口研究函数插值的必要性实际问题中遇到的函数一般具有确定的函数关系，但其解析表达式可能：（1）未知，但可以测得一些关键点处的函数值。（2）已知，但表达式复杂不实用，常常需用一个简单的解析表达式来近似代替它。2口具体要求（1）在某个范围内能和原函数充分接近，有较好的近似效果。（2）具有一定的光滑性。（3）表达式简单易用，比如：多项式，有理分式，三角函数中的正弦与余弦函数等等。口举例：Hooker定律
-1- 研究函数插值的必要性 实际问题中遇到的函数一般具有确定的函数关系， 但其解析表达式可能: （1）未知，但可以测得一些关键点处的函数值。 （2）已知，但表达式复杂不实用，常常需用一个简单 的解析表达式来近似代替它。 具体要求 （1）在某个范围内能和原函数充分接近，有较好的近似效果。 （2）具有一定的光滑性。 （3）表达式简单易用，比如：多项式，有理分式，三角函数 中的正弦与余弦函数等等。 举例： Hooker定律
弹簧在力F的作用下伸长x.一一定范围内服从Hooker定律F=kx.k为弹性系数,现在得到下面一组数据,通过作图可以看出，当F达到一定数值后.就不服从Hooker定律试由数据确定k.并给出不服从Hooker定律时的近似公式17x(cm) 12 4791213151.53.96.611.715.618.819.620.621.1F(kg)25L201510546010121416182- x
- 2 - 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 05 10 15 20 25 力 F 力力 x , Hooker , , , . , Hooker . , Hooker . F x F kx k Fk 弹簧在力 的作用下伸长 一定范围 内服从 定律： 为弹性系数 现在得到下面一组数据 通过作图 可以看出，当 达到一定数值后 就不服从 定律 试由数据确定 并给出不服从 定律时的近似公式 ( ) 1.5 3.9 6.6 1 1.7 1 5.6 1 8.8 1 9.6 2 0.6 2 1.1 ( ) 1 2 4 7 9 1 2 1 3 1 5 1 7 F kg x cm
S1多项式插值问题国假如通过实验或测量可以获得f(x)在区间[α,bl上的一组n+1个不同的点：a≤x<x <x<...<x,≤b对应的函数值：y, = f(x) i= 0,1,2,.-,no要求一个次数不超过n次的多项式P(x)，满足：p,(x)= y, = f(x),i =0,1,2.,.. n目的实际计算中，用P(x)近似代替f(x)。口-3-
-3- §1 多项式插值 0 1 2 ( ) [ , ] 1 ( ) 0,1,2, , ( ) ( ) ( ), 0,1,2,., 假如通过实验或测量可以获得 在区间 上的一组 个不同的点： 对应的函数值： 。 要求一个次数不超过 次的多项式 ，满足： n i i n n i i i f x a b n a x x x x b y f x i n n P x p x y f x i n ( ) ( ) 实际计算中，用P x f x n 近似代替 。 . 问题 . 目的
插值条件插值多项式插值节点插值区间
-4- 插值条件 插值多项式 插值节点 插值区间
口一个例子如y=sinx,若给定[0,元l上5个等分点，其插值函数图象为sinx口口0.90.80.70.60.50.40.30.20.1120.51.533.52.5x易见，对于被插函数f(x)和插值函数P(x):1）在插值节点x,处：P(x)=f(x)(or.没有误差)2） 插值节点x,以外点：P(x)≠ f(x)(or.P(x)~ f(x),存在误差
-5- 如y x sin , [0, ] 5 若给定 上 个等分点，其插值函数图象为： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx力力力 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx力力力 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx力力力 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx力力力 x y 易见，对于被插函数f x P x ( ) ( ) 和插值函数 ： 1) 在插值节点x P x f x or i i i 处： ( ) ( ) . ; 没有误差 2) 插值节点x P x f x or P x f x i以外点： ( ) ( ( ) . ( ), ; ) 存在误差 . 一个例子