华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第5章 导数和微分

华师大数学分析(第五版)讲义第五章导数和微分第五章导数和微分$1导数的概念导数的定义【背景1】（瞬时速度）设一质点作直线运动，其运动规律为s=s().若t.为某一确定的时刻，1为邻近于t。的时刻，则= s()-s(t)t-to是质点在时间段[to,t](或[,t])上的平均速度，若t→t。时平均速度的极限存在，则称极限s(t)- s(to)V=lim(1)t-to→o为质点在时刻t的瞬时速度.如图所示，曲线【背景2】（切线的斜率）y=f(x)在其上一点P(xo,yo)处的切线PT是割线y=f(x)PO当动点O沿此曲线无限接近于点P时的极限位P(XJ)置.由于割线PQ的斜率为k= I(x)-f(xo)x-Xo因此当x→x时如果k的极限存在，则极限f(x)-f(xo)k = lim(2)-→XX-Xo即为切线PT的斜率.定义1设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义，若极限1中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第五章 导数和微分 第五章 导数和微分 §1 导数的概念 一、导数的定义 【背景 1】（瞬时速度） 设一质点作直线运动，其运动规律为  tss )( ．若 为某一确 定的时刻，t 为邻近于 的时刻，则 0t 0t 0 0 st st () ( ) v t t    是质点在时间段[ 0 ,tt ](或 tt 0 ],[ )上的平均速度．若  tt 0 时平均速度 v 的极限存在，则称 极限 0 0 0 () ( ) limt t st st v  t t    （１） 为质点在时刻 的瞬时速度． 0t 【背景 2】（切线的斜率） 如图所示，曲线  xfy )( 在其上一点 处的切线 ),( 00 yxP PT 是割线 PQ 当动点 Q 沿此曲线无限接近于点 P 时的极限位 置．由于割线 的斜率为 PQ 0 0 ()( xx xfxf k    ) ， 因此当 时如果 0  xx k 的极限存在，则极限 k  0 0 )()( lim0 xx xfxf xx    （2） 即为切线 PT 的斜率． 定义 1 设函数 在点 的某邻域内有定义，若极限  xfy )( 0 x 中国矿业大学数学学院 1

华师大数学分析（第五版）讲义第五章导数和微分f(x)-f(x.)lim(3)X→x(X-Xo存在，则称函数f在点x。处可导，并称该极限为函数f在点x。处的导数，记作f（x。）令x=x+Ax,Ay=f(x。+△x)-f(xo),则(3)式可改写为Ay(0 +Ar)- (x0) = f(x0)= limlim(4)Ar-→0 △rAxAx-→0所以，导数是函数增量Ay与自变量增量Ax之比兴的极限。这个增量比称为函数关于自变Ax量的平均变化率（又称差商），而导数f(x。）则为f在x。处关于x的变化率若(3)(或(4))式极限不存在，则称f在点x不可导，-例1（自由落体运动）y=f(t)=gt2。求t时刻的瞬时速度。21g(t+At)2281f(t+△t)-f(t)解 v(t)= f'(t)= limlimAt4->0N-→0At-1g(1+)2g(21+)12=limlim =g(2t +N)= gtlimAtAtA→02Ar→04r→0例2（教材例1）求抛物线y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线方程与法线方程解 与上例类似f(x)=2x在点(1.1)处的切线斜率为k= f(1)= 2,所以切线方程为：y-1=2(x-1)，法线方程为：y-1:(x-1)例3（教材例2）证明函数f(x)=x在点x。=0不可导证因为f(x)- f(0)f(x)- f(O)= lim = =1, lim-X=limlimx→0*x-0x-0X→0x-0*xx-→0"xf(x)-f(O)不存在，所以f在点x=0不可导。极限lim→x-0定义2：设函数y=f(x)在点x。的某右邻域[xo,x。+)上有定义，若右极限2中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第五章 导数和微分 0 )()( lim 0 0 xx xfxf xx    （3） 存在，则称函数 f 在点 处可导 x0 ，并称该极限为函数 f 在点 处的导数 x0 ，记作 ．)( 0  xf 令 ),()(, 0 0 0     xfxxfyxxx 则(3)式可改写为 ).( )()( lim lim 0 0 0 0 0 xf x xfxxf x y x x            （4） 之比 x y   所以，导数是函数增量 y 与自变量增量 x 的极限．这个增量比称为函数关于自变 量的平均变化率(又称差商)，而导数 f ) 0 (x 则 处 为 f 在 0 x 关于 x 的变化率． 若(3)(或(4))式极限不存在，则称 f 在点 不可导． 0 x 例 1（自由落体运动） 1 2 ( ) 2 y f t gt   。求 时刻的瞬时速度。 t 解 2 2 0 0 1 1 ( ) ( ) () 2 2 ( ) ( ) lim lim t t g t t gt ft t ft vt f t t t              2 2 0 1 1 ( ) 2 2 limt g t t gt t       0 0 1 (2 ) 1 2 lim lim (2 ) t t 2 gt tt g t t gt t            例 2 （教材例 1）求抛物线 2 y  fx x ( )  在点(1,1) 处的切线方程与法线方程. 解 与上例类似 f () 2 x x  在点 处的切线斜率为 (1,1)  fk   ,2)1( 所以切线方程为： xy  )1(21 ，法线方程为： 1 1 ( 2 y x   1) 。 例 3 （教材例 2） 证明函数 fx x ( )  在点 不可导 0 . x0  证 因为 0 0 0 0 ( ) (0) ( ) (0) lim lim 1, lim lim 1 x x 0 0 x x fx f x fx f x x xx x                  极限 0 ( ) (0) limx 0 f x f  x   不存在，所以 在点 f x  0不可导． 定义 2 设函数 在点 的某右邻域  xfy )( 0 x ),[ xx 00   上有定义，若右极限 中国矿业大学数学学院 2

华师大数学分析(第五版)讲义第五章导数和微分Ay= lim(x0 +Ax)- (x0)(0 <Ar <8)limArAr-0Ax4r-0*存在，则称该极限值为f在x。的右导数，记作f(x）.类似地，我们可定义左导数f(x +Ar)- f(xo)f(xo) = lim Ax右导数和左导数统称为单侧导数例如：在例3中，f(0)=1,f(0)=-1。显然f(x。)存在一f*(x)与f(x)都存在，且f*(x)=f(x)设f(x)在点x。可导，那么%- f(c)=0(1)(Ar→0)Ax由o(1)·△x=o(△x)，得(5)Ay = f'(xo)Ar + o(Ar)我们称(5)式为f(x)在点x。的有限增量公式．注意，此公式对△r=0仍旧成立类似地有单侧有限增量公式：Ay= f*(xo)Ar+o(Ar)(Ar→0*)Ay= f(x)Ar+o(Ax) (Ax -→0-)定理1[习题5.1:10]若函数f在点x存在左、右导数，则在点x连续。证由单侧有限增量公式，limAy=limAy=0=limAy=0。Ax-→0*Ax-→0例如：f(x)=x,f(O)=1,f'(0)=-1，所以f(x)在点x=0处连续。推论若函数f在点x。可导，则f在点x。连续【注】可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件，例如：f(x)=x在点x=0连续，但不可导.例4[习题5.1:4]（光滑连接问题）设3中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第五章 导数和微分 )0( )()( lim lim 0 0 0 0              x x xfxxf x y x x 存在，则称该极限值为 在 的 f x0 右导数，记作 )( 0 xf   ． 类似地，我们可定义左导数 x xfxxf xf x          )()( lim)( 0 0 0 0 . 右导数和左导数统称为单侧导数． 例如：在例 3 中， f f     (0) 1, (0) 1    。 显然 )( 0  xf 存在   xf 0 )( 与 )( 0 xf   都存在，且 )( 0 xf   = )( 0 xf   . 设 在点 可导，那么 xf )( 0 x 0 ( ) (1)( 0) y fx o x x       由o x (1) ( )     x ，得 ).()( 0      xxxfy (5) 我们称(5)式为 在点 的 xf )( x0 有限增量公式．注意，此公式对 x  0仍旧成立． 类似地有单侧有限增量公式： 0 y fx x x x ( ) ( ) ( 0)         0 y fx x x x ( ) ( ) ( 0)         定理 1 [习题 5.1:10] 若函数 在点 存在左、右导数，则 在点 连续． f 0 x f 0 x 证 由单侧有限增量公式， 0 0 0 lim lim 0 lim 0 x x x yy y            。 例如： fx x ( )  , f f     (0) 1, (0) 1    ，所以 f ( ) x 在点 x  0处连续。 推论 若函数 在点 可导，则 在点 连续． f 0 x f 0 x 【注】 可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件． 例如： fx x ( )  在点 连续，但不可导． x  0 例 4 [习题 5.1:4] （光滑连接问题）设 中国矿业大学数学学院 3

华师大数学分析（第五版）讲义第五章导数和微分xx≥3f(x)=lax+b,x<3试确定a.b的值，使f在x=3处可导。解要使f在x=3处可导，首先f在x=3处要连续。由f(3+0)=f(3-0)得9=3a+b其次还要在x=3处左、右导数相等f(3) = 2x- = 6ax+b-9f(x)-f(3)ax-3af'(3) = lim == limlimx-3x-33→3°x-3由 f'(3)= f'(3)得a=6,b=-9 。例5(教材例4)证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x。=0可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证当x。0时，由归结原理可得f(x)在点x.不连续，所以f(x)在点x=x。不可导.当x。=0时，由于D(x）为有界函数，因此得到F(0) = lim /()- (0) 2 = lim xD(x) = 0x-0+例6求下面函数在点x=0的左右导数。(1) f(x)= x,f'(0)= f'(0)= +00(2) F(x)= /x, J*(0) = +00, J(0) = =01xsin-,x±0Ay1sin-J(0),J(0)都不存在，(3) f(x):xArAr0,x=01,x<0xsin-(4) f(x):f(0)=1, f(0)不存在。xx,x≥01x sin-,x￥0例 7 (x):求f'(0)。x0,x=0f(x)-f(0)解f(0)= lim= limxsin--0x-0X-0x-→>044中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第五章 导数和微分 2 , 3 ( ) , 3 x x f x ax b x        ， 试确定 的值，使 a b, f 在 处可导。 x  3 解 要使 f 在 处可导，首先 x  3 f 在 x  3处要连续。由 f f (3 0) (3 0)    得 9 3  a b  其次还要在 处左、右导数相等 x  3 3 (3) 2 6 x f x      3 33 ( ) (3) 9 3 (3) lim lim lim x xx 3 3 f x f ax b ax a 3 f a x xx                由 f f     (3) (3)  得 a b   6, 9 。 例 5 (教材例 4) 证明函数 )()( 仅在点 2  xDxxf x0  0 可导，其中 为狄利克雷 函数. xD )( 证 当 时，由归结原理可得 在点 x0  0 xf )( 0 x 不连续，所以 在点 不可导． xf )( 0  xx 当 时，由于 为有界函数，因此得到 x0  0 xD )( .0)(lim 0 )0()( lim)0( 0 0         xxD x fxf f x x 例 6 求下面函数在点 的左右导数。 x  0 （1） 1 3 fx x f f ( ) , (0) (0)        （2） 3 2 fx x f f ( ) , (0) , (0)          （3） 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x         ， 1 sin y x x     , (0), (0) f f     都不存在， （4） 1 sin , 0 ( ) , 0 x x f x x x x         ， f f (0) 1, (0)      不存在。 例 7 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x         ，求 f (0) 。 解 0 0 ( ) (0) 1 (0) lim lim sin 0. x x 0 fx f f x   x x       中国矿业大学数学学院 4

华师大数学分析（第五版）讲义第五章导数和微分二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f为I上的可导函数．此时对每一个xEI，都有f的一个导数f(x)(或单侧导数)与之对应：这样tdy就定义了一个在「上的函数，称为在！上的导函数，也简称为导数。记作,y或dx即f(x+Ax)-f(x)f(x) = lim .xelAxAr-→>0例81° f(x)=c,f'(x)=0,xeR2°f(x)=x",f(x)=nx"-l,neN.,xeR(x+ Ax)" - x"Ay=limy'= lim=lim(C'xn-I+C,x"-?.Ax+...+C"Ar"-l)Ar→0 AxAxrAr→0Ax→0= nx"-3° f(x)=sinx,f'(x)=cosx,xeRAxArAxr2sinsin-cos(x+sin(x +Ax)- sin x222Axcos(x+Ax2ArAx2Axsin-Axr2 . lim cos(x+(sin x)'= lim=coSx2ArAr→>0Ax-→024°f(x)=cosx,f'(x)=-sinx,xeR15°f(x)=log。x,f(x)=-log.e(a>0,a1)，,x>0。特别地，(lnx)=xxlog.(x+Ax)-logax1log,(1+AxAx1log.(1+ r)ArAxx子x1Ar1Ar(loga x)'= lim -loga(1+-log.eAr0xxx5中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第五章 导数和微分 二、导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导(对区间端点，仅考虑相应的单侧导数)，则称 f 为 I 上 的可导函数．此时对每一个 ，都有 的一个导数  Ix f  xf )( (或单侧导数)与之对应．这样 就定义了一个在 I 上的函数，称为 在f I 上的导函数，也简称为导数．记作 或 , yf  d d y x ， 即 ., )()( lim)( 0 Ix x xfxxf xf x         例 8 1° f ( ) , ( ) 0, x cf x x R     2° 1 () , () , , n n f x x f x nx n N x R       11 2 2 1 0 0 0 ( ) lim lim lim ( ) n n nn n nn n xx x y xx x n y Cx Cx x C x x x                      11 1. n n C x nx n     3° f ( ) sin , ( ) cos , x x f x xx     R  ), 2 cos( 2 2 sin x x x x     x x x xxx  xx      ) 2 cos( 2 sin2 sin)sin( ) 2 cos(lim 2 2 sin lim)(sin 0 0 x x x x x x x           cos x 4° f ( ) cos , ( ) sin , x x f x xx     R 5° 1 ( ) log , ( ) log ( 0, 1) a a f x x f x ea a x     ，, x  0 。特别地， x x 1 )(ln   . )1(log log)(log 1 x x x x xxx a a a       x x a x x x    )1(log 1 ， e xx x x x a x x a x a log 1 )1(log 1 lim)(log 0        . 中国矿业大学数学学院 5