第九章常微分方程数值解法S1Euler方法 2 Runge-Kutta法S3 单步法的绝对稳定性S4线性多步法85一阶方程组与高阶方程的初值问题
-1- 第九章 常微分方程数值解法 §1 Euler方法 §2 Runge-Kutta法 §3 单步法的绝对稳定性 §4 线性多步法 §5 一阶方程组与高阶方程的初值问题
常微分方程数值解法口必要性在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程。只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。y'=1-2xy如微分方程初值问题其解析解（精确解）为：y(0) = 0(x)=e-" ["e" dt但y(1)、y(1.5)等值却无法直接计算。2-
-2- 必要性 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程。 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题 中的微分方程往往无法求出解析解。 1 2 (0) 0 y xy y 如微分方程初值问题 ，其解析解(精确解)为： 但 、 等值却无法直接计算。 y y ( ) ( ) 1 1.5 2 2 0 ( ) x x t y x e e dt 常微分方程数值解法
国什么叫微分方程数值解就是求微分方程解函数y(x)在区间[a,b]上的一系列离散点x,：a=x<x, <x <...<x,=b上函数值y(x,)的近似值y,(k=1,,n)，称y,为问题的数值解。心哪些微分方程的数值解？y'=f(x,y) a≤x≤b一阶方程初值问题[y(a)= yoy"= f(x,y,y') a≤x≤b一高阶方程初值问题(a) = yo , y'(a) = y'[=(x,Ji,J2) (xo)=--方程组初值问题y2 = f(x,y1,y2) yz(xo) = y2P186-定理1-3-微分方程"解析解”存在的条件国
- 3 - 什么叫微分方程数值解 . ( ) [ , : ] k 就是求微分方程 在区间 上的一系列离散点 解函数y x a b x 0 1 2 n a b x x x x ( ) ( 1, , ) k k 上函数值 的近似值 ， y x y k n k 称 为问题的 y 数值解。 哪些微分方程的数值解？ . 0 ( , ) ( ) y f x y a x b y a y 一阶方程初值问题 0 0 ( , , ) ( ) , ( ) y f x y y a x b y a y y a y 高阶方程初值问题 1 1 1 2 1 0 1 2 2 1 2 2 0 2 ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) y f x y y y x y y f x y y y x y 方程组初值问题 微分方程 存在的条件 . "解析解" P186 1 定理
$1欧拉方法一 问题已知初值问题y'=f(x,y) a≤x≤bb-a, h=Ny(a)= yo求其解函数y= y(x)在等距节点x,=a+nh(n=0,,N)上的近似值 y,?-4-
-4- §1 欧拉方法 0 ( ) ( 0 ( , ) ( ) , , ) ? n k y f x y a x y y x x a nh b b a h y N N y a y n 已知初值问题 ， ， 求其解函数 在等距节点 上的近似值 一 问题
[y'=f(x,)a≤x≤b二方法(y(a)= yo显式公式1.Euler方法将初值问题的解函数y=y(x)在x.点Tarloy展开，有：y"()y(x)= y(x,)+y'(x,)(x-x,)+c-x.)-2!而y'=f(x,y),所以 y(x,)= f(x,y(x,), 代入上式:y"()J(x)= y(x,)+ f(xn,J(x,)(x-x,)+ -x2!令x= xn+1 :-y(xn+1) = y(x,)+ f(x,,y(x,)(xnt1 -x,)2!y"(5n)h, 其中5,E(xn,Xn+1)= y(x.)+ f(x,,y(x,)h+2!(5)n，得y(x1)的近似值y/)满足：截去T：2!--Euler公式yn+ = y, +hf(x,,y,)-5-
-5- 二 方法1. Euler方法 ( ) Tarloy n 将初值问题的解函数 在 点 展开，有： y y x x 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! n n n n y y x y x y x x x x x 而 ， y f x y ( , ) ( ) ( , ( )) n n n 所以 ，代入上式： y x f x y x 2 ( ) ( ) ( ) ( , ( ))( ) ( ) 2 ! n n n n n y y x y x f x y x x x x x 1 : n x x 令 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ( ))( ) ( ) 2 ! n n n n n n n n n y y x y x f x y x x x x x 2 1 ( ) ( ) ( , ( )) , 2 ! ( , ) n n n n n n n y y x f x y x h h x x 其中 2 1 ( ) , 2! n y T h 截去 1 1 ( ) n n y x y 得 的近似值 满足： 1 ( , ) n n n n y y hf x y 0 ( , ) ( ) y f x y a x b y a y Euler公式 显式公式