6.3.1平面向量基本定理教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二次承认》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量基本定理及其应用。本节课是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础本节内容用1课时完成。教学目标与核心素养课程目标学科素养A.理解平面向量基本定理及其意义；1.数学抽象：平面向量基本定理的意义；B.会用基底表示某一向量；2.逻辑推理：推导平面向量基本定理：C.通过学习平面向量基本定理，让学生体3.数学运算：用基底表示其它向量；验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。教学重难点1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；2.教学难点：平面向量基本定理的探究。课前准备多媒体教学过程
6.3.1 平面向量基本定理 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二次承认》（人教 A 版）第六章《平面向 量及其应用》，本节课主要学习平面向量基本定理及其应用。 本节课是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算(向量的加法、减法、 数乘向量、共线向量定理)之后的又一重点内容,它是引入向量坐标表示,将向量的几何运算转化为代 数运算的基础,使向量的工具性得到初步的体现,具有承前启后的作用。平面向量基本定理揭示了平 面向量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础 本节内容用 1 课时完成。 课程目标 学科素养 A.理解平面向量基本定理及其意义； B.会用基底表示某一向量； C.通过学习平面向量基本定理，让学生体 验数学的转化思想，培养学生发现问题的 能力。 1.数学抽象：平面向量基本定理的意义； 2.逻辑推理：推导平面向量基本定理； 3.数学运算：用基底表示其它向量； 1.教学重点：平面向量基本定理及其意义； 2.教学难点：平面向量基本定理的探究。 多媒体
教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新1.共线向量定理【答案】向量a(a+0与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数孔，使b=a。2.向量的加法法则通过复习前面所学知识，引入本节新【答案】三角形法则课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。AB+BC- AC。特点：首尾相接，连首尾。平行四边形法则OA+OB=OC-特点：同一起点，对角线。二、探索新知探究：如图6.3-2（1），设ese2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与epe,都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1.共线向量定理 【答案】向量 a(a 0) 与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 b = a。 2.向量的加法法则 【答案】三角形法则 AB+ BC = AC 。 特点:首尾相接，连首尾。 平行四边形法则 OA+OB = OC 特点:同一起点,对角线。 二、探索新知 探究：如图 6.3-2（1），设 1 2 e，e 是同一平面内两个不共线的向量， a 是这一平面内与 1 2 e，e 都不共线的向量，如图 6.3-2（2），在平面 通过复习前面所学 知识，引入本节新 课。建立知识间的 联系，提高学生概 括、类比推理的能 力
通过探究，利用内任取一点o，作OA=e,OB=e,Oc=a,将a按e,e,的方向分向量加法的平行四解，你有什么发现？边形法则，用两个不共线的向量表示另一个向量，引出平面向量基本定理，提高学生的解决问题、分27析问题的能力。周6.3-【答案】如图，a=OC=OM+ON=2e+e思考1.若向量a与e或e,共线，a还能用a=Me+^e,表示吗？【答案】当向量a与e共线时，a=e+e,当向量a与e,共线时，a=0e+zez。通过思考，进一步完善结论，推思考2.当a是零向量时，a还能用a=e+e,表示吗？出平面向量基本定理。提高学生分析问题、概括能力。【答案】a=0e+0e思考3.设ee是同一平面内两个不共线的向量，在a=e,+Me2中，，是否唯一？【答案】假设a=ere，则ee=ee即(-)+(e=0,所以-=0且=0
内任取一点 O，作 , , , OA = e1 OB = e2 OC = a 将 a 按 1 2 e，e 的方向分 解，你有什么发现？ 【答案】如图， 1 1 2 2 a = OC = OM +ON = e + e 思考 1.若向量 a 与 1 2 e或e 共线， a 还能用 1 1 2 2 a = e + e 表示吗？ 【答案】当向量 a 与 1 e 共线时， 1 1 0 2 a = e + e 。 当向量 a 与 2 e 共线时， 0 1 2 2 a = e + e 。 思考 2.当 a 是零向量时， a 还能用 1 1 2 2 a = e + e 表示吗？ 【答案】 0 1 0 2 a = e + e 思考 3.设 1 2 e，e 是同一平面内两个不共线的向量，在 1 1 2 2 a = e + e 中， 1，2 是否唯一？ 【答案】假设 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a = e + e ，则 e + e = e + e ， 即 (1 −1 )e1 +(2 −2 )e2 = 0，所以1 −1 = 0,且2 −2 = 0， 通过探究，利用 向量加法的平行四 边形法则，用两个不 共线的向量表示另 一个向量，引出平面 向量基本定理，提高 学生的解决问题、分 析问题的能力。 通过思考，进 一步完善结论，推 出平面向量基本定 理。提高学生分析 问题、概括能力
所以=，且=，所以，唯一。1.平面向量基本定理：如果ese,是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，，使a=e+ez。通过说明，让学生进一步理解平面向量我们把(ee叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。基本定理，提高学生理解问题的能力。说明：（1).基底的选择是不唯一的：(2).同一向量在选定基底后，2，2是唯一存在的。(3).同一向量在选择不同基底时，，2可能相同也可能不同。例1.如图，OA,OB不共线，且AP=tAB(tER)，用OA,OB表示OP.通过例题练习平面向量基本定理的运用，提高学生解决问题的能力。解：因为AP=tAB(teR)，所以OP=OA+AP=OA+1AB=OA+t(OB-OA)=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+tOB思考4：观察OP=(1-t)OA+tOB你有什么发现？通过思考，得【结论】如果P、A、B三点共线，点O是平面内任意一点，若到结论，提高学生的观察、概括能
所以 1 = 1，且2 = 2 ，所以 1，2 唯一。 1. 平面向量基本定理： 如果 1 2 e，e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内 的任一向量 a ，有且只有一对实数 1，2 ，使 1 1 2 2 a = e + e 。 我们把 { } 1 2 e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 说明：(1).基底的选择是不唯一的； (2).同一向量在选定基底后， 1，2 是唯一存在的。 (3).同一向量在选择不同基底时， 1，2 可能相同也可能不同。 例 1.如图， OA,OB 不共线，且 AP = tAB(t R) ，用 OA,OB 表示 OP 。 解：因为 AP = tAB(t R) ，所以 OP = OA+ AP = OA+tAB = OA+t(OB −OA) = OA+tOB −tOA = (1−t)OA+tOB 思考 4：观察 OP = (1−t)OA+tOB 你有什么发现？ 【结论】如果 P、A、B 三点共线，点 O 是平面内任意一点，若 通过说明，让学生进 一步理解平面向量 基本定理，提高学生 理解问题的能力。 通过例题练习平面 向量基本定理的运 用，提高学生解决 问题的能力。 通过思考，得 到结论，提高学生 的观察、概括能
力。OP=2OA+μOB,则+μ=1。例2.如图，CD是ABC的中线，CD=AB，用向量方法证明2△ABC是直角三角形。通过例题巩固平面向量基本定理的运证明：设CD=a,DA=b,则CA=a+b,DB=-b,于是CB=a-b用，提高学生用向量知识解决问题的能力。CA.CB=(a+b)(a-b)=a-b因为CD=AB2所以CD=DA，因为a=CD?,b"=DA?所以CA·CB=0。因此CAICB。于是△ABC是直角三角形。三、达标检测1：已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是（）A. AB, DCB. AD, BC通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能C. BC, CBD. AB, DA力，感悟其中蕴含的数学思想，增强
OP = OA+ OB ，则 + =1。 例 2.如图，CD 是 ABC 的中线， CD AB 2 1 = ，用向量方法证明 ABC 是直角三角形。 证明：设 CD = a,DA = b,则CA= a +b,DB = −b,于是CB = a −b, CA CB a b a b a b CD AB 2 1 ( )( ) . 2 2 = + − = − 因为 = 所以 2 2 2 2 CD = DA，因为a = CD ,b = DA ， 所以 CACB = 0。因此CA ⊥ CB 。 于是 ABC 是直角三角形。 力。 通过例题巩固平面 向量基本定理的运 用，提高学生用向 量知识解决问题的 能力。 三、达标检测 1．已知平行四边形 ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量 基底的是( ) A．AB →，DC → B．AD →，BC → C．BC →，CB → D．AB →，DA → 通过练习巩固本节 所学知识，通过学 生解决问题的能 力，感悟其中蕴含 的数学思想，增强