中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第十章 矩阵特征值问题的数值解法

第九章特征值问题的数值解法81幂法与反幂法s2 对称Jacobi迭代法S3.QR迭代法1

-1- 第九章 特征值问题的数值解法 §1 幂法与反幂法 §2 对称Jacobi迭代法 §3 QR迭代法

s1幂法与反幂法口回顾/设A是n阶方阵，若数2和非零向量x满足Ax=2x则称2的A的特征值，x为A的对应于2特征向量。Va是A的特征值台(aE-A)x=0，其中x±0台方程(aE-A)x=0有非零解2-aia2ain-a22a21azn特征多项式：f(a)=aE-Al.........-annanian2=a" -c,an-1 +... +(-1)n-' c,-,a +(-1)"c,特征方程：f()=aE-A=0

回顾 A n x Ax x A x A     设 是 阶方阵，若数 和非零向量 满足  则称 的 的特征值， 为 的对应于 特征向量。 .     ( ) 0 0 E A x x ，其中    方程( ) 0 E A x 有非零解 .是A的特征值    E A 0 11 12 1 21 22 2 1 2 1 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 n n n n nn n n n n n n a a a a a a f E A a a a c c c f E A                             特征多项式： 特征方程 = ： . §1 幂法与反幂法

元/矩阵相似对角化：3可逆矩阵P,使得P-IAP：2其中(a,α,)为A的特征对，P=[α,α2,,α,]A可相似对角化台A有n个线性无关的特征向量(可构成R"的基底）。／实对称矩阵一定相似对角化：3正交矩阵Q,使得[2QTAQ=Q-AQ=元

1 1 1 2 P, ( , ) [ , , , ]. n i i n P AP A P                      矩阵相似对角化： 可逆矩阵 使得 其中 为 的特征对，  . n R A A n 可相似对角化  有 个线性无关的特征向量 (可构成 的基底)。  . 1 1 Q, T n Q AQ Q AQ                 实对称矩阵一定相似对角化： 正交矩阵 使得 

口幂法假设AeR"xn有n个线性无关的特征向量，A的n个特征值按模大小排列1, > ... ≥, 1对应的特征向量为x,x,,,x,(R"的一个基底)任取vER"(v≠0)，并设v在基底xj,x,,x,下的坐标为Vo =αxi +α,x, +...αa,xn (α, ±0)考察：V=Avoa,a'x,+a,a,x,+...+a,a,x,[ax +a,()x a,()=2kkx2k (α)x, +8k)<(i=2,…, )k→+00由于>X2k充分大x～Vk故8k→0(k→80)

1 2 1 2 | | | | | | , , , ( ) n n n n n A R n A n x x x R         假设 有 个 的特征向量， 的 个特征值按模大小排列 对应的特征 线性无关 向量为 的一个基底 0 0 0 1 2 ( 0) , , , n n 任取v R v v x x x   ，并设 在基底 下的坐标为 考察： 0 k k v A v  1 1 1 2 2 2 k k k n n n           x x x 1 2 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) k k k n n n x x x                   1 1 1   k k   x   由于 1 | | 1( 2, , ) i i n     故 0( ) k     k 1 1 k k k v x k x v     充分大 0 1 1 2 2 1 ( ) 0 n n v x x x         幂法

V,=Av=...=a(αx+&)Ax, = a,xi又因为x/Ax, =xT(ax)=a,x, x两边左乘x!x[ AxVTAV所以2.x;xVeVk问题福V如果|,>1,则=Av→(a→80),产生计算溢出V如果|,1,则=A→0(ak→0),V=0:非特征向量

又 因 为 1 1 1 1 1 1 1 1   T T T x Ax x x x x     所以 1 1 1 1 1 TT x Ax x x   T k k T k k v Av v v  Ax x 1 1 1   1T 两边左乘x 0 1 1 1 .   k k k k v A v x        问 题 1 0 1 | | 1, ( ), k k k  . 如果         则v A v 产生计算溢出； 1 0 1 | | 1, 0( 0), 0 : k k k k  . 如果        则v A v v 非特征向量；