中国矿亚大鉴CHINA UNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGY绪论第一章纟81.计算方法的研究对象和特点S2误差及其基本概念S3数值计算的原则
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第一章 绪论 §1 计算方法的研究对象和特点 §2 误差及其基本概念 §3 数值计算的原则
中国矿亚大医CHINA UNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY81计算方法的研究对象和特点计算方法的研究内容：构造算法（数学问题数值解的计算方法）基本的数学问题？1.大型线性代数方程组Ax=b求解；2.矩阵A的特征值和特征向量计算：3.非线性方程f(x)=0的求解（求根）；分f(x)dx计算；4.积分5.常微分方程初值问题求解；6.其它
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY §1 计算方法的研究对象和特点 计算方法的研究内容：构造算法（数学问题数值 解的计算方法） •基本的数学问题？ 1.大型线性代数方程组Ax = b求解; 2.矩阵A的特征值和特征向量计算; 3.非线性方程 的求解(求根); 4.积分 计算; 5.常微分方程初值问题求解; 6.其它。 f x() 0 = ( ) b a f x dx ∫
中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY为什么要求数值解？y=1-2xy例如 常微分方程的初值问题y(0) = 0其解析解（精确解）为 以(x)=e-「e"dt而实际只需知道y(1),y(1.5）等近似值。这些近似值就是数值解
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY •为什么要求数值解？ 例如 常微分方程的初值问题 1 2 (0) 0 y xy y ⎧ ′ = − ⎨ ⎩ = 其解析解（精确解）为 2 2 0 ( ) x x t y x e e dt − = ∫ 而实际只需知道 y(1), (1.5) y 等近似值。这些近似值 就是数值解
中国矿亚大整CHINA UNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY如何构造方法（主要思想）1.选代法2.以直线代替曲线（非线性问题线性化）3.化整为零（离散化）4.外推法（加速）·构造什么样的方法实用的好的算法有三个标准：快准省计算步骤少，收敛速度快数值稳定性好，计算结果可靠性高节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY •如何构造方法（主要思想） 1. 迭代法 2. 以直线代替曲线（非线性问题线性化） 3. 化整为零（离散化） 4. 外推法（加速） •构造什么样的方法 实用的好的算法有三个标准： 快 ——— 计算步骤少，收敛速度快 准 ——— 数值稳定性好，计算结果可靠性高 省 ——— 节省计算机内存 (大型稀疏矩阵问题 )
中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY1. 快例1 多项式求值的Horner算法(秦九韶算法P7)P,(x)= a,x" +an-ix"- +..+ ax+ ao给定x的值，计算P(x)的值。算法一按自然顺序计算加法次数=nn(n + 1)乘法次数=n+(n-1)+..+1='2算法二嵌套算法（Hornor秦九韶）P,(x)=(a,x+an-1)x+an-2)x+...+a)x+ao乘法次数=加法次数=n
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 1. 快 例 1 多项式求值的Horner算法 (秦九韶算法P7 ) 1 1 10 ( ) n n P x ax a x ax a n nn − − = + ++ + " 给定 x的值，计算 的值。 ( ) P x n 算法一 按自然顺序计算 乘法次数＝ ( 1) ( 1) 1 2 n n n n + + − + += " 加法次数＝ n 算法二 嵌套算法（Hornor,秦九韶） 乘法次数＝加法次数＝ n 1 2 10 ( ) ((( ) ) ) P x ax a x a x a x a n nn n − − = + + ++ +