第五节二阶常系数线性微分方程一、定义二、、线性微分方程解的结构三、二阶常系数齐次线性方程解法四、二阶常系数非齐次线性方程解法五、小结思考题
二、线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 五、小结 思考题 第五节 二阶常系数线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性方程解法 一、定义
一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式y" + py'+ qy = 0二阶常系数非齐次线性方程的标准形式y"+ py'+qy= f(x)
一、定义 y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y py qy f (x) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
线性微分方程的解的结构二、纟1.二阶齐次方程解的结构(1)y" + P(x)y' +Q(x)y= 0定理1如果函数yi(x)与y2(x)是方程(1)的两个解，那末y=CJ+C2yz也是（1)的解．（C，C,是任意常数）问题：J=Cii+C,y2一定是通解吗？
二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构 定理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y C y C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是任 意常数） 问题: y C1 y1 C2 y2一定是通解吗？ y P(x) y Q(x) y 0 (1)
定理2:如果y,(x)与y,(x)是方程(1)的两个线性无关的特解，那么y=CJ+C2Jz就是方程（1)的通解.（C，C,是任意常数）yi(x)u(x）≠ 常数，注：若在区间I上有y2(x)则函数y,(x)与y,(x)在区间I上线性无关例如y"+y=0,观察有y, = cosx, y, = sinx,且 z=tan x±常数, :. 通解y=C,cosx+C, sinx.y1
注：若在区间 I 上有 ( ) 常数， ( ) ( ) 2 1 u x y x y x 则函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 在区间 I 上线性无关. 定理 2：如果 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 1 1 2 2 y C y C y 就是方程(1)的 通解. （ 1 2 C , C 是任意常数） 例如 y y 0, cos , sin , 1 2 y x y x tan , 1 且 2 x 常数 y y cos sin . 通解y C1 x C2 x 观察有
2.二阶非齐次线性方程的解的结构定理3设V是二阶非齐次线性方程(2)y" + P(x)y'+Q(x)y = f(x)的一个特解，Y是与（2）对应的齐次方程（1）的通解，那么y=Y+y是二阶非齐次线性微分方程（2）的通解
2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定理 3 设 * y 是二阶非齐次线性方程 y P(x) y Q(x) y f (x) (2) 的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的 通解, 那么 * y Y y 是二阶非齐次线性微分 方程(2)的通解