《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_10-4

第四节可降阶的二阶微分方程一、"=f(x)型的微分方程二、y"=f(x,y')型的微分方程三、J"=f(y,y')型的微分方程四、小结思考题

四、小结 思考题 第四节 可降阶的二阶微分方程 二、y  f ( x, y)型的微分方程 三、y  f ( y, y) y   f ( y , y  )型的微分方程 一、y  f (x)型的微分方程

一、y"=f(x)型特点：等式右端仅含有自变量x.解法：将'视为新的未知函数，则 y'= ( f(x)dx+C)同理可得y ={LJ f(x)dx+C,Jdx+C,可得通解

解法： 特点： 等式右端仅含有自变量 x. 将 y 视为新的未知函数， 可得通解. 一 、 y   f (x) 型 1 2 1 [ ( ) ] ( ) . y f x dx C dx C y f x dx C  + +   + ò ò ò 同理可得 则

X的通解。例1 求微分方程 y"=e2×-sin 3解次，得对所给方程连续积分两x+3cos=+CV32X+9sin=+C,x+C34

例1 . 3 sin 求微分方程 2 的通解 x y e x    解 对所给方程连续积分两 次，得 2 1 1 3cos 2 3 x x y  e + + C 2 1 2 1 9sin 4 3 x x y  e + + C x + C

二、 y"=f(x,y') 型特点：右端不显含未知函数y.-D解法：设y'=p方程变为 p'=f （x，p).·—关于x,p的—阶微分方程，设其通解为p=β(x,C)dy即p(x,Cl)p=dx故方程的通解为：=p(x,C,)dx+C

设 y  p d , d p y p x     特点： 右端不显含未知函数 y. 解法： 方程变为 p  f（x，p）. 二、 y  f (x, y) 型 关于x, p的一 阶微分方程，设其通解为 ( , ) C1 p   x 即 1 d ( , ) d y p x C x    故方程的 通解为： 1 2 y  (x,C )dx + C ò

例2求微分方程(1+x2)y"=2xy"满足初始条件 Jx= =1，Jx=o=3 的特解。可得解：设=p,代入方程并分离变量后2xdpdx.1+ xp两端积分得InP = In(1+ x°) + C即(Ci = )p= j'=Ci(1+x2)

例2 求微分方程 1+ x y  2xy 2 ( ) 满足初 始条件 1 3 y x0  , y x0  的特解. (1 ) ( ) ln ln(1 ) . 1 2 , 1 2 1 2 2 C p y C x C e p x C dx x x p dp y p    +  ±  + + +    即 两端积分得 解： 设 代入方程并分离变量后 可得