华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第3章 函数极限

华师大数学分析（第五版）讲义第三章函数极限第三章函数极限$1函数极限概念sinsinx的图象。引例1考察函数y=x0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-11-1050-50-40-30-20010203040当x→+0(x→-)时, y→?定义1设为定义在[α,+o)上的函数，A为定数．若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M时，有I(x)-A|<8则称函数f当x趋于+8时以A为极限，记作lim f(x)= A美或 f(x)→A(x→+o0)++4-yaf(a)C类似可定义：中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 第三章 函数极限 §1 函数极限概念 引例 1 考察函数 sin x y x  的图象。 sin 1 x x x  -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 当 x x     ( ) 时， y  ? 定义 1 设 f 为定义在[ ) a, 上的函数， 为定数．若对任给的 A  >0，存在正数 M ( )  a ，使得当 x  M 时，有 fx A ( )    则称函数 f 当 x 趋于+ 时以 A 为极限，记作 lim ( ) x f x   A 或 xAxf  )()( . 类似可定义： 中国矿业大学数学学院 1

函数极限华师大数学分析（第五版)讲义第三章lim f(x)= Alim f(x)= A显然：limf(x)=Alimf(x)=A=limf(x)例1 f(x)=sinx,则xlim f(x)=0, lim f(x)=0, lim f(x)=0X++or-例2 lim (Vx +1-x)=011Vx?+1-x=/x2+1+ xxx-1lim-例3一x+2333x-1<6=>+2x+2x + 2][x|-20例4【教材例2]证明：元元(2)(1)limarctanx=lim arctanx=22X→+o任给0由于元、(2)arctanx-<82元元等价-8而此不等式的左半部分对任何x都成立，所以只要考察<arctanx<22其右半部分x的变化范围。为此，先限制s号，，则有2元-tan("x<tan(--6),-22元元故对任给的正数<)，只需取M=tan(-8)>0，则当x<-M时便有(2)式成22立．这就证明了1)，类似地可证2)【注】当x→o时arctanx不存在极限，引例2考察函数y=xsin一的图象。xsin-≤xxx2中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 lim ( ) x f x A   lim ( ) x f x A   显然：lim ( ) x f x A   lim ( ) lim ( ) x x f x A fx     例 1 sin ( ) x f x x  ，则 lim ( ) 0, lim ( ) 0, lim ( ) 0 xxx fx fx fx       例 2   2 lim 1 0 x x x     2 2 1 1 1 1 x x x x x      例 3 1 lim 1 x 2 x  x    1 33 3 1 2 2 22 x x x xx           例 4［教材例 2］ 证明： （1） 2 arctanlim    x x ；（2） lim arctan x 2 x    . 任给  0 由于   )  2 x (arctan (2) 等价 2 arctan 2     x  ，而此不等式的左半部分对任何 x 都成立，所以只要考察 其右半部分 x 的变化范围．为此，先限制 2    ，则有 ). 2 tan() 2 tan(    x   故对任给的正数 ( 2 )    ，只需取 tan( ) 0 2 M      ，则当 x  M 时便有 式成 立．这就证明了 ，类似地可证 ． )2( )1 )2 【注】 当 x   时arctan x 不存在极限． 引例 2 考察函数 1 y x sin x  的图象。 1 x sin x x  中国矿业大学数学学院 2

华师大数学分析（第五版）讲义第三章函数极限0.20.150.10.050-0.05-0.1-0.150.20.1-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.150.2当x→0时，y→?定义2设函数f在点x的某个空心邻域U（xo,)内有定义，A为定数。若对任给的>0存在正数8<)，使得当0<x-x<8时，有I(x)- A|<则称函数f当x趋于x时以A为极限，记作lim f(x)=A 或 f(x)→A(x→x)Xf(x)0(1) lim c= c.例5(2)limx=xo→31例6lim xsin-=0x->0x例7【教材例4]证明：(1)limsinx=sinxo；(2) lim cosx = cos Xo→TX(1) sin x- in o = 2lcos #+lx-Xo≤x- xolsin22对任给的6>0,只要取8=8，则当0<x-x<8时，就有3中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 当 时， x  0 y  ? 定义 2 设函数 f 在点 的某个空心邻域 0 x 0 U x(,)   内有定义， 为定数．若对任给 的 A   0 存在正数 (  ) ，使得当0  xx 0   时，有 fx A ( )    则称函数 f 当 x 趋于 时以 0 x A 为极限，记作 0 lim ( ) x x f x   A 或 0 f () ( ) x Ax x   例 5 0 0 0 (1) lim , (2)lim x x x x cc xx     例 6 0 1 lim sin 0 x x  x  例 7［教材例 4］证明： 0 0 0 0 (1) lim sin sin ; (2) lim cos cos x x x x x x x     x （1） 0 0 0 0 2 sin 2 cos2sinsin xx xxxx xx    ． 对任给的  ,0 只要取   ，则当0 xx 0   时，就有 中国矿业大学数学学院 3

华师大数学分析（第五版）讲义第三章函数极限sinx-sinxo<所以lim sinx=sinxoX-→X0*+X0 -I sin -2|sinx-x[x-xol.(2)/cosx-cosx=2/sin222其他与（1）类似。定义3设函数f在U（x,8）内有定义，A为定数。若对任给的>0，存在正数8(<)，使得当x<x<x。+时，有Jf(x)-A|<8则称数A为函数f当x趋于x时的右极限，记作lim (x)=A 或 (x)→A(x→x)类似可定义左极限。右极限与左极限统称为单侧极限．f在点x。的右极限与左极限又分别记为f(xo +0)= lim (x) 与 f(xo -0)= lim f(x)显然lim f(x)= A- lim f(x)= A= lim f(x)例8 f(x)=[x]-2-10211lim f(x)=0,lim f(x)=-1,limf(x)不存在。T例9[习题3.1：习题8，参见教材第四章第1节例3]证明：对Riemann函数R(x)有limR(x)=0，X。E[0,1]（当x为端点时，极限是指单侧极限。4中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限   0 sinsin xx ． 所以 . 0 sinsinlim0 xx xx   （2） | 2 sin|2| 2 sin|| 2 sin|2|coscos| 0 0 0 0 xxxx xx xx       0   | | x x 其他与（1）类似。 定义 3 设函数 在f  0 U x  ,   内有定义， 为定数．若对任给的 A   0 ，存在正数    ，使得当 x0  x x0   时，有 fx A      则称数 为函数 当 A f x 趋于 时的右极限，记作  0 x   0 lim x x f x    A 或 f  x Ax x   0     类似可定义左极限。右极限与左极限统称为单侧极限． 在点 的右极限与左极限又 分别记为 f 0 x   xf xf  xx   0 0 lim0 与 xf  xf  xx    0 0 lim0 显然       0 0 0 lim lim lim x x xx xx f x A fx A fx        例 8 f () [] x x  0 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) 1,lim ( ) x x x f x fx        f x 不存在。 例 9 [习题 3.1：习题 8， 参见教材第四章第 1 节例 3] 证明：对 Riemann 函数 xR )( 有 0)(lim0   xRxx ， ]1,0[ x0  （当 0 x 为端点时，极限是指 单侧极限）。 中国矿业大学数学学院 4

华师大数学分析(第五版)讲义第三章函数极限β x=号(晚约真分数)R(x)=qq0，x=0,1,(0,1)内无理点1V>0，R(x)≥q≤-的点x只有有限个有理点。设这有限个点为,，",么5即R(x)除了这有限个点之外，都是R(x)<ε。对于[0,1]中的任一点xo，总能取到充分小的，使U°（xo,の）（端点是半邻域）不包含这有限个点。例如，记r=0,+=1，取min(l xo-r,Xoro,r2,"",'+!ISiSk+I8=min(xo-rB,xo=rISiSk+1[itio这样xU(x,)时，有|R(x)-0=R(x)<6.5中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 1 ,( ) ( ) 0 0,1,(0,1) p x R x q q x         既约真分数 ， 内无理点    0 ，R x( )   1 q    的点 x 只有有限个有理点。设这有限个点为 . 即 1 2 , , k rr r  R( ) x 除了这有限个点之外，都是 R x( )   。 对于 中的任一点 ，总能取到充分小的 ]1,0[ 0 x  ，使 0 U x( ,)   （端点是半邻域）不包 含这有限个点。例如，记 ，取 0 1 0, 1 k r r    1 0 0 0 0 02 1 1 0 0 1 1 min {| |}, , , , min {| |}, i k i k i i i k i i x r x rr r xr x r                   这样 0 xUx  ( ,)   时，有| ( Rx Rx ) 0| ( )    . 中国矿业大学数学学院 5