中国矿亚大医CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGYCh7常微分方程数值解法$1引言S2欧拉方法83龙格库塔法84一阶方程组与高阶方程初值问题85收敛性与稳定性
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY Ch7 常微分方程数值解法 §1 引言 §2 欧拉方法 §3 龙格库塔法 §4 一阶方程组与高阶方程初值问题 §5 收敛性与稳定性
中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY常微分方程数值解法口必要性在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程。只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。y'=1-2xy如微分方程初值问题其解析解（精确解）为：J(0)= 0y(x)=e-" T'e"'dt但y(1）、y(1.5)等值却无法直接计算
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 必要性 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程。 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题 中的微分方程往往无法求出解析解。 1 2 (0) 0 y xy y ⎧ ′ = − ⎨ ⎩ = 如微分方程初值问题 ，其解析解(精确解)为： 但 、 等值却无法直接计算。 y y () ( ) 1 1.5 2 2 0 ( ) x x t y x e e dt − = ∫ 常微分方程数值解法
中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY什么叫微分方程数值解就是求微分方程解函数y(x)在区间[a,b]上的一系列离散点x,：a=x<x<x<<x,=b上函数值y(x）的近似值y,(k=1,,n)，称y,为问题的数值解。口哪些微分方程的数值解？y'=f(x,y) a≤x≤b-一阶方程初值问题(y(a) = yo[y"=f(x,y,y) a≤x≤b高阶方程初值问题-y(a)= yo , y'(a) =α[y' = fi(x,J1,J2) yi(xo) = J11--方程组初值问题y2 = f2(x,yi,2) y(xo) = y2口微分方程”解析解”存在的条件
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 什么叫微分方程数值解 . ( ) [, : ] k 就是求微分方程 在区间 上的一系列离散点 解函数y x a b x 012 n a b = xxx x < < << " = ( ) ( 1, , ) k k 上函数值 的近似值 ， y x y k n = " k 称 为问题的 y 数值解 。 哪些微分方程的数值解？ . 0 (,) ( ) y f xy a x b ya y ⎧ ′ = ≤ ≤ ⎨ − − = ⎩ 3 一阶方程初值问题 0 (, ) () , () y f xyy a x b ya y y a α ⎧ ′′ ′ = ≤ ≤ ⎨ − − = = ′ ⎩ 3 高阶方程初值问题 1 1 12 10 1 2 2 12 20 2 (, , ) ( ) (, , ) ( ) y f xy y y x y y f xy y y x y ⎧ ′ = = ⎨ − − ′ = = ⎩ 3 方程组初值问题 微分方程 存在的条件 . "解析解
中国大华CHINA UNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY定理 若f(x,y)在G=(x,y)/xe[a,b],ye(-o0,+o0))连续，并且关于y满足Lipschitz条件，即存在常数L使对于Vxe[a,b],Vyr,,ER都有L为Lip一常数f(x,y)-f(x,y2)<Lly -y2)则问题(1)有唯一解y=yv(x)且y(x)在[a,bl上连续，在(a,b)上可微，且连续依赖与初值。初值有微小的变化而引起解的变化也是微小的，即问题是良态的。本章总假设（1）满足定理中的条件
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 定理 若f x y G x y x ab y ( , ) {( , ) | [ , ], ( , ) } 在 = ∈ ∈ −∞ +∞ 连续，并且关于y满足Lipschitz条件，即存在常数 L使对于 1 2 ∀∈ ∀ ∈ x ab y y R [ , ], , 都有 1 2 12 | ( , ) ( , )| | | f xy f xy L y y − ≤ − L 为Lip－常数 则问题(1)有唯一解y =y (x ) 且y (x ) 在 [ a , b ]上连续，在 ( a , b )上可微，且连续依赖与初值。 初值有微小的变化而引起解的变化也是微小的， 即问题是良态的。 本章总假设(1)满足定理中的条件
中国矿亚大警CHINAUNIVERSITY OF MININGANDTECHNOLOGY$1欧拉方法问题一已知初值问题y=f(x,y) a≤x≤bb-a，h=NLy(a)= yo求其解函数y=y(x)在等距节点x,=a+nh(n=0,,N)上的近似值y,?
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY § 1 欧拉方法 0 () ( 0 (,) ( ) ,) ? n k y f xy a x y y x x a nh b b a h y N N y a y n ⎧ ′ = ≤≤ ⎪ − ⎨ = ⎪ = = + ⎩ = = " 已知初值问题 ， ， 求其解函数 在等距节点 上的近似值 一 问题