华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性第七章实数的完备性S1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。最后我们要证明这些命题都是等价的。一、区间套定理定义1设闭区间列a,,b,B具有如下性质：(i) [a.,b,]-[a,b.], n=1,2,;(ii) lim(b,-a,)=0,则称(an，bn』为闭区间套，或简称区间套。这里性质（i）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：(1)a,≤a,≤...≤a,≤...≤b.≤...≤b,b左端点(a,)是单调递增的点列，右端点(b)是单调递减的点列。定理1（区间套定理）若（a，b,』是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得[a,,b,]，n=1,2,…，即(2)a,≤g≤b,,n=,2,...证（由柯西收敛准则证明）设(a，，b,J是一区间套.下面证明（a,）是基本点列。设m>n，由区间套的条件（i）得am-an=(bm-an)-(bm-am)≤(b,-a.)-(bm-am)1中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收 敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的 连续性公理。本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。 最后我们要证明这些命题都是等价的。 一、区间套定理 中国矿业大学数学学院 1 定义 1 设闭区间列 具有如下性质： ,ba nn （i） ba nn , 11 , ba nn ， n ,2,1 ； （ii） 0)(lim nn n ab ， 则称 为 闭区间套，或简称区间套。 ba nn , 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点 满足如下不等式： 21 n n bbbaaa .12 （1） 左端点an是单调递增的点列，右端点bn是单调递减的点列。 定理 1 （区间套定理） 若 ,ba nn 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点 ， 使得 ba nn , ， ，即 n ,2,1 an bn ， n .,2,1 （2） 证 （由柯西收敛准则证明） 设 ,ba nn 是一区间套.下面证明an是基本点列。 设 m n ，由区间套的条件（i）得 ( )( )( )( ) mn mn mm nn mm a a b a b a ba b a
华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性再由区间套的条件（i)，易知（a,）是基本点列。按Cauchy收敛准则，a，有极限，记为5。于是limb, =lim((b,-a,)+a,)=lima,=由(a,)单调递增，(b,)单调递减，易知an≤5≤bn,n=1,2,...下面再证明满足（2）的是唯一的。设数也满足an≤5'≤b.,n=1,2,..,则由（2）式有5-5≤b, -an,n=1,2,.由区间套的条件（ii）得5-5≤lim(b,-an)=0,故有=【注1】区间套定理的通俗解释是，闭区间套必然套住唯一个点（实数），或者必有唯一的一个公共点，或者闭区间套的交集是唯一的一个点。以后这个点我们就称为由区间套所确定的点。【注2】区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开1区间列，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且lim-0=0，但n→(n不存在属于所有开区间的公共点，由区间套定理的证明过程易推得如下很有用的区间套性质：推论设是由区间套(an,b,I所确定的点，则对任给的s>0，存在N，使得当n>N时有[an,b,]cu(s: 8).2中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 再由区间套的条件（ii），易知an是基本点列。 按 Cauchy 收敛准则，an有极限，记为 。于是 lim lim ( ) lim n nn n n nn n b ba a a 由an单调递增，bn单调递减，易知 an bn ， n .,2,1 下面再证明满足（2）的 是唯一的。设数 也满足 nba ,2,1, n n 则由（2）式有 nab .,2,1, nn 由区间套的条件（¡¡）得 0)(lim nn n ab ， 故有 . 【注 1】区间套定理的通俗解释是，闭区间套必然套住唯一个点（实数），或者必有唯 一的一个公共点，或者闭区间套的交集是唯一的一个点。以后这个点我们就称为由区间套所 确定的点。 【注 2】 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开 区间列，如 n 1 ,0 ，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且 1 lim 0 0 n n ，但 不存在属于所有开区间的公共点. 由区间套定理的证明过程易推得如下很有用的区间套性质： 推论 设 是由区间套 所确定的点，则对任给的 ba nn , 0 ，存在 ，使得当 时有 N n N ba nn , U ．； 中国矿业大学数学学院 2
华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性二、有限覆盖定理定义2设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如（α,β）的开区间）.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.如果对S的任一无限开覆盖H，总能找到有限子覆盖HCH，则称点集S为紧集。在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定，例如，若函数在(a,b)内连续，则给定8>0，对每一点xE(a,b），都可确定正数8（它依赖于与x），使得当x'eU(x,）时，有f(x)-f(x)<.这样就得到一个开区间集H = (x-0r,x+ 8)x e(a,b)它是区间(a,b）的一个无限开覆盖.定理2（海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理）闭区间是紧集。即设H为闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]证（由区间套定理证明）反证。假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b]将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a,b]，则[a,b]-[a,b]，且b,-α,=(b-α),2再将[α,b]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区-(b-a)间来覆盖。记这个子区间为[62,b]，则[a,b]-[a,b],且b,-a2=重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列(an，b,J)，它满足[an,b,]-[an+1,b+],n=1,2,..,b-α.=(6-α)→0→)即([a,,b,I)是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。m中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 二、有限覆盖定理 定义 2 设 为数轴上的点集， S H 为开区间的集合(即 H 的每一个元素都是形如(, S ) 的开区间)．若 中任何一点都含在 中至少一个开区间内，则称 为 的一个开覆盖， 或称 覆盖 ．若 中开区间的个数是无限(有限)的，则称 为 的一个无限开覆盖(有 限开覆盖)．如果对 的任一无限开覆盖 ，总能找到有限子覆盖 ，则称点集 为 紧集。 S H H S * H S H S H S H H H 在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定．例如，若函数 f 在 (,) a b 内连续，则给定 0 ，对每一点 x(,) a b ，都可确定正数 x (它依赖于 与 x )， 使得当 x (, ) U x x 时，有 f ( ) () x fx ．这样就得到一个开区间集 H x x x ab ( , ) (,) x x , 它是区间(,) a b 的一个无限开覆盖． 定理 2 (海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理) 闭区间是紧集。即设 H 为闭 区间 的一个无限开覆盖，则从 ,ba H 中可选出有限个开区间来覆盖 ,ba 。 证 （由区间套定理证明） 反证。假设定理的结论不成立，即不能用 H 中有限个开区间来覆盖 ,ba ． 将 ,ba 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区间来覆 盖．记这个子区间为 ，则 11 ,ba , baba 11 ，且 a ab 2 1 11 b ． 再将 ,ba 11 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区 间来覆盖．记这个子区间为 ，则 22 ,ba 1122 , baba ，且 b a 2 2 1 b a22 ． 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列 ,ba nn ，它满足 11 , nn baba nn ， n ,2,1 nabab nn n 0 2 1 即 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用 ,ba nn H 中有限个开区间来覆盖。 中国矿业大学数学学院 3
华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性由区间套定理，存在唯一的一点e[a,,b,]，n=1,2,…由于H是[a,b]的一个开覆盖，故存在开区间（α,β)eH，使e(α,β).由区间套定理的推论，当n充分大时有[a,,b,]c (α,β)这表明[a,,b,]只须用H中的一个开区间(α,β)就能覆盖，与挑选[an,b,]时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾．从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖[a,b].【注】开区间不是紧集。例如，开区间集合（(n=1,2,)构成了开区间(0,1)的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住(0,1)三、聚点定理定义3设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也可以不属于S）若的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点，例如，点集S=(-1)"+-有两个聚点5=-1和5=1：点集S=？只有一个nJ(n]聚点=0；又若S=(a,b)，则(a,b)内每一点以及端点a、b都是S的聚点；而正整数集N，没有聚点，任何有限数集也没有聚点，定理3下面三个命题等价（1）为点集S的聚点：（2）V>0，有U（)NS±Φ。点=的任何邻域内都含有S中异于的点：（3）若存在各项互异的收敛数列(x，)cS，使得limx，=5。其证明作为习题。定理4（魏尔斯特拉斯（Weierstrass)聚点定理）实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点，致密性定理与聚点定理本质是一样，下面证明二者的等价性。4中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 由区间套定理，存在唯一的一点 a b n n , ，n ,2,1 ．由于 H 是 的一个开覆 盖，故存在开区间 ,ba , H ，使 , ．由区间套定理的推论，当 n 充分大时有 , ba nn 这表明 ,ba nn 只须用 H 中的一个开区间, 就能覆盖，与挑选 ba nn , 时的假设“不能 用 H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾．从而证得必存在属于 H 的有限个开区间能覆盖 a,b． 【注】 开区间不是紧集。例如，开区间集合 1 ( ,1) 1,2, 1 n n 构成了开区间 1,0 的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住 1,0 ． 三、聚点定理 定义 3 设 为数轴上的点集， S 为定点(它可以属于 S ，也可以不属于 S )．若 的任 何邻域内都含有 中无穷多个点，则称 S 为点集 的一个 S 聚点． 例如，点集 1 ( 1)n S n 有两个聚点 1 1和 2 1；点集 1 S n 只有一个 聚点 0 ；又若 ，则 内每一点以及端点 、 都是 的聚点；而正整数 集 没有聚点，任何有限数集也没有聚点． S ab , a b, a b S 定理 3 下面三个命题等价 （1） 为点集 的聚点； S （2） 0 ，有 0 U S (;) 。点 的任何 邻域内都含有 中异于 S 的点； （3）若存在各项互异的收敛数列 Sxn ，使得 n n lim x 。 其证明作为习题。 定理 4 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集 至少有 一个聚点． S 致密性定理与聚点定理本质是一样，下面证明二者的等价性。 中国矿业大学数学学院 4
华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性证 (致密性定理聚点定理）设S是有界无限点集。在S中取一列两两不同的点列(x)，显然(x)是有界点列。由致密性定理，(x,)存在一个收敛的子列(），设其极限为x。那么对Vs>0,3K,当k>K时，有×-&<X<+6。这就说明（x-6,X+)含S中无限多个点，即×是S的一个聚点。（聚点定理致密性定理）设(,)为有界数列。若(x,)中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的，若(，)不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集(仍记为(x，))必为有界无限点集，故由聚点定理，点集(x，至少有一个聚点，记为。由定理3，则存在(x，的一个收敛子列（以为其极限)，四、实数完备性定理之间的等价性我们学习如下几个实数的完备性定理：1.戴德金切割原理；2.确界原理；3.单调有界定理；4.致密性定理；5.柯西收敛准则；6.区间套定理；7.有限覆盖定理；8.聚点定理。实际上它们之间都是等价的。并且已经军完成了如下证明：(1)(8)↑↑(2)= (3)(4) = (5) = (6) = (7)=5中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 证 （致密性定理聚点定理） 设 是有界无限点集。在 中取一列两两不同的点列 S S xn ，显然xn 是有界点列。由 致密性定理，xn 存在一个收敛的子列xnk ，设其极限为 0 x 。那么对 0, K,当 时，有 k K 0 k n x x 0 x 。这就说明 x x 0 0 , 含 中无限多个点，即 S 0 x 是 的一 个聚点。 S （聚点定理致密性定理） 设 为有界数列．若 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常 数列，而常数列总是收敛的. xn xn 若 不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集(仍记为 )必为有界无 限点集，故由聚点定理，点集 至少有一个聚点，记为 xn xn xn 。由定理 3，则存在 的一 个收敛子列(以 xn 为其极限). 四、实数完备性定理之间的等价性 我们学习如下几个实数的完备性定理: 1.戴德金切割原理； 2.确界原理； 3.单调有界定理； 4.致密性定理； 5.柯西收敛准则； 6.区间套定理； 7.有限覆盖定理； 8.聚点定理。 实际上它们之间都是等价的。并且已经军完成了如下证明： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 中国矿业大学数学学院 5