中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第二章 线性方程组的直接解法

511111r -(1/1).r11-2-(1/ 1) 3-70r -(-2 /1)r其中P=≤PAA1-(-2 / 1)13-14-310r -(3 / 1)r1)-(3/ 1)0-2-1-2-551111(10r -(-1/ 1)r1-23-71≤P(PA)其中P, =20600-(-1/1)1r4 -(-2/1)r1-51-1904-(-2 / 1)011115(10-71-231r -(-5 / 2)r=[U Iy]其中P,=002061≤ P(PPA)00044(-5 /2)11综上亦即：(P,P,P)[A|b]=[UIyl,其中U为上三角矩阵1/11即:A=(P,P,P)-"U其中L=P-P-P-=1-2/1-1/1=(P-"P-P-")U≤LU3/1-2/1-5/21

-16 - A  2 1 r r   ( ) 1 / 1 3 1 r r  ( ) 2 / 1 4 1 r r  ( ) 3 / 1 1 – 2 3 – 7 1 1 1 1 5 –1 4 – 3 13 –2 –1 –2 –5 P A1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 / 1 2 / 1 (3 / 1) 1 P                0 其 中 00  3 2 r r  ( ) 1 / 1 4 2 r r  ( ) 2 / 1 2 1 P P A ( ) 2 1 1 ( 1 / ) 1 ( ) / 1 1 2 1 P                 其 中 00 2 0 6 –5 4 –19 1 1 1 1 5 0 1 – 2 3 – 7 00  4 3 r r  ( ) 5 / 2 0 0 0 4 – 4  [ | ] U y 3 2 1 P P P A ( ) 3 1 1 1 ( ) 5 / 2 1 P                其 中 综 上 亦 即 ： 即 ： 1 3 2 1 A P P P U ( )  LU 111 L P P P 1 2 3  其 中  111 1 2 3 ( ) P P P U   3 2 1 ( )[ | ] [ | ], P P P A b U y U  其中 为 上三角 矩 阵. 1 1 1 1 5 0 1 – 2 3 – 7 0 0 2 0 6 1 / 1 2 / 1 1 / 1 3 / 1 2 1 1 1 / 1 5 / 2 1                 

L'A=U[A= LU所以，消元过程台L-"[A]b]=[UI]一介1L'b=yLy=b即：消元过程即对A进行了LU分解的同时也求解了Ly=b例对矩阵A进行LU分解236172361[2] 1361a;l()111(3)1[1]2274ia22alA=()06()()-3[3]-6i=3,463315i=2,3,45832[()(3)6[()748202316[121361()1111ail111rU=.. L=a3336()36()31-6i=4()-9()()2-92O算法1.3（直接LU分解）-17-

-17 - 所 以 ， 消 元 过 程 1 L A b U y [ | ] [ | ]    11 L A U L b y       A LU Ly b      即:消元过程即对A LU Ly b 进行了 分解的同时也求解了  . 例 对矩阵A LU 进行 分解. 361 2 4 7 2 6 3 15 3 4 7 [2] 8 20 A              1 1 11 2,3,4 i i a r r a i         226242 2 3 6 1 1 1 6 3 0 8 5 [1]2               1 2 22 3,4i i a r r a i            22 6 6 2 1 4 2 2 1 2 3 6 1 1 1 16 6 3 [3]              1 3 334i i a r r ai               22 6 6 2 1 4 2 6 2 1 3 2 3 6 1 1 1 1 3 69               2 3 6 1 1 1 1 , 1 1 1 3 6 1 2 2 2 1 3 69 L U                              算法1.3 (直接LU分解)

11151124-2-1例 已知　A=b=3-2-32-5131210用LU分解法分别求解：(1)Ax=b；(2)A’z =b解先求A的LU分解：1111312A=LU=0-2-1234-2-5/2Ly=b= y=(5, -7, 6, -4)(1)Ax=b台LUx=b台Ux= y= x=(1, 2, 3, -1)-18-

-18- 2 1 1 1 1 5 1 2 1 4 2 2 3 2 5 3 3 1 2 1 10 (1) ; (2) A b LU Ax b A z b                                  例 已知 ， 。 用 分解法分别求解： 解 先求 的 分解： A LU 1 1 1 2 1 1 3 2 5/ 2 1                 1 1 1 1 1 2 3 2 0 4              A LU   (1) Ax b    LUx b Ly b Ux y       5 7 6 4 T     y ， ， ，  2 3 1 T    x 1

1)11113-2A=20-234-2-5/2(2) A’z = bα A(Az) = bAx= b=→ x=(1, 2, 3, -1)介Az=xAx = bLUz=xAx=b=→ w=(1, 1, 6, 13)Lw=x介人= z =(-2. 5, -2.75, 3, 3.25)Uz=w-19-

-19- 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 2 0 3 2 5/ 2 1 4 A                                2 3 1 T    x 1， 2 (2) A z b    A Az b ( )                1 6 13 T   w 1， ， ，  2.75 3 3.25 T    z -2.5， ， ， Ax b  Az x  LUz x        Ax b  Lw x  Uz w Ax b 

几点备注（1）LU分解法实际上是高斯消去法，是其矩阵形式。(2）LU分解法在解系数矩阵相同的多个方程时具有节省计算量的明显优势。3）非奇异矩阵A能分解为LU的充要条件是A的顺序主子式不为0（4）若非奇异矩阵A有分解，分解是唯一的20-

-20- (1) LU分解法实际上是高斯消去法，是其矩阵形式。 (2) LU分解法在解系数矩阵相同的多个方程时， 具有节省计算量的明显优势。 (3) 非奇异矩阵A能分解为LU的充要条件是A的顺序 主子式不为0. . 几点备注 (4) 若非奇异矩阵A有分解,分解是唯一的