华师大数学分析(第五版)讲义第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用目的：用f'来研究f的性质。微分中值定理建立了f与'之间的桥梁。$1拉格朗日定理和函数的单调性【一】罗尔定理定理1（罗尔(Rolle)中值定理）若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间[a,b|上连续(i)f在开区间(a,b)上可导：(ii) (a)= f(b),则在(a,b)上至少存在一点，使得()f'(s)=0.几何意义：见图.o证因为在[a,b]上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况来讨论：(1)若m=M，则f在[a,b|上必为常数，从而结论显然成立.(2)若m<M，则因f(a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)上的某点处取得，从而是f的极值点。由条件(i)，f在点=处可导，故由费马定理推知f'(E)=0.1中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 第六章 微分中值定理及其应用 目的：用 f 来研究 f 的性质。微分中值定理建立了 f 与 f 之间的桥梁。 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 【一】 罗尔定理 定理 1 （罗尔(Rolle)中值定理） 若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间 ,ba 上连续； (ii) f 在开区间 ,ba 上可导； (iii) bfaf ， 则在 ,ba 上至少存在一点 ，使得 f 0 . 1 几何意义：见图． 证 因为 在f ,ba 上连续，所以有最大值与最小值，分别用 M 与 表示，现分两种 情况来讨论： m (1)若 ，则 在 上必为常数，从而结论显然成立． Mm f ,ba (2)若 Mm ，则因 bfaf ，使得最大值 M 与最小值 至少有一个在 上的 某点 m ,ba 处取得，从而 是 的极值点．由条件 f (ii)， 在点 f 处可导，故由费马定理推知 f 0 ． 中国矿业大学数学学院 1
华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用【注】定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。见下图：缺条件（品）缺条件（)缺条作（m)例1设a,b,c为实数。求证方程e" = ax? +bx+c的实根不超过三个。证令f(x)=e-(ax2+bx+c)。用反证法如下：倘若(x)=0有4个实根：<4，对在[,][x2,][,]上用Rolle定理，日,(x,2),52(x2,x),5, (x,x)，使得f'(5)= f'(5)= f'(5)=0,再对"在[51,5][52,5]上用Rolle定理，3n, e(51,52),n2 e(52,5.), 使得f"(n)= f"(n)=0再对f"在[n,n2]上用Rolle定理，3x(n,n2)，使得f"(xo)=0但f"(x)=er>0，矛盾。例2设f在[a,b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明3e(a,b)，使得f()+ f()=0证令F(x)=ef(x)，对F在[a,b]上用Rolle定理即得证。【思考】设f在[a,b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：VαeR，3e(a,b)，使得αf()=f(3)2中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 【注】 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。见下图： 例 1 设 为实数。求证方程 abc , , x 2 e ax bx c 的实根不超过三个． 证 令 2 ( ) x f x e ax bx c 。用反证法如下： 倘若 有 4 个实根 4 xf 0 ： 123 x x x x ，对 f 在 x12 23 , x xx x 3 4 , x 上用 Rolle 定理， 1 12 2 x , , x x 23 3 , , x x 3 4 , x ，使得 f 3 0 1 2 f f ， 再 对 f 在 1 2 , , 2 3 , 上 用 Rolle 定理， 1 1 , , 22 2 3 ，使得 1 2 f f 0 再对 f 在1 2 , 上用 Rolle 定理， x0 12 , ，使得 f x 0 0 但 () 0 ，矛盾。 x fx e 例 2 设 f 在[ , a b]上可导，且 f a() () 0 f b ，证明 (,) a b ，使得 f f () () 0 证 令 () () ，对 在[ , 上用 Rolle 定理即得证。 x Fx ef x F a b] 【思考】设 f 在[ , a b]上可导，且 f a() () 0 f b ，证明： R ， (,) a b ， 使得 f f () () 中国矿业大学数学学院 2
华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用[作辅助函数F(x)=e-αxf(x)]例3设f在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，f(0)=f(1)=0，且存在xE(0,1)使得f(x)>x，证明：3e(0,1)使得f'()=1证令F(x)=f(x)-x，F(0)=0,F(1)=-1,F(x)>0，由根的存在定理,35(xo,1)，使得F()=0。在[0,]上对F用Rolle定理，(0,5)C(0,1)，使得F()=0, 即f(5)=1。【二】拉格朗日定理定理2（拉格朗日(Lagrange)中值定理）若函数f满足如下条件：(i)于在闭区间[a,b]上连续；(ii)丁在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)上至少存在一点≤，使得1(s)= (6)-1()(2)b-a显然，特别当f(a)=f(b)时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1).这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。其几何意义见图。证作辅助函数F()=()-[(a)+(6)-(a)(b-ay= f(a)+ (b)-T(@(b-oy=f(x)C03中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 [作辅助函数 () ()] x Fx e f x 例 3 设 f 在[0,1] 上连续，在 上可导， (0,1) f f (0) (1) 0 ，且存在 x0 (0,1) 使得 0 ( ) 0 f x x ，证明： (0,1) 使得 f () 1 证 令 Fx f x x () () ， 0 F F Fx (0) 0, (1) 1, ( ) 0 ，由根的存在定理， 1 0 ( ,1) x ，使得 1 F() 0 。在 1 [0, ] 上对 用F Rolle 定理， 1 (0, ) (0,1) ，使得 F() 0 ，即 f () 1 。 【二】 拉格朗日定理 定理 2（拉格朗日(Lagrange)中值定理） 若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间 ,ba 上连续； (ii) f 在开区间 内可导， ,ba 则在 ,ba 上至少存在一点 ，使得 ab afbf f . 2 显然，特别当 bfaf 时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)．这表明罗尔定 理是拉格朗日定理的一个特殊情形．其几何意义见图。 证 作辅助函数 fb fa Fx f x fa x a b a 中国矿业大学数学学院 3 a b y f x( ) () () () ( ) fb fa y fa x a b a O
华师大数学分析（第五版)讲义第六章微分中值定理及其应用显然，F(a)=F(b)(=0)，且F在[a,b]上满足罗尔定理的另两个条件。故存在e(a,b),使F(5)= I(s)- (b)-(a)=0b-a移项后即得到所要证明的（2）式。【注】拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：(3)f(b)-f(a)=f'()(b-a),a<<b(4)f(b)-f(a)= f(a+0(b-a)(b-a),0<<1(5)f(a+h)-f(a)= f'(a+0h)h,0<0<1其中（4）式对α>b也成立，（5）式对h<0也成立。推论1若函数f在区间I上可导，且f(x)=0,xeI，则f为I上一个常量函数证Vx,I(xx)，在[x,x]上用Lag，(x,x)，使得f(x)-f(x)= f(≤)(x2 -x)=0这就证得f(x)=f(x2)，说明f为I上的常量函数。推论2若函数f和g均在区间「上可导，且f(x)=g(x)，，xeI，则在区间I上f(x)与g(x)只相差某一常数，即f(x)=g(x)+c(c为某一常数).元例4证明：arcsinx+arccosx=,xe[-1,1]211证(arcsinx+arccosx)0,xE(-1,1)Vi-x?1-Yarcsinx+arccosx=c,xe(-11)元:取x=0，得c=直接验证所证等式对x=±1也成立。2例5[教材例2]证明：arctanb-arctana≤b-a，其中a<b。证记f(x)=arctanx，用Lag，e(a,b)，使得4中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 显然，Fa Fb 0 ，且 F 在 ,ba 上满足罗尔定理的另两个条件．故存在 ba ),( 使 () () () () 0 fb fa F f b a 移项后即得到所要证明的（2）式。 【注】拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式： f ( ) ( ) ( )( ), b fa f b a a b （3） fb fa f a b a b a ( ) ( ) ( ( ))( ),0 1 （4） f a h f a f a hh ( ) ( ) ( ) ,0 1 )5( 其中（4）式对 也成立，（ ba 5）式对h 0 也成立。 推论 1 若函数 在区间 f I 上可导，且 ,0)( Ixxf ，则 为f I 上一个常量函数． 证 12 1 2 x , ( x Ix x ) ，在 x1 2 , x 上用 Lag， 1 2 (, ) x x ，使得 2 1 21 fx fx f x x ( ) ( ) ( )( ) 0 这就证得 1 2 f () () x fx ，说明 为f I 上的常量函数。 推论 2 若函数 f 和 g 均在区间 I 上可导，且 xgxf ),()( ， Ix ，则在区间 I 上 xf )( 与 只相差某一常数，即 xg )( )()( cxgxf ( c 为某一常数)． 例 4 证明：arcsin arccos , [ 1,1] 2 x xx 证 2 2 1 1 arcsin arccos 0, ( 1,1) 1 1 xx x x x arcsin arccos , ( 1,1) x x cx 取 ，得 x 0 2 c 。直接验证所证等式对 x 1也成立。 例 5 [教材例 2]证明：arctan arctan b ab a ，其中 a b 。 证 记 f ( ) arctan x x ，用 Lag， (,) a b ，使得 中国矿业大学数学学院 4
华师大数学分析（第五版）讲义第六章微分中值定理及其应用1f(b)-f(a)= f'()(b-a):(b-a)≤b-a1+22例6证明对一切h>-1.h≠0成立不等式h< In(1 + h) < h1+h证设f(x)=In(1+x)，由Lag得f(h)- f(0)= f'(0h)h,0<0<1即hIn(1 + h) :0<0<11+0h当h>0时，由1<1+0h<1+h得hh<h1+h1+0h当-1<h<0时，由0<1+h<1+h<1得hh<h1+h1+0h【注】特别地11< In(1 +n+1nn由此可证明（作为思考）：数列1-Innx, =1+2n单调递减且有下界0，从而极限存在，这个极限叫做Euler常数~0.5772例7设f在[a,b]上二阶可导。若f(a)=f(b)=0,f(a)f(b)>0，则e(a,b),使得f"(E)=0证法1不妨假设f(α)>0,f(b)>0，则由导数定义和极限保号性可知，存在X,x, (a,b),x,<x2,使得f(x)> f(a)= 0, f(x)< f(b)=0而f(x)在[a,b]上连续，故由介值定理可知存在ce(x,x)，使得f(c)=05中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第六章 微分中值定理及其应用 2 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 f b fa f b a b a b a 例 6 证明对一切 hh 0,1 成立不等式 h h 1 )1ln( hh 证 设 xxf )1ln()( ，由 Lag 得 f h f f hh ( ) (0) ( ) ,0 1 即 ln(1 ) ,0 1. 1 h h h 当 h >0 时，由1 1 h h 1 得 1 1 h h h h h 当 时，由 1 h 0 0 1 h h 1 1 得 1 1 h h h h h 【注】特别地 1 1 ln(1 ) n n 1 1 n 由此可证明（作为思考）：数列 1 1 1 l 2 n x n n n 单调递减且有下界0 ，从而极限存在，这个极限叫做 Euler 常数 0.5772 . 例 7 设 f 在[ , a b]上二阶可导。若 fa fb f af b ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 ，则 (,) a b ， 使得 f ( ) 0 证法 1 不妨假设 fa fb ( ) 0, ( ) 0 ，则由导数定义和极限保号性可知，存在 2 1 2 1 x , ( , ), x ab x x ，使得 1 2 fx fa fx fb ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 而 f ( ) x 在[ , a b]上连续，故由介值定理可知存在 1 2 c xx (, ) ，使得 f c() 0 中国矿业大学数学学院 5