三、典型例题 例1下列数列是否收敛，如果收敛，求出其极限. 1、还 (an=(1+e;( (2)a ncos in. n 解因为，=0+产=0+e爱+in受 所以4，=(1+)cos n 6.=1+记m牙 而 lima,=1,limb,=0 1->00 n->oo
下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. )sin . 1 (1 n n bn , = + π )cos 1 (1 n n 所以an = + 而 lim = 1 , lim = 0 → → n n n n a b 解 三、典型例题 例1 )(cos sin ), 1 (1 n i n n + = + (2) ncosin . ; n = n π i n e n α ) 1 (1) = (1+ n π i n e n α ) 1 (1)因 为 = (1+
所以数列a,=(1+)e收敛， 且lima=1. n->oo 解(2) 由于a&n=ncosin=n cosh n, 当n→oo时，an→o, 所以数列发散
解 (2) 由于n = ncosin 当 n → 时, 所以数列发散. , 1 所以数列 (1 ) 收敛 π i n αn = + e n lim = 1 . → n n 且 = ncosh n, → , n
例2级数 是否收敛？ n 解 级数满足必要条件， 即lim 1+2n+1 =0, n→o n 但 n=1 n=1 n =1+2+-0-+}2+2-以 11 因为级数发散，虽∑(-1)收敛， n=I n=] 原级数仍发散 Note:级数收敛与数列收敛不同
例2 1 1 2 1 级数 是否收敛？ = + + n n n i 解 级数满足必要条件, 0, 1 lim 2 1 = + + → n i n n 即 但 = = + + − = + 1 1 2 1 1 1 ( 1) n n n n n i n i ) 3 1 2 1 ) (1 3 1 2 1 = (1+ + + − i − + − , 1 1 因为级数 发散 n= n 原级数仍发散. , 1 ( 1) 1 虽 收敛 = − n n n = = 1 1 n n = + − 1 1 ( 1) n n n i Note: 级数收敛与数列收敛不同
例3级数 (8i)” 是否绝对收敛？ n=1 n! 解 8” 因为 (8i)” 三 n! n.' 所以由正项级数的比值判别法知： 收敛， 故原级数收敛，且为绝对收敛
! (8 ) 1 级数 是否绝对收敛？ n= n n i 例3 , ! 8 1 收敛 n= n n 故原级数收敛, 且为绝对收敛. , ! 8 ! (8 ) n n i n n 因为 = 所以由正项级数的比值判别法知: 解
4做数日”+是省绝对收敏？ 解 因为少收敛 三”地收敛。 =1 故原级数收敛. 但空为条件收敛 n=1 所以原级数非绝对收敛
; ( 1) 1 因为 收敛 = − n n n , 2 1 1 也收敛 n= n 故原级数收敛. , ( 1) 1 但 为条件收敛 = − n n n 所以原级数非绝对收敛. ] 2 ( 1) 1 [ 1 级数 是否绝对收敛？ = + − n n n i n 例4 解