第二节洛必达法则 一、8 型未定式 二、 型未定式 三、其他未定式 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 洛必达法则 一、 型未定式 二、 型未定式 三、其他未定式 0 0
第二节洛必达法则 一、8 型未定式 定理1设 (1)limf(x)=lim F(x)=0; x->a x→a (2)在点a的某去心邻域内，f'x)及F'x)都存在， 且F'c)≠0 f'(x) 3)1imF'() 存在（或为无穷大）， x->a 那么 f f'(x) 洛必达法则 x->a =limF() x->a 证明白 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 洛必达法则 定理1 设 一、 0 型未定式 0 (1) ( ) ( ) 0 ; lim = lim = → → f x F x x a x a (2) 在点 a 的某去心邻域内，f (x) 及 F (x) 都存在， 且 F (x) 0； (3) ( ) ( ) lim F x f x x a → 存在(或为无穷大)， 那么 . ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim F x f x F x f x x a x a = → → 洛必达法则 第二节 洛必达法则 证明 因为在求极限 ( ) ( ) lim F x f x x→a 时，极限是否存在与 f (x) 及 F(x) 在 x = a 处有无定义无关，故可令 f (a) = 0 , F(a) = 0 . 设 x 是该邻域内的一点，则 f (x) 及 F(x) 在 以 x 及 a 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，于 是有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F x F a f x f a F x f x = − − = ( 在 x 与 a 之间). 所以 ( ) ( ) lim F x f x x→a ( ) ( ) lim F f x a = → ( ) ( ) lim F f a = → . ( ) ( ) lim F x f x x a = → 证毕
第二节洛必达法则 几点说明 (1)定理中的x→a可以改成其他变化过程； a若im 仍属。 型，则可继续施用洛必达法 x->a 则，即 f(x) im f"(x) x->a x-→a ' (③)若lim 不存在，只能说明该极限不能用洛 达法则来计算，而不能断定原极限也不存在 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 洛必达法则 几点说明 (1) 定理中的 x→a 可以改成其他变化过程； (2) 若 ( ) ( ) lim F x f x x a → 仍属 0 0 型，则可继续施用洛必达法 则，即 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim F x f x F x f x F x f x x a x a x a = = → → → (3) 若 ( ) ( ) lim F x f x x a → 不存在，只能说明该极限不能用洛 达法则来计算，而不能断定原极限也不存在
第二节洛必达法则 x3-3x+2 例1求limx-x-x+1 x->l 解 x-Sinx 例2求lim X0 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 第二节 洛必达法则 洛必达法则 解 例1 求 . 1 3 2 3 2 3 1 lim − − + − + → x x x x x x 型 0 0 1 3 2 3 2 3 1 lim − − + − + → x x x x x x 3 2 1 3 3 2 2 1 lim − − − = → x x x x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x (不是未定型) . 2 3 = 注意 6 2 6 lim →1 x − x x 不能再用洛必达法则. 例1 求 . 1 3 2 3 2 3 1 lim − − + − + → x x x x x x 第二节 洛必达法则 解 型 0 0 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → 型 0 0 x x x 6 sin lim →0 = . 6 1 = 例2 求 . sin 3 0 lim x x x x − 例 → 2 求 . sin 3 0 lim x x x x − →
第二节洛必达法则 二、∞ 型未定式 定理2设 (1)limf(x)=limF(x)=; X→a (2)在点a的某去心邻域内，f'x)及F'x)都存在， 且F'c)≠0； (3)lim f'(x) x->a F'(x) 存在（或为无穷大）， 那么 lim X→a F(x) =imF网 f'(x) 洛必达法则 x→a 证明略. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 洛必达法则 定理2 设 二、 型未定式 (1) ( ) ( ) ; lim = lim = → → f x F x x a x a (2) 在点 a 的某去心邻域内，f (x) 及 F (x) 都存在， 且 F (x) 0； (3) ( ) ( ) lim F x f x x a → 存在(或为无穷大)， 那么 . ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim F x f x F x f x x a x a = → → 洛必达法则 证明略