《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章_4.2.1（1/2）

第二节换元积分法第一类换元法/.又叫微分法第二类换元法（代换法）三、小结思考题高等数学（上册）

一、第一类换元法（又叫凑微分法） 二、第二类换元法（代换法） 三、小结 思考题 第二节 换元积分法

一、第一类换元法（文叫微分法）问题cos2xdx =(?)sin2x+C利用复合函数，设置中间变量解决方法过程令t=2x=x:dt22sin2x + Csintcos2xdx =cos tdt=222高等数学（上册）

问题 cos 2xdx   ( )sin2x C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t  2x 1 1 1 2 2 2  x  t  dx  d( t)  dt, cos 2xdx  1 2  costdt   sint  C 2 1 sin2 . 2 1  x  C 一、第一类换元法（又叫凑微分法）

定理1定理设f(u)具有原函数，u=(x)可导，则有换元公式[f[o(x)l(x)dx= [| f (u)dulu=p(x)第一类换元公式（又叫凑微分法）说明使用此公式的关键在于将[ g(x)dx 化为 ( f[p(x)]p(x)dx.注意：观察点不同，所得结论不同考虑「sin2xdx如何求解?高等数学（上册）

设 f (u)具有原函数，    f[(x)] (x)dx   ( ) [ ( )d ] u x f u u  第一类换元公式（又叫凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx  化为 f [(x)](x)dx.  注意：观察点不同，所得结论不同. u  ( x)可导， 则有换元公式 定理 定理1 考虑  sin 2 xdx如何求解？

解法1sin 2xdxt=2x,=x=dx = d(U211sintdtcost +Ccos2x + C:222解法2sin 2xdx2sin xcos xdx t = sin x,dt = cos xdx= 2tdt = t? +c=(sin x) +C;解法3sin2xdx t = cos x,dt = -sin xdx=2sin x cos xdxtdt = -t? +C = -(cosx) +C注：第一类换元法的中即直接令间变量可以不设出来，体现凑微分的思想高等数f(p(x)dx=f((x)d(x),P

解法1 sin 2xdx  1 1 2 2  sintdt   cost C  cos 2 ; 2 1   x  C 解法2 sin 2xdx   2 sin xcos xdx  2  2 tdt  t  c  sin  ; 2  x  C 1 1 1 2 2 2 2 t  x, x  t  dx  d( t)  dt t  sin x,dt  cos xdx 解法3 sin 2xdx   2 sin xcos xdx 2  2 tdt  t  C  cos  . 2   x  C t  cos x,dt  sin xdx          ，体现凑微分的思想 . 注：第一类换元法的中 间变量可以不设出来， 即直接令  f  x  x dx   f  x d x

令3+2x=t,解出x，代入1练习：4-2"dx = In|x|+C求dx.例1 3+2x1又解dx(3+2xdx3+2x3+2x251dl3+2x基本微分23+2x=In |3+ 2x |+C.2[ f(ax +b)dx ==[ f(ax +b)d(ax +b)（1）一般地高等数学（上册）

1 3 2 dx  x  1 ln | 3 2 | . 2   x C   f (ax b)dx   1     f (ax b)d ax b a （1）一般地 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1        x dx  3  2 d x x 3 2 3 2 1 2 1     d3  2x 例1 求 1 3 2 dx.  x  又解 1dx ln x C x    基 本 凑 微 分 练习：4-2