6.1向量的加法运算教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用.大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。教学目标与核心素养课程目标学科素养A.理解向量加法的意义；1.数学抽象：向量的加法；B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量2.逻辑推理：向量的加法法则：加法的另两个运算法则；3.数学运算：求向量的和；C.理解向量的运算律；4.直观想象：向量加法的集合意义。D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。教学重难点1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义；2.教学难点：向量加法的运算律。课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标
6.1 向量的加法运算 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第六章《平面向量及其 应用》，本节课是本章第 2 课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。本节 内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要 1 课时。 向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘 运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何 中有很普遍的应用。所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。 1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义； 2.教学难点：向量加法的运算律。 多媒体 课程目标 学科素养 A.理解向量加法的意义； B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量 加法的另两个运算法则； C.理解向量的运算律； D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的 过程和思想，增强学生的应用意识。 1.数学抽象：向量的加法； 2.逻辑推理：向量的加法法则； 3.数学运算：求向量的和； 4.直观想象：向量加法的集合意义。 教学过程 教学设计意图 核心素养目标
一、复习回顾，温故知新1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？【答案】向量：既有方向又有大小的量。通过复习上节所学，引入本节新课。建立平行向量：方向相同或相反的向量。相等向量：方向相同并且长度相等的向量。知识间的联系，提高2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什学生概括、类比推理的能力。么叫零向量和单位向量？【答案】向量的大小：有向线段的长度。向量的方向：有向线段的方向。零向量：长度为零的向量叫零向量：单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。二、探索新知思考1：如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？通过思考，由质点的位移引入向量加法的三角形法则，R提高学生的解决间题、分析问题的能力。AC可以认为是AB与BC的和，即【答案】从运算的角度看，位移、可以看作向量的加法。1.已知向量a和b，如图在平面内任取一点O，作OA=a,AB=b，则向量OB叫做a和b的和，记作a+b.即a+b=OA+AB=OB。AB万aaa+bb0求两个向量和的运算叫做向量的加法通过口决，让学根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形生更容易识记法则。法则【口决】首尾相连首尾连。思考2：某物体受到F1，F2作用，则该物体所受合力怎么求？通过思考，由力F的合成引入向量加法的平行四边形法则，提高学生的解决F问题、分析问题的能力。可以认为是F与F和E的和，即力【答案】从运算的角度看，的合成可以看作向量的加法。2.向量加法的平行四边形法则
一、复习回顾，温故知新 1. 向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 【答案】向量：既有方向又有大小的量。 平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量。 2. 用有向线段表示向量，向量的大小和方向 是如何反映的？什 么叫零向量和单位向量？ 【答案】向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。 零向量：长度为零的向量叫零向量； 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量。 二、探索新知 思考 1：如图，某质点从点 A 经过点 B 到点 C，则这个质点的位移 怎么表示？ 【答案】 从运算的角度看， AC 可以认为是 AB 与 BC 的和，即 位移、可以看作向量的加法。 1.已知向量 a 和 b ，如图在平面内任取一点 O，作 OA = a, AB = b ， 则向量 OB 叫做 a 和 b 的和，记作 a + b ．即 a +b = OA+ AB = OB 。 求两个向量和的运算叫做向量的加法. 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形 法则． 【口诀】首尾相连首尾连。 思考 2：某物体受到 F1，F2 作用，则该物体所受合力怎么求？ 【答案】 从运算的角度看， 可以认为是 F 与 F1和F2 的和，即力 的合成可以看作向量的加法。 2.向量加法的平行四边形法则 通过复习上节所学， 引入本节新课。建立 知识间的联系，提高 学生概括、类比推理 的能力。 通过思考，由质 点的位移引入向量 加法的三角形法则， 提高学生的解决问 题、分析问题的能 力。 通过口诀，让学 生更容易识记法则。 通过思考，由力 的合成引入向量加 法的平行四边形法 则，提高学生的解决 问题、分析问题的能 力
如图，以同一点O为起点的两个已知向量α和b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a和b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.CBaba+b1通过思考，进一步理a0解向量加法的三角OC=OA+OB形法则和平行四边【口诀】起点相同，对角线为和。形法则，提高学生的思考3：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？解决问题、分析问题【答案】一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。的能力。注：向量的加法运算结果还是向量对于零向量与任一向量a.我们规定α+0=0+a=0。例1.如图，已知向量a和b，求作向量a+b。通过例题讲解，让学生理解怎样用向量的三角形法则与平行四边形法则求向量的和，提高学生解决问题的能力。(1)(2)图6.2-5图6.2-6解:作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作OA-a，AB=b.则OB=a+b.作法2：在平面内任取一点Q（图6.2-6（2）），作OA=a，O一b以OA，OB为邻边作口OACB，连接OC，则OC=OA+O=a+b，通过探究，求共线向探究1：如果向量a和b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？量的和，进一步理解向量的求和法则，提你能做出向量α+b吗？高学生的解决问题、分析问题的能力。【答案】（1）当a和b同向时，abABC
如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a 和 b 为邻边作平行四 边形 OACB，则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 和 b 的和，我们把这 种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． OC = OA+OB 【口诀】起点相同，对角线为和。 思考 3：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 【答案】一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。 注：向量的加法运算结果还是向量 对于零向量与任一向量 a ．我们规定 a + 0 = 0+ a = 0。 例 1.如图，已知向量 a 和 b ，求作向量 a + b 。 解 ： 探究 1：如果向量 a 和 b 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？ 你能做出向量 a + b 吗？ 【答案】（1）当 a 和 b 同向时， 通过思考，进一步理 解向量加法的三角 形法则和平行四边 形法则，提高学生的 解决问题、分析问题 的能力。 通过例题讲解，让学 生理解怎样用向量 的三角形法则与平 行四边形法则求向 量的和，提高学生解 决问题的能力。 通过探究，求共线向 量的和，进一步理解 向量的求和法则，提 高学生的解决问题、 分析问题的能力
a+b=AB+BC=AC（2）当a和b反向时，a通过探索[b|之间a+blBCA的关系，进一步理解向量的求和法则，提a+b=AB+BC=AC高学生的解决问题、分析问题的能力。探究2：结合例1，探索la+bllallbl之间的关系。【答案】由例1和探究1可得，当α和b反向或不共线时，通过探究，结合向量la+bkal+bl：当a和b同向时，la+bal+bl。所以，的求和法则推导加法运算律，进一步理[a+bal+/b]。解向量的求和法则，提高学生的解决问结论：一般地，有|a+ba|+[b]。题、分析问题的能探究3：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换力。律和结合律呢？(1)(2)图 6.2-7通过例题进一【答案】在平行四边形ABCD中，AC=AB+BC=a+b步理解的运算，用向量解决实际问题，提AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a。高学生用向量解决问题的能力。在图（2）中，AD=AB+BC+CD=AC+CD=(a+b)+cAD=AB+BC+CD=AB+BD=aα+(6+)，所以,(a+b)+c=a+(b+℃).结论：向量加法的交换律和结合律a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)
a +b = AB+ BC = AC （2）当 a 和 b 反向时， a +b = AB+ BC = AC 探究 2：结合例 1，探索 | a +b |,| a |,| b | 之间的关系。 【答案】由例 1 和探究 1 可得，当 a 和 b 反向或不共线时， | a +b || a | + | b | ；当 a 和 b 同向时， | a +b |=| a | + | b | 。所以， | a +b || a | + | b | 。 结论：一般地，有 | a +b || a | + | b | 。 探究 3：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换 律和结合律呢？ 【答案】在平行四边形 ABCD 中， AC = AB+ BC = a +b, AC = AD + DC = b + a ，所以 a +b = b + a 。 在图（2）中， AD = AB+ BC +CD = AC+CD = (a +b) +c ， AD = AB+ BC +CD = AB+ BD = a +(b+c) ，所以， (a +b) +c = a +（b +c）。 结论：向量加法的交换律和结合律 a +b = b + a， (a +b) +c = a +（b +c） 通过探索 | a +b |,| a |,| b | 之间 的关系，进一步理解 向量的求和法则，提 高学生的解决问题、 分析问题的能力。 通过探究，结合向量 的求和法则推导加 法运算律，进一步理 解向量的求和法则， 提高学生的解决问 题、分析问题的能 力。 通过例题进一 步理解的运算，用向 量解决实际问题，提 高学生用向量解决 问题的能力
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2V3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度：（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）解：（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC表示船实际航行的速度。（2）在Rt△ABC中，|AB=2|BC=2/3，所以，AC=//ABP +|BCP= /2? +(2/3)?=4IBCI_2V3E= J3， 所以 ZCAB=60 因为，tanZCAB=[AB|所以，船实际航行速度为4km/h方向与水的流速间的夹角为60%三、达标检测1.化简OP+PO+PS+SP的结果等于（通过练习巩固本节所学知识，通过学生A. QpB. 00C. SPD. SO解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学【解析】P+P0+PS+sP=00+0=00思想，增强学生的应【答案】B用意识。2．在四边形ABCD中，AC=AB+AD，则一定有（）A四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形【解析】由AC=AB+AD得AD=BC,即AD=BC,且ADI/BC,所以四边形ABCD一组对边平行且相等，故为平行四边形【答案】D3.（多选题）下列命题中正确的命题是（）A.如果非零向量α与b的方向相同或相反，那么(a+b)//a;
例 2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所 示，一艘船从长江南岸 A 点出发，以 2 3 km/h 的速度向垂直于对 岸的方向行驶，同时江水的速度为向东 2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表 示）。 解：（1）如图所示， AD 表示船速， AB 表示水速，以 AD、AB 为 邻边作平行四边形 ABCD ，则 AC 表示船实际航行的速度。 （2）在 RtABC 中 ， | AB|= 2,| BC |= 2 3 ， 所 以 ， | | | | | | 2 (2 3) 4 2 2 2 2 AC = AB + BC = + = ， 因为， 3 2 2 3 | AB| | BC | tan CAB = = = ，所以 CAB = 60 。 所以，船实际航行速度为 4km/h,方向与水的流速间的夹角为 60º。 三、达标检测 1．化简OP→ ＋PQ→＋PS→＋SP→的结果等于( ) A．QP→ B．OQ→ C．SP→ D．SQ→ 【解析】 OP→ ＋PQ→＋PS→＋SP→＝OQ→ ＋0＝OQ→ . 【答案】 B 2．在四边形 ABCD 中，AC→＝AB→＋AD→，则一定有( ) A．四边形 ABCD 是矩形 B．四边形 ABCD 是菱形 C．四边形 ABCD 是正方形 D．四边形 ABCD 是平行四边形 【解析】 由AC→＝AB→＋AD→ 得AD→＝BC→，即 AD＝BC，且 AD∥BC， 所以四边形 ABCD 一组对边平行且相等，故为平行四边形． 【答案】 D 3.（多选题）下列命题中正确的命题是( ) A.如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，那么(a＋b)∥a； 通过练习巩固本节 所学知识，通过学生 解决问题的能力，感 悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应 用意识