第五章数值积分法81数值积分的基本概念S2 插值型求积公式83 复化积分法84自适应积分法s5Gauss型求积公式86三次样条积分法
第五章 数值积分法 §1数值积分的基本概念 §2 插值型求积公式 §3 复化积分法 §4 自适应积分法 §5 Gauss型求积公式 §6 三次样条积分法 -1-
+一个实际问题为了计算瑞士国士的面积,首先对地图作了如下测量以西向东方向为x轴,由南向北方向为v轴,选择方便的原点并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标,数据如表(单位mm):7.017.534.040.510.513.044.548.056.0x454750503044383034y17093445972y210011011011061.068.576.580.591.0101.096.0104.0106.5x344137364546433328y1117118116118118121124121121y2x111.5118.0123.5136.5142.0146.0150.0157.0158.0526668326555545066y1838182868568y2121122116-2-
为了计算瑞士国土的面积,首先对地图作了如下测量: 以西向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点, 并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为 若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y 坐标,数据如表(单位mm): x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68 一个实际问题 -2-
瑞士地图的外形如图(比例尺18mm:40km)14012010080604020408002060100120140160试由测量数据计算瑞土国土的近似面积,并与其精确值41288平方公里比较-3-
0 20 40 60 80 100 120 140 160 20 40 60 80 100 120 140 瑞士地图的外形如图(比例尺18mm:40km) 试由测量数据计算瑞士国土的近似面积,并与其精确值 41288平方公里比较 -3-
81数值积分的基本概念一数值积分的必要性I(F)= J' f(x)dx = F(x)[,= F(b)-F(a)其中，F(x)为f(x)的原函数。实际中可能遇到的问题：(1)f(x)的解析式根本不存在,只给出了f(x)的一些数值(2)f(x)的原函数F(x)求不出来,如F(x)不是初等函数dx，「如Inxsinx(3)F(x)的表达式过于复杂:x*+/2x+1xxarctg+arctg09V2-xV2+x2/2x2 - ~2x +142-4
一 数值积分的必要性 ( ) ( ) b a I f f x dx ( ) ( ) ( ) b a F x F b F a 其中，F x f x ( ) ( ) 为 的原函数。 实际中可能遇到的问题： (1) ( ) , ( ) f x f x 的解析式根本不存在 只给出了 的一些数值 (2) ( ) ( ) , ( ) f x F x F x 的原函数 求不出来 如 不是初等函数 1 , sin ln x dx dx x x 如： (3) ( ) F x 的表达式过于复杂： 2 0 4 2 1 1 2 1 log 1 4 2 2 1 x x x dt t x x 1 ( ) 2 2 2 2 x x arctg arctg x x §1 数值积分的基本概念 -4-
二 基本思想几何意义设f(x)eC[a,bl，则由积分中值定理y=f(x)y个I(J)= J" (x)dxf(5)-=(b-a)f()e[a,b]即：曲边梯形的面积等于0底为ba,高为f()的矩形面积a6xf()--曲边梯形在[a,b的平均高度。1.梯形公式几何意义y=x)1()=J' (x)ax[(a)+ f(b)y个(b-a)222.矩形公式a+b中: I=f' f(x)dx ~ f(-fta)=2左: I = [' f(x)dx ~ f(a)(b-a)0a+babx2-5-右: I = [" f(x)dx ~ f(b)(b-a)
设f x C a b ( ) [ , ] ，则由积分中值定理 二 基本思想 ( ) ( ) b a I f f x dx ( ) ( ) [ , ] b a f a b f ( ) b a f , ( ) 即：曲边梯形的面积等于 底为 高为 的矩形面积 f a b ( ) [ , ] -曲边梯形在 的平均高度。 1. 梯形公式 ( ) ( ) b a I f f x dx ( ) b a I f x dx 中： 2. 矩形公式 ( ) b a I f x dx 左： ( ) b a I f x dx 右： f b b a ( )( ) f a b a ( )( ) ( )( ) 2 a b f b a [ ( ) ( )]( ) 2 f a f b b a f a( ) f b( ) ( ) 2 a b f 2 a b f a( ) f b( ) -5-