量 之间的位置关系吗？ 律，提高学生解决 问题的能力。 通过例题进一 步熟悉数乘向量的 运算律，提高学生 利用知识解决问题 的能力、运算素 养。 通过例题进一 步熟悉数乘向量的 运算律与向量的运 算，提高学生利用 所学知识解决问题 的能力、运算素 养