华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第4章 函数的连续性

华师大数学分析（第五版)讲义第四章函数的连续性第四章函数的连续性$1连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线：当然我们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性，一、函数在一点的连续性定义1设函数f在某U(x)内有定义.若lim f(x)= f(xo)则称f在点x连续。设函数f在某U（x）内有定义.若f在点x无定义，或f在点x有定义而不连续，则称点x。为函数f的间断点或不连续点，若x。为函数f的间断点，则必出现下列情形之一：（1）f在点x无定义(2）极限limf(x)不存在；(3）f在点x有定义且极限limf(x)）存在，但limf(x）+f(x）1xsin-,x±0例如：函数f(x)，在点x=0连续x[0,x=0sinx,x0函数f(x)=x在点x=0连续[1,x=0增量形式的定义1中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我 们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数 的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一、函数在一点的连续性 中国矿业大学数学学院 1 定义 1 设函数 在某 f U x0 内有定义．若     0 0 limx x f x fx   则称 f 在点 连续． 0 x 设函数 在某 内有定义．若 在点 无定义，或 在点 有定义而不连续， 则称点 为函数 的间断点或不连续点． f U x  0  f f 0 x f 0 x 0 x 若 为函数 的间断点，则必出现下列情形之一： 0 x f （1） 在点 无定义 f 0 x （2）极限 xf  xx 0 lim  不存在； （3） 在点 有定义且极限 f 0 x xf  xx 0 lim  存在，但 xf  xx 0 lim    0  xf 例如：函数   1 sin , 0 0, 0 x x f x x x         ,在点 x  0连续 函数   sin , 0 1, 0 x x f x x x         ,在点 x  0连续 增量形式的定义

华师大数学分析（第五版）讲义第四章函数的连续性记△r=x-x，称为自变量x（在点x)的增量。设y=f()，相应的函数y（在点x。)的增量记为Ay= f(x)- f(x)= f(x。 +Axr)- f(x)= y-o则y=f(x)在点x连续limAy=0定义2设函数f在某U,(x)(U.(x))内有定义若lim (x)= (x0) (lim (g)= (x0)→则称f在点x右(左)连续显然函数f在点x连续f在点x。既是右连续又是左连续[x+2,x≥2例如：J(x)在点x=0右连续，但不左连续，从而它在x=0不连续。1x-2,x<0[1,xeQ没有连续点。例1狄利克雷函数D(x)=10,xEQ因为VxR，limD(x)不存在（由归结原则）例2函数f(x)=xD(x)仅在点x=0连续显然由limf(x)=f(0)=0，f在点x=0连续另外，Vx0，limf(x)不存在。这是因为取有理点列x→x，f(x)=xD(x)=x→x±0取无理点列→，（）=xD（）=0→0例3黎曼函数[1当x=(p，q为正整数，p/q为既约真分数)R(x)=qa[o,当x=0,1及（0,1）内无理数在（0,1）内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续2中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 记  xxx 0 ，称为自变量 x (在点 x0 )的增量．设   0 0  xfy ，相应的函数 (在 点 )的增量记为 y 0 x         0 0 0 0         yyxfxxfxfxfy 则    xfy 在点 连续 0 x  0lim 0    y x 定义 2 设函数 在某 f U x    0 U x   0  内有定义．若     0 0 lim x x f x fx       0 0 lim x x f x fx         , 则称 在点 f x0 右(左)连续． 显然 函数 在点 连续 f 0 x  f 在点 既是右连续又是左连续 0 x 例如：   在点       0,2 2,2 xx xx xf x  0右连续，但不左连续，从而它在 不连续。 x  0 例 1 狄利克雷函数   1, 0, x Q D x x Q       没有连续点。 因为 0   x R ， 不存在（由归结原则）   0 limx x D x  例 2 函数    xxDxf 仅在点 x  0连续． 显然 由   ， 0 lim ( ) 0 0 x fx f    f 在点 x  0连续. 另外， ， 0   x 0   0 limx x f x  不存在。这是因为 取有理点列 n 0 x  x ，     0 0 n nn n f x xD x x x   取无理点列 n 0 x  x ，     0 0 n nn f x xD x    例 3 黎曼函数     1 , 0 0 1 01 p x p q pq R x q q x         当 为正整数 为既约真分数 当 及 内无理数 ， ， ， ， （，） 中国矿业大学数学学院 2 在 内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续． 10 ），（

华师大数学分析（第五版）讲义第四章函数的连续性由上一章例题VxE[0,1]，limR(x)=0便知。（间断点是可数无穷多)二、间断点的分类第一类间断点：左右极限都存在的间断点。第二类间断点：非第一类的间断点。即左右极限至少有一个不存在。第一类间断点又分为可去间断点与跳跃间断点1.可去间断点若lim(x)=A，而f在点x。无定义，或有定义但f(x）+A，则称x。为f的可去间断点例如，(t)=bsgn，x=0是丁的可去间断点。又如g(s)=，x=0是g 的可x去间断点设x为函数f的可去间断点，且limf（x）=A，定义[f(x), x+xo(x)=A,X=X则对于函数，在点x连续，2.跳跃间断点若函数f在点x。的左、右极限都存在，但lim f(x)+limf(x)，则X→xX→Xn称点x为函数f的跳跃间断点例如，f(x)=[x]，当x=n（n为整数)时有lim[x]= n-1, lim[x]= n整数点都是函数f(x)=[x的跳跃间断点.第二类间断点的例子：(x)= 1,，当x→0时，不存在有限的极限（无穷间断点）xf(x)=sin一在点x=0处左、右极限都不存在（振荡间断点）x狄利克雷函数D(x），其定义域R上每一点x都是第二类间断点3中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 中国矿业大学数学学院 3 由上一章例题 x 0 0 [0,1], lim ( ) 0 x x x R     便知。（间断点是可数无穷多） 二、间断点的分类 第一类间断点：左右极限都存在的间断点。 第二类间断点：非第一类的间断点。即左右极限至少有一个不存在。 第一类间断点又分为可去间断点与跳跃间断点 1．可去间断点 若   0 limx x f x   A，而 在点 无定义，或有定义但 f 0 x   0 f x A  ， 则称 为 的可去间断点． 0 x f 例如，    sgn xxf ， 是 x  0 f 的可去间断点．又如   x x xg sin  ， 是 的可 去间断点． x  0 g 设 x0 为函数 的可去间断点，且 f   0 limx x f x   A，定义 0 0 ( ), ˆ( ) , f x xx f x A xx       则对于函数 ˆ f 在点 连续． 0 x 2．跳跃间断点 若函数 f 在点 的左、右极限都存在，但 0 x   xfxf xx xx      0 0 lim lim ，则 称点 为函数 的 x0 f 跳跃间断点． 例如，    xxf ，当 x  n ( n 为整数)时有 lim   1   nx nx ，   nx nx    lim 整数点都是函数 的跳跃间断点．      xxf 第二类间断点的例子： 1 f x( ) x  ，当 时，不存在有限的极限（无穷间断点） x  0 1 f x( ) sin x  在点 处左、右极限都不存在（振荡间断点） x  0 狄利克雷函数 ，其定义域   xD R 上每一点 x 都是第二类间断点．

华师大数学分析（第五版)讲义第四章函数的连续性三、区间上的连续函数若函数f在区间I上的每一点都连续，则称f为I上的连续函数，记为fEC(I）。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。如函数y=sinx是R上连续函数，又如y=V1-x2在(-1,1)每一点处都连续，在x=1为左连续，在x=-1为右连续，因而它在[-1,]上连续若函数在区间[a,b]上仅有有限个第一类间断点，则称在[a,b]上分段连续。例如，函数y=[x]和y=x-[x]]在区间[-3,3]上是分段连续的4中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 三、区间上的连续函数 若函数 在区间 f I 上的每一点都连续，则称 为f I 上的连续函数，记为 f C I( ) 。对 于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续． 如函数 y  sin x 是 R 上连续函数，又如 2 1 xy 在  )1,1( 每一点处都连续，在 为左连续，在 为右连续，因而它在 x  1 x  1  1,1 上连续． 若函数 在区间 上仅有有限个第一类间断点，则称 在 f  ,ba  f  ,ba 上分段连续． 例如，函数    xy 和  xxy ]在区间 3,3 上是分段连续的． 中国矿业大学数学学院 4

华师大数学分析（第五版）讲义第四章函数的连续性s2连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理1(局部有界性）若函数f在点x连续，则f在某U(x）内有界定理2(局部保号性）若函数f在点x连续，且f(x)>0（或<0），则对任何正数r<f(xo）（或r<-f(xo))，存在某U(xo)，使得对一切xeU(x)有f(x)>r（或f(x)<-r)【注】在具体应用局部保号性时，常取r=f(x），则当(x）>0时，存在某U(x）使在其内有f(x)>f(x0)定理3(四则运算）若函数f和g在点x连续，则f±g,·gf/g（这里g(x）+0）也都在点x。连续.定理4（复合函数的连续）若函数g在点x。连续，uo=g（x），f在点u连续，则复合函数(fg)(x）=f[g(x))在点x。连续【注】见上一章。二、闭区间上连续函数的基本性质定义1设f为定义在数集D上的函数.若存在x，ED，使得对一切xED有f(x)≥f(x) (f(x)≤f(x)则称f在D上有最大（最小）值，并称f(x）为f在D上的最大（最小)值，称x为f在D上的最大（最小)值点。定理4（最值性定理）若feC[a,b]，则f在[a,b]上有最大值与最小值证（用致密性定理证明）记M = sup f(x) (-00< M≤ +o0)xe[a,b]5中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 §2 连续函数的性质 一、连续函数的局部性质 定理 1(局部有界性) 若函数 f 在点 连续，则 在某 0 x f   0 xU 内有界． 定理 2(局部保号性) 若函数 f 在点 连续，且 0 x   0 xf  0 (或 0 )，则对任何正数    xfr 0 (或   0   xfr )，存在某   0 xU ，使得对一切 x    0 xU 有    rxf （或 f   x r   ）。 【注】 在具体应用局部保号性时，常取   0 2 1  xfr ，则当   0 xf  0时，存在某 使在其内有   0 xU   xf    0 2 1 xf . 定理 3(四则运算) 若函数 和 在点 连续，则 f g 0 x   , gfgfgf (这里 ) 也都在点 连续．   xg 0  0 0 x 定理 4（复合函数的连续）若函数 在点 连续， g 0 x u gx 0   0  ， f 在点 连续，则复 合函数 u0 ( )( ) [ ( f  g x fgx  )]在点 连续． 0 x 【注】见上一章。 二、闭区间上连续函数的基本性质 定义 1 设 为定义在数集 上的函数．若存在 f D  Dx0 ，使得对一切 有  Dx f   x fx fx fx 0 0          ， 则称 在 上有最大 f D (最小)值，并称   0 xf 为 在 上的 f D 最大(最小)值，称 0 x 为 在 上 的最大(最小)值点。 f D 定理 4 (最值性定理) 若 f C ab  ,  ，则 在f  ,ba 上有最大值与最小值． 证 （用致密性定理证明）记 [,] sup ( ) x ab M f x   ( )     M 中国矿业大学数学学院 5