华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第1章 实数集与函数

华师大数学分析（第五版）讲义第一章实数集与函数第一章实数集与函数$1实数一、集合集合是现代数学一个最基本的概念。集合论的奠基人是Cantor。数学的各个分支普遍地运用集合的符号和方法，我们要养成用集合的语言来表述数学命题的习惯。1、集合的概念具有某种性质的事物的全体称为一个集合，组成集合的每一个事物称为该集合的元素。解释下面记号：aeA,aA,O“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。2、集合的关系解释下面记号：ACB(BDA)，A=B（定义是ACB,BCA）3、映射设V和V是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T，使得对VαEV，在V'中有唯一的元素α'与之对应，则称T是V到V"的一个映射。记为T.V-,αHα'.称α'为α在T下的象，记为T(α)=α，并称α为α在T下的一个原象。记T(V)={T(α)IαeV)cV"它表示V在映射T下象的集合。记T-'(α)=(α|T(α)=α)cV它表示αeV在映射T下原象的集合。如果T(V）=V，即V"中的所有元素都有原象，则称T是V到V的满射如果V中任意两个不同的元素在V中的象也不同，即当T（α）=T（β)时，必有α=β1中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 第一章 实数集与函数 §1 实数 一、集合 集合是现代数学一个最基本的概念。集合论的奠基人是 Cantor。数学的各个分支普遍地 运用集合的符号和方法，我们要养成用集合的语言来表述数学命题的习惯。 1、集合的概念 具有某种性质的事物的全体称为一个集合，组成集合的每一个事物称为该集合的元素。 解释下面记号： a Aa A   , , “集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系 解释下面记号： A BB A   ( )， A B  （定义是 A BB A   , ） 3、映射 设V 和V是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对   V ，在 中 有唯一的元素 V 与之对应，则称T 是V 到V的一个映射。记为 TV V : ,     。 称为 在T 下的象，记为T( )  ，并称 为在T 下的一个原象。 记 TV T V V ( ) ( )|         它表示V 在映射T 下象的集合。 记   1 T T ( ) |()          V 它表示V 在映射 下原象的集合。 T 如果TV V ( )  ，即V中的所有元素都有原象，则称T 是V 到V的满射。 如果V 中任意两个不同的元素在V中的象也不同，即当T T () ()    时，必有   ， 中国矿业大学数学学院 1

华师大数学分析（第五版）讲义第一章实数集与函数则称T是V到V"的单射。如果T既是满射又是单射，则称T是V到V的双射或一一对应当T是V到V的一一对应，则对Vα'eV"，则有唯一的αEV与之对应，这样定义了V的映射，称为T的递映射，记为T-":V'→V,α'Hα。4、可数集与不可数集引例：古阿拉伯人，只会数1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？凡是能建立一一对应关系的两个集合，我们说它们“一样多”。比如，正整数(1,2,3,与偶数[2,4,6,…“一样多”。凡是能与正整数(1,2,3建立一一对应的集合，称为可数（无穷）集，也称可列（无穷）集。如果一个无穷集不能与正整数建立一一对应关系，则称为不可数集，或不可列集。可以证明：（1）有理数是可数的；（2）无理数与实数不可数；（3）任何区间中的无理数或实数与全体实数“一样多”。5、集合的运算及运算律定义：AUB≤(x|xeAorxeB)ANB≤(x|xe A and xeB)A\B=(xxEAandxB（也记为A-B）A°QIA（是全集）（也记为A）推广：（设I是一指标集，可以不可数）UA.会(存在某个αel,使得xEA)，特别地，UA,UA,6n4(对任何αel,都有xA)，特别地，4,n4运算律：2中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 则称T 是V 到V的单射。 如果T 既是满射又是单射，则称T 是V 到V的双射或一一对应。 当T 是V 到V的一一对应，则对V ，则有唯一的 V 与之对应，这样定义了 V  映射，称为T 的逆映射 中国矿业大学数学学院 2 的 ，记为T 1 : , V   V      。 4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？ 凡是能建立一一对应关系的两个集合，我们说它们“一样多”。比如，正整数1, 2,3, 与偶数2, 4,6,“一样多”。 凡是能与正整数1, 2,3,建立一一对应的集合，称为可数（无穷）集，也称可列（无 穷）集。如果一个无穷集不能与正整数建立一一对应关系，则称为不可数集，或不可列集。 可以证明： （1）有理数是可数的； （2）无理数与实数不可数； （3）任何区间中的无理数或实数与全体实数“一样多”。 5、集合的运算及运算律 定义： A  B xx A x B    or  A  B xx A x B    and  A\ B xx A x B     and （也记为 A B ） c A   \ A （ 是全集）（也记为 A ） 推广：（设 I 是一指标集，可以不可数）  ,  I A x I xA        存在某个 使得   ，特别地， 1 1 , N n n n n A A       ,  I A x I xA        对任何 都有   ，特别地， 1 1 , N n n n n A A      运算律：

华师大数学分析(第五版)讲义第一章实数集与函数1°AUA=A,ANA=A（幂等律）2°AUB=BUA,ANB=BNA（交换律）3°(AUB)UC=AU(BUC),(ANB)NC=AN(BNC)（结合律）4°(AUB)NC=(ANC)U(BUC),(ANB)UC=(AUC)N(BUC)（分配律)5°(UAa）=n4(nAa)=UA（deMorgan律，对偶律）【作为作业】6、常用符号→：“蕴涵”，“推得”，“若，则”台：“充分必要”，“当且仅当”，“等价”V：“任意”，“任一个”“对任一个”，Any日：“存在”，“能找到”，Exist3：使得[不常用]R：实数全体Q：有理数全体Z：整数全体N.：正整全体2x,=x+x+...+xi=1Ix =xx..x..i=l二、实数及其性质1、实数公理实数是满足（I）域公理、（II）序公理和（III）连续性公理的集合。（I）域公理：加法公理、乘法公理和分配律（A）加法公理：（A）Vx,yER=x+yER（封闭性）3中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 1 o A  A AA A A  ,  （幂等律） 2 o A   B B AA B B A   , （交换律） 3 o   A    B C A BC AB C A BC    ,    （结合律） 4 o   A    B C AC BC AB C AC BC      ,      （分配律） 5 o     c c c , I II I A AA c    A            （de Morgan律，对偶律）【作为作业】 6、常用符号 ：“蕴涵”，“推得”，“若.，则.”  ：“充分必要”，“当且仅当”，“等价”  ：“任意”，“任一个”，“对任一个”，A ．ny  ：“存在”，“能找到”，E ．xist  ：使得[不常用] R ：实数全体 Q ：有理数全体 Z ：整数全体 N ：正整全体 1 2 1 n i n i x xx x     1 2 1 n i n i x xx x     二、实数及其性质 1、实数公理 实数是满足（I）域公理、（II）序公理和（III）连续性公理的集合。 （I）域公理：加法公理、乘法公理和分配律 （A）加法公理： （ A1）  x, yR xyR （封闭性） 中国矿业大学数学学院 3

华师大数学分析（第五版）讲义第一章实数集与函数（A）Vx,yER=x+y=y+x（交换律）(A）Vx,y,zeR=(x+y)+z=x+(y+z)（结合律）（A）存在唯一零元0eR，VxER，满足0+x=x（A）VxER，存在唯一负元-xER，满足x+（-x)=0（M）乘法公理：（M,）Vx,yER=xyER（封闭性）（M,）Vx,yeR=xy=yx（交换律）（A）Vx,y,zER=(xy)z=x(y）（结合律）（A）存在唯一单位元leR，VxER，满足1x=x（A）Vx±0eR，存在唯一逆元xeR，满足xx-=1(D）分配律：x(y+z)=xy+xz(II）序公理：（1）三歧性：x<y,x=y,x>y三者必居其一，也只居其一(2)传递性：x<y,y<z=x<z(3）保序性：x<y=+z<+z,x<y,c>0=xc<yc,（IⅢ）连续性公理：戴德金（Dedekind）切割原理设A,ACR满足：1°A+0, A'+0;2° AUA'=R;3°VxeA,Vx'eA',都有x<x',则称A与A'是R的一个切割，记为（A|A)。戴德金切割原理：对于R的任何一个切割（AIA)，都存在唯一的xeR，使得对VxEA,Vx'eA',都有x≤x<x。4中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 （ ）A2   x, yR xy yx （交换律） （ ）A3      x, ( ) ( ) yz R x y z x y z （结合律） （ ）存在唯一零元0 A4  R ，x R ，满足0  x  x （ ）A5  x R ，存在唯一负元 x R ，满足 x x  ()0   （M）乘法公理： （ M1 ）   x, y R xy R （封闭性） （ M2 ）   x, y R xy yx （交换律） （ ）A3    x, ( ) ( ) y z R xy z x yz （结合律） （ ）存在唯一单位元1 A4  R ，x R ，满足1x  x （ ）A5   x 0 R ，存在唯一逆元 1 x R   ，满足 1 xx 1   （D）分配律： x( ) y z xy xz   （II）序公理： （1）三歧性： x  yx yx y , , 三者必居其一，也只居其一 （2）传递性： x   yy z x z , （3）保序性： x     y x z y z x y c xc yc , ,0 , （III）连续性公理:戴德金（Dedekind）切割原理 设 满足： A A,   R 1° ， A   A   ； 2° AA R    ； 3°   x Ax A ,   ，都有 x  x ， 则称 A 与 A是 R 的一个切割，记为( | A A)。 戴德金切割原理：对于 R 的任何一个切割 (| ) A A ，都存在唯一的 ，使得对 * x R    x Ax A ,   ，都有 * x   x x 。 中国矿业大学数学学院 4

华师大数学分析（第五版）讲义第一章实数集与函数【注】戴德金切割原理形象地描述了“实数是连续不断的，没有任何空隙”。通俗地说：如果用一把没有厚度的理想的刀砍一下实数轴，那么不论砍在哪里，总要碰着数轴上的一个点（即一个实数）。另外，实数还具有下面性质：（1）实数具有阿基米德Archimedes)性，即Va,beR,若b>a>O，则3neZ，使得na>b。（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数。2、绝对值实数α的绝对值定义为a,a≥0al-a,a<0从数轴上看，数α的绝对值a就是点a到原点的距离.实数的绝对值有如下一些性质：1°a=a≥0；当且仅当a=0时有a=02°a3°a<h-h<a<h:a≤h-h≤a≤h(h>0)4°对于任何α、beR有如下的三角形不等式：[a-]a±≤a+6]5°a≤c≤b= /c|≤max(al,[b)6°[ab| = [a[6][al_ al(b#0)70同间3、常用不等式10伯努利（Bernoulli）不等式：设x≥-l,neN，则(1+x)"≥1+nx5中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 【注】戴德金切割原理形象地描述了“实数是连续不断的，没有任何空隙”。通俗地说： 如果用一把没有厚度的理想的刀砍一下实数轴，那么不论砍在哪里，总要碰着数轴上的一个 点（即一个实数）。 另外，实数还具有下面性质： （1）实数具有阿基米德(Archimedes)性，即ab R , ,  若 ，则 ，使得 。 b a   0  n Z na b  （2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数， 也有无理数。 2、绝对值 实数 a 的绝对值定义为 , 0 , 0 a a a a a       从数轴上看，数 的绝对值 a a 就是点 到原点的距离． a 实数的绝对值有如下一些性质： 1 o  aa  0；当且仅当 a  0 时有 a  0 2 o  a  a  a 3 o a  h  hah ； hhahha  0 4 o 对于任何a 、b R有如下的三角形不等式： a b ab a b    5 o a c b c ab   max( , ) 6 o  baab 7 o   b  0 b a b a 3、常用不等式 1o 伯努利（Bernoulli）不等式：设 x   1,n N ，则 (1 ) 1 n  x   nx 中国矿业大学数学学院 5