中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 宗语轩余启帆 2022年8月
中 国 科 学 技 术 大 学 数学分析 (B1) 习题课讲义 宗语轩 余启帆 2022 年 8 月
中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 I 序 从“1+1=2”谈起 一高等数学2与初等数学的区别，联系与衔接 “1+1=2”是我们接触数学的起点，但老师们几乎都是通过数数或是举具象的例子这样 直观的方式来告诉我们什么是“1+1=2”，而没有深入讲解加法的定义.我们对几何图形的 了解，亦是通过直观感受图形，以及学习老师们所列举的性质、结论，而没有探究其背后的几 何原理.至于有理数和无理数，数学教材带给我们的也仅仅是它们的存在性，并没有探究两者 间的联系，甚至有很多老师都没有阐明有理数和无理数本质的区别（例如，很多学生并不了解 任何有理数都能表示成P,(口，q)=1的形式).初等数学里这些直观上“显然”的内容却恰恰 是学生踏入高等数学的大门后所需要细究的.很多同学对这一转变无法适应，这导致他们在学 习第一门核心基础课程一数学分析时就开始掉队. 当然，笔者列举这些事实并不是要否定初等数学.相反，在初等数学教育阶段，绝大部分 学生对数学的认知能力非常有限，他们很难绕开形象来接触抽象.因此，在这样的起步阶段， 是需要通过这样直观的方式去引导学生学习数学的.较之于高等数学，初等数学所学习的内容 就好比练武中蹲马步、打沙袋、举石锁的过程.如果急功近利，过早地去练复杂的招式，那么 马脚就会逐渐败露，最后很可能一事无成.对此，笔者觉得很有必要从多个角度谈谈高等数学 和初等数学的区别与联系，以及如何完成这二者的衔接 我们先从定义本身讲起： 初等数学：以“1+1=2”为既定事实建立的数学体系.通俗而言，就是更加直观，更强调 数学的工具性。 高等数学：研究何为“1+1=2”及其衍生出的一系列数学内容.较之初等数学更加抽象， 更重视数学的本原性 初等数学直接承认了很多直观上成立的命题.例如，初等函数连续性是可以直接使用的， 其衍生出的各类性质也被视为“显而易见”.而高等数学正是去研究这些在初等数学体系中视 为“直观上成立”的定义及性质，很多定义还被作为起点来构建出新的体系.例如，把“1+1= 2”作为抽象代数课程的起点，以此来引申出“群环域”的概念；在函数连续性、可导性、可积 性的定义中，引入“无穷小”这一工具，亦是为了真正区分直观上的两个“1”，把“1+1=2”真 正抽丝剥茧.同时，在新的体系下，又衍生出新的定义、性质及结论.这些新的定义、性质及结 论相比初等数学而言，不失直观却更为本原 同时，初等数学中的内容或多或少都会被运用到高等数学中去.因为抽象的探索，脱不开 直观的想象；本原的洞察，少不了工具的驾驭.就如初等数学中直观化和形象化的方法，亦作为 1本文发表于中国科大数院学生会主编的《薪火相传》(2021版)，略有删改 2这里的高等数学是广义的
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 I 序 从 “1 + 1 = 2” 谈起1 ——高等数学2 与初等数学的区别, 联系与衔接 “1 + 1 = 2” 是我们接触数学的起点, 但老师们几乎都是通过数数或是举具象的例子这样 直观的方式来告诉我们什么是 “1 + 1 = 2”, 而没有深入讲解加法的定义. 我们对几何图形的 了解, 亦是通过直观感受图形, 以及学习老师们所列举的性质、结论, 而没有探究其背后的几 何原理. 至于有理数和无理数, 数学教材带给我们的也仅仅是它们的存在性, 并没有探究两者 间的联系, 甚至有很多老师都没有阐明有理数和无理数本质的区别 (例如, 很多学生并不了解 任何有理数都能表示成 p q , (p, q) = 1 的形式). 初等数学里这些直观上 “ 显然” 的内容却恰恰 是学生踏入高等数学的大门后所需要细究的. 很多同学对这一转变无法适应, 这导致他们在学 习第一门核心基础课程——数学分析时就开始掉队. 当然, 笔者列举这些事实并不是要否定初等数学. 相反, 在初等数学教育阶段, 绝大部分 学生对数学的认知能力非常有限, 他们很难绕开形象来接触抽象. 因此, 在这样的起步阶段, 是需要通过这样直观的方式去引导学生学习数学的. 较之于高等数学, 初等数学所学习的内容 就好比练武中蹲马步、打沙袋、举石锁的过程. 如果急功近利, 过早地去练复杂的招式, 那么 马脚就会逐渐败露, 最后很可能一事无成. 对此, 笔者觉得很有必要从多个角度谈谈高等数学 和初等数学的区别与联系, 以及如何完成这二者的衔接. 我们先从定义本身讲起: 初等数学: 以 “1 + 1 = 2” 为既定事实建立的数学体系. 通俗而言, 就是更加直观, 更强调 数学的工具性. 高等数学: 研究何为 “1 + 1 = 2” 及其衍生出的一系列数学内容. 较之初等数学更加抽象, 更重视数学的本原性. 初等数学直接承认了很多直观上成立的命题. 例如, 初等函数连续性是可以直接使用的, 其衍生出的各类性质也被视为 “显而易见”. 而高等数学正是去研究这些在初等数学体系中视 为 “ 直观上成立” 的定义及性质, 很多定义还被作为起点来构建出新的体系. 例如, 把 “1+1 = 2” 作为抽象代数课程的起点, 以此来引申出 “ 群环域” 的概念; 在函数连续性、可导性、可积 性的定义中, 引入 “无穷小” 这一工具, 亦是为了真正区分直观上的两个 “1”, 把 “1 + 1 = 2” 真 正抽丝剥茧. 同时, 在新的体系下, 又衍生出新的定义、性质及结论. 这些新的定义、性质及结 论相比初等数学而言, 不失直观却更为本原. 同时, 初等数学中的内容或多或少都会被运用到高等数学中去. 因为抽象的探索, 脱不开 直观的想象; 本原的洞察, 少不了工具的驾驭. 就如初等数学中直观化和形象化的方法, 亦作为 1本文发表于中国科大数院学生会主编的《薪火相传》(2021 版), 略有删改. 2这里的高等数学是广义的
中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 II 工具被用于高等数学的研究中.再如“变量代换及换元”这一我们在初等数学中学习的技巧， 即使在积分及微分的处理中也经常使用，它甚至还起到了关键乃至决定性作用.这些贯穿整个 数学阶段的思想方法及工具，在不同阶段有不同的地位及用途，时而宏观，时而具化，亦或两者 兼具. 再从学习模式的角度谈起： 初等数学的教学一般都是以“简单的定义→适量的性质及推论→大量的例子→衍生 出大量课本之外的技巧及结论”的模式进行.如前所说，这些内容始终是高等数学学习及数学 研究的基本工具，在初等数学的学习阶段，必须对这些“工具”先要熟练掌握，再要灵活运用， 最后融会贯通.在绝大部分学生几乎不具备抽象思维的时候，这种如同“学工具”的学习模式 在初等数学的学习中是适用的. 高等数学的教学一般都是以“困难的定义→大量的性质及推论→适量的例子→衍生 出极少量课本之外的技巧及结论”的模式进行.高等数学里的课程本身起点很高，因此高等数 学的学习绝不能抱着“学工具”的想法，而是要文火慢炖，勤于思考和探究，最后要融入所学 课程的体系和思维方式，这是第一要义.就如数学分析这一课程，它开门见山地引入了无穷小 的概念，进而定义了极限.要想尽快适应这样的转变，就要在学习过程中深入课程，适应体系， 探明本质 为了让同学们更好地适应高等数学的学习，笔者还想谈一谈如何更好地进行初高等数学 间的衔接 (1)一定要理解无穷（包括大和小）的内涵，深究无穷性与有穷性的区别，并在无穷性中继 续深挖根源.“无穷小”是研究为何“1+1=2”成立（实数的构造）及其衍生出的内容的一个 重要手段： (2)要以工具性的观点运用初等数学，要持求知的态度探索高等数学，切忌高等数学学习 “工具化”； (3)学习高等数学不能忽视初等数学里常用的直观化和形象化的方法，他们很有可能为高 等数学中一些问题的解决提供了动机，再加上数学本身具有理科语言学的特性.因此，具备良 好的洞察力及语言逻辑能力是任何阶段的数学学习中不可或缺的一部分： (4)学习高等数学要学会探索规律，追溯本质.看似复杂的体系及问题，其关键往往归结 于核心的处理手段及思维方式，同时，在学习任何知识过程中都要具备类比、归纳、演绎以及 多维推广等数学思想方法： (⑤)学习完高等数学中的每一门课程，都应该回头思考课程的真正核心内容，明确课程主 线，理清一些重要的定理或命题的地位及用途，并探究其中的联系， 最后，祝各位USTCer在科大四年里能够治学修身，畅游数学之领域，感悟生活之乐趣 2019级数学科学学院1班宗语轩 2021年2月于杭州 有关初高等数学衔接的推荐用书： 程艺：数学基础选讲，高等教育出版社，2022
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 II 工具被用于高等数学的研究中. 再如 “变量代换及换元” 这一我们在初等数学中学习的技巧, 即使在积分及微分的处理中也经常使用, 它甚至还起到了关键乃至决定性作用. 这些贯穿整个 数学阶段的思想方法及工具, 在不同阶段有不同的地位及用途, 时而宏观, 时而具化, 亦或两者 兼具. 再从学习模式的角度谈起: 初等数学的教学一般都是以 “简单的定义 → 适量的性质及推论 → 大量的例子 → 衍生 出大量课本之外的技巧及结论” 的模式进行. 如前所说, 这些内容始终是高等数学学习及数学 研究的基本工具, 在初等数学的学习阶段, 必须对这些 “工具” 先要熟练掌握, 再要灵活运用, 最后融会贯通. 在绝大部分学生几乎不具备抽象思维的时候, 这种如同 “ 学工具” 的学习模式 在初等数学的学习中是适用的. 高等数学的教学一般都是以 “困难的定义 → 大量的性质及推论 → 适量的例子 → 衍生 出极少量课本之外的技巧及结论” 的模式进行. 高等数学里的课程本身起点很高, 因此高等数 学的学习绝不能抱着 “ 学工具” 的想法, 而是要文火慢炖, 勤于思考和探究, 最后要融入所学 课程的体系和思维方式, 这是第一要义. 就如数学分析这一课程, 它开门见山地引入了无穷小 的概念, 进而定义了极限. 要想尽快适应这样的转变, 就要在学习过程中深入课程, 适应体系, 探明本质. 为了让同学们更好地适应高等数学的学习, 笔者还想谈一谈如何更好地进行初高等数学 间的衔接: (1) 一定要理解无穷 (包括大和小) 的内涵, 深究无穷性与有穷性的区别, 并在无穷性中继 续深挖根源. “无穷小” 是研究为何 “1 + 1 = 2” 成立 (实数的构造) 及其衍生出的内容的一个 重要手段; (2) 要以工具性的观点运用初等数学, 要持求知的态度探索高等数学, 切忌高等数学学习 “工具化”; (3) 学习高等数学不能忽视初等数学里常用的直观化和形象化的方法, 他们很有可能为高 等数学中一些问题的解决提供了动机, 再加上数学本身具有理科语言学的特性. 因此, 具备良 好的洞察力及语言逻辑能力是任何阶段的数学学习中不可或缺的一部分; (4) 学习高等数学要学会探索规律, 追溯本质. 看似复杂的体系及问题, 其关键往往归结 于核心的处理手段及思维方式, 同时, 在学习任何知识过程中都要具备类比、归纳、演绎以及 多维推广等数学思想方法; (5) 学习完高等数学中的每一门课程, 都应该回头思考课程的真正核心内容, 明确课程主 线, 理清一些重要的定理或命题的地位及用途, 并探究其中的联系. 最后, 祝各位 USTCer 在科大四年里能够治学修身, 畅游数学之领域, 感悟生活之乐趣. 2019 级 数学科学学院 1 班 宗语轩 2021 年 2 月于杭州 有关初高等数学衔接的推荐用书: 程艺: 数学基础选讲, 高等教育出版社, 2022
中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 III 前 言 数学分析，是一门以“什么是极限”为起点，把微分学、积分学、级数等理论作为主要内 容，并主要在实数范围内以“极限”作为工具研究连续性、可微性、可积性等性质的基础课程， 同时亦是从初等数学到高等数学过渡的桥梁.和多数大学数学课程一样，数学分析具有严格的 公理体系.但是相比后续课程而言，数学分析课程中的定义和定理理解起来并不困难，抽象程 度也不高，大部分内容都可以用直观的方式加以理解；此外，数学分析需要用到大量初等数学 所学的知识、技巧和结论，这一特点在许多习题中均有体现，因此说数学分析起到了初、高等 数学间的过渡作用 当前，中国科大全校学生都需要通修数学分析课程，其中非数学专业学生均通修数学分析 (B1)(B2)两门课程，数学专业学生通修数学分析(A1)(A2)(A3)或数学分析(B1)(B2)(B3)三 门课程.本书主要针对数学分析(B1)课程，其知识深度及广度介于其他高等院校的高等数学 (单、多变量微积分)和数学专业数学分析之间，课程主干和知识点上更倾向于高等数学（单、 多变量微积分)，但在证明分析能力和技巧运用上更贴近于数学专业的数学分析要求， 在2021年秋季学期，两位笔者分别有幸担任数学分析(B1)程艺老师（宗语轩）、汪琥庭 老师（余启帆）班级的助教.在我们担任助教期间，发现不少同学的学习方式和思维观念一直 没有从中学数学中转变，导致始终没有适应数学分析的课程体系；从部分同学的作业中也体现 出数学语言使用不规范，逻辑不清晰等问题.基于我们担任半年助教期间的积累，同时为了让 后人更好地适应课程体系，加深概念理解，强化分析功底，并适当开拓视野，我们共同编写了此 份《中国科学技术大学数学分析(B1)习题课讲义》 本讲义的内容编排基本参照数学分析(B1)课程教材《数学分析讲义（第1册）》的顺序！ 依次如下：极限，函数的连续性，一元微分学及其应用，不定积分，一元积分学及其应用，无穷 级数.以上内容我们将以章节的形式为大家呈现，由于本讲义是习题课讲义，从定位上可以看 作课堂内容的补充、延伸和拓展，我们在每个章节的编排上主要分为“命题判断及推理”、“专 题选讲”和“补充习题”三部分内容（部分章节略有出入） ·命题判断及推理包括命题证明和反例构造，起到本讲义的“开胃餐”作用.选取的一部 分命题来源于教材概念、定理、例题和作业题的延伸，以及学生作业中的典型“伪证”，这一部 分的命题我们记为A组，要求大家理解和掌握：还有一部分命题难度较大，用于拓展，这一部 分的命题我们记为B组，让大家欣赏了解即可.无论是命题证明还是反例构造，都有助于培养 学生独立思考能力，同时加深概念理解，明确概念间的地位和联系，最重要的一点是帮助学生 克服主观臆想，走向逻辑推理，更好地适应课程体系 ·专题选讲是本讲义的“正餐”.其中一部分是课堂内容的整理或补充，包括课堂内容的 整合加工，以及一些难以理解的概念的讨论等：另一部分是在知识层面和技巧层面上进行适度 的延伸及拓展，但考虑到适用对象的问题，我们不会在讲义中补充过深过难的拓展内容和奇技 淫巧 ·补充习题是本讲义的“加餐”我们把习题按难度和要求分为A/B/C三组.其中A组
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 III 前 言 数学分析, 是一门以 “什么是极限” 为起点，把微分学、积分学、级数等理论作为主要内 容, 并主要在实数范围内以 “极限” 作为工具研究连续性、可微性、可积性等性质的基础课程, 同时亦是从初等数学到高等数学过渡的桥梁. 和多数大学数学课程一样, 数学分析具有严格的 公理体系. 但是相比后续课程而言, 数学分析课程中的定义和定理理解起来并不困难, 抽象程 度也不高, 大部分内容都可以用直观的方式加以理解; 此外, 数学分析需要用到大量初等数学 所学的知识、技巧和结论, 这一特点在许多习题中均有体现, 因此说数学分析起到了初、高等 数学间的过渡作用. 当前, 中国科大全校学生都需要通修数学分析课程, 其中非数学专业学生均通修数学分析 (B1)(B2) 两门课程, 数学专业学生通修数学分析 (A1)(A2)(A3) 或数学分析 (B1)(B2)(B3) 三 门课程. 本书主要针对数学分析 (B1) 课程, 其知识深度及广度介于其他高等院校的高等数学 (单、多变量微积分) 和数学专业数学分析之间, 课程主干和知识点上更倾向于高等数学 (单、 多变量微积分), 但在证明分析能力和技巧运用上更贴近于数学专业的数学分析要求. 在 2021 年秋季学期, 两位笔者分别有幸担任数学分析 (B1) 程艺老师 (宗语轩)、汪琥庭 老师 (余启帆) 班级的助教. 在我们担任助教期间, 发现不少同学的学习方式和思维观念一直 没有从中学数学中转变, 导致始终没有适应数学分析的课程体系; 从部分同学的作业中也体现 出数学语言使用不规范, 逻辑不清晰等问题. 基于我们担任半年助教期间的积累, 同时为了让 后人更好地适应课程体系, 加深概念理解, 强化分析功底, 并适当开拓视野, 我们共同编写了此 份《中国科学技术大学数学分析 (B1) 习题课讲义》. 本讲义的内容编排基本参照数学分析 (B1) 课程教材《数学分析讲义 (第 1 册)》的顺序, 依次如下: 极限, 函数的连续性, 一元微分学及其应用, 不定积分, 一元积分学及其应用, 无穷 级数. 以上内容我们将以章节的形式为大家呈现, 由于本讲义是习题课讲义, 从定位上可以看 作课堂内容的补充、延伸和拓展, 我们在每个章节的编排上主要分为 “命题判断及推理”、“专 题选讲” 和 “补充习题” 三部分内容 (部分章节略有出入). • 命题判断及推理包括命题证明和反例构造, 起到本讲义的 “开胃餐” 作用. 选取的一部 分命题来源于教材概念、定理、例题和作业题的延伸, 以及学生作业中的典型 “伪证”, 这一部 分的命题我们记为 A 组, 要求大家理解和掌握; 还有一部分命题难度较大, 用于拓展, 这一部 分的命题我们记为 B 组, 让大家欣赏了解即可. 无论是命题证明还是反例构造, 都有助于培养 学生独立思考能力, 同时加深概念理解, 明确概念间的地位和联系, 最重要的一点是帮助学生 克服主观臆想, 走向逻辑推理, 更好地适应课程体系. • 专题选讲是本讲义的 “正餐”. 其中一部分是课堂内容的整理或补充, 包括课堂内容的 整合加工, 以及一些难以理解的概念的讨论等; 另一部分是在知识层面和技巧层面上进行适度 的延伸及拓展, 但考虑到适用对象的问题, 我们不会在讲义中补充过深过难的拓展内容和奇技 淫巧. • 补充习题是本讲义的 “加餐”. 我们把习题按难度和要求分为 A/B/C 三组. 其中 A 组
中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 IV 习题以中档题和少量基础题为主；B组习题以一定技巧性，灵活度较高，分析味较重的较难题 为主；C组习题一部分来自灵活度很强，分析味浓厚的难题，一部分来自层层递进的探究题， 还有少部分题目在知识层面和证明方法上达到数学专业类数学分析的要求略超出本课程的 要求上限，但这部分题目有助于提升数学的证明能力和逻辑思维能力.读者可以根据自己的需 求，选择相应层次的习题进行练习.部分习题提示与解答会附在本讲义最后，以供大家参考」 此外，在期中、期末两个阶段，我们还分别撰写了期中部分及期末部分的知识梳理，便于 大家复习备考」 程艺老师曾说过：“Calculus和Analysis两手都要抓！两手都要硬！”分析固然是本课程 的核心和精髓，无需赘言：但计算能力更是看家子、硬本领，科学上很多问题都是通过正确的 计算才能看出端倪并得以解决.此外，提升计算能力还可以训练人的直觉和洞察力，从而提升 认知层次.因此，本讲义在侧重分析的同时，也力求把古典分析精妙与细致的计算力呈现出来， 特别感谢两个班级的老师，其他助教和所有同学提供的问题，解法及各种资料，同时特别 感谢2020级数院博士吴天学长对助教工作和本书撰写的大力支持. 由于笔者水平有限，加之时间紧迫，部分内容未免片面或有所疏漏，笔误亦在所难免，恳请 广大读者批评指正，感激不尽！ 2019级数学科学学院1班宗语轩 2022年1月于杭州 2019级少年班学院创新试点3班余启帆 2022年1月于广州 符号说明 ·an↑a:数列{an}单调递增趋于a; ·bn↓b:数列{bn}单调递减趋于b. 2欢迎访问个人主页： 宗语轩：http:/home.ustc.edu.cn/-zyx240014/ 余启帆：http:/home.ustc.edu.cn/-qifan/, 闻道有先后，内容有疏漏.发现错误欢迎联系我们：zyx240014@mai1.ustc.edu.cn,qifan@mai1.ustc.edu.cn
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 IV 习题以中档题和少量基础题为主; B 组习题以一定技巧性, 灵活度较高, 分析味较重的较难题 为主; C 组习题一部分来自灵活度很强, 分析味浓厚的难题, 一部分来自层层递进的探究题, 还有少部分题目在知识层面和证明方法上达到数学专业类数学分析的要求, 略超出本课程的 要求上限, 但这部分题目有助于提升数学的证明能力和逻辑思维能力. 读者可以根据自己的需 求, 选择相应层次的习题进行练习. 部分习题提示与解答会附在本讲义最后, 以供大家参考. 此外, 在期中、期末两个阶段, 我们还分别撰写了期中部分及期末部分的知识梳理, 便于 大家复习备考. 程艺老师曾说过: “Calculus 和 Analysis 两手都要抓! 两手都要硬! ” 分析固然是本课程 的核心和精髓, 无需赘言; 但计算能力更是看家子、硬本领, 科学上很多问题都是通过正确的 计算才能看出端倪并得以解决. 此外, 提升计算能力还可以训练人的直觉和洞察力, 从而提升 认知层次. 因此, 本讲义在侧重分析的同时, 也力求把古典分析精妙与细致的计算力呈现出来. 特别感谢两个班级的老师, 其他助教和所有同学提供的问题, 解法及各种资料, 同时特别 感谢 2020 级数院博士吴天学长对助教工作和本书撰写的大力支持. 由于笔者水平有限, 加之时间紧迫, 部分内容未免片面或有所疏漏, 笔误亦在所难免, 恳请 广大读者批评指正, 感激不尽! 2019 级 数学科学学院 1 班 宗语轩 2022 年 1 月于杭州 2019 级 少年班学院 创新试点 3 班 余启帆 2022 年 1 月于广州 符号说明 • an ↑ a: 数列 {an} 单调递增趋于 a; • bn ↓ b: 数列 {bn} 单调递减趋于 b. 2欢迎访问个人主页: 宗语轩: http://home.ustc.edu.cn/~zyx240014/ 余启帆: http://home.ustc.edu.cn/~qifan/ 闻道有先后, 内容有疏漏. 发现错误欢迎联系我们: zyx240014@mail.ustc.edu.cn, qifan@mail.ustc.edu.cn