华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第2章 数列极限

华师大数学分析（第五版）讲义第二章数列极限第二章数列极限81数列极限概念一、数列极限的定义函数f:N→R,nHf(n)称为数列。f(n)通常记作a,a,.,a.....或简单地记作(a,}，其中a,称为该数列的通项。111例如：(a:1...，通项a.=2"n"n如何描述一个数列“随着n的无限增大，α，无限地接近某一常数”。下面给出数列极限的精确定义。定义1设(a)为数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有lan-a<则称数列（a收敛于a，定数a称为数列(a，）的极限，并记作lima,=a,或a,→a(n→o)-读作“当n趋于无穷大时，(a)的极限等于a或a,趋于α”若数列(a,没有极限，则称(a,）不收敛，或称(a,）为发散数列【注】该定义通常称为数列极限的“ε-N定义”。例1设a,=c（常数），证明lima,=c.→0证对V>0，因为a,-c=c-c=0<8恒成立，因此，只要取N=1，当n>N时，便有la,-c<1中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 一、数列极限的定义 中国矿业大学数学学院 1 函数 f : , N nf ( )   R  n 称为数列。 f ( ) n 通常记作 1 2 , n aa a   或简单地记作 ，其中 称为该数列的 an }{ an 通项。 例如： 1 1 { }:1, , , , 2 n a n  ，通项 1 n a n  。 如何描述一个数列“随着 的无限增大， 无限地接近某一常数”。下面给出数列极限 的精确定义。 n n a 定义 1 设 为数列， an }{ a 为定数．若对任给的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时，有 N n N n a a    则称数列 收敛于 an }{ a ，定数 称为数列 的 a an }{ 极限，并记作 n aa n   lim ，或 naa  )( n 读作“当 n 趋于无穷大时，an的极限等于 或 趋于 ”． a an a 若数列 没有极限，则称 不收敛，或称 为 an }{ an }{ an }{ 发散数列． 【注】该定义通常称为数列极限的“  N 定义”。 例 1 设 （常数），证明 n a c  lim n n a c   . 证 对   0，因为 0 n a c cc    恒成立，因此，只要取 ，当 N 1 n  N 时，便有 n a c   

华师大数学分析(第五版)讲义第二章数列极限这就证得limc=c.1例2lim-=0(α>0).n→n证对>0，要：<8n3只要1n>6只要取N则当n>N时，便有+1117-=0。这就证得lim二m-ann例3lim1n-→ n+1证因为nntin+11对V>0，取N：则当n>N时，便有+1，L]n<8n+ln+1nn这就证得lim-=1.n-→n+1关于数列极限的“ε-N定义”，作以下几点说明：【1】定义中N不一定取正整数，可换成某个正实数。即>0，G>0，当n>G时，有a,α。【2】定义中a,-a<可换成：an-a≤c（c>0为常数）。即>0，N>0，当>N时，有a-≤c。2中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 这就证得 lim . n c c   例 2 1 lim 0 n n  ( 0   ) . 证 对   0，要 1 1 0 n n     只要 1 n   只要取 1 N 1          ，则当 时，便有  Nn 1 1 0 n n     这就证得 1 lim 0 n n  。 例 3 lim 1 n 1 n  n   . 证 因为 1 1 1 1 1 n n n n      对   0，取 1 N 1          ，则当 时，便有  Nn 1 1 1 1 1 n n nn       这就证得 lim 1 n 1 n  n   。 关于数列极限的“  N 定义”，作以下几点说明： 【1】定义中 不一定取正整数，可换成某个正实数。 N 即    0，G  0 ，当n  G 时，有 n a a    。 【2】定义中 n a a    可换成： n a ac    （ 为常数）。 c  0 即    0，N  0 ，当 时，有 n N  n a ac    。 中国矿业大学数学学院 2

华师大数学分析(第五版)讲义第二章数列极限【3】定义中>0可换成：V06。1例4证明lim-=0，这里α为正数.1-→na对>0，要证1.08nan只要1n>la1（注：上式用到幂函数x(x>0)是增函数)。1只要取N=则当n>N时，便有lla,10=na例5证明limq"=0，这里|ql<1.证法1若q=0，则结果是显然的1现设0<|gl<1.记h=-1>0，有Iql1Iq"-0Hq"=(1 + h)"由(1+h)”≥1+nh（二项展开或伯努利不等式）得到11Iq≤I+nhnh1对任给的ε>0,只要取N=则当n>N时，便有lq"-0k。ch证法22利用对数函数y=lgx的严格增性来证明。设0<gk1。对任给的>0（不妨设<1)，为使”-0月"<，只要Ige即nlglqklgen>Ig/q lIgo（注意分子分母都是负数）。于是，只要取N=一即可。IgIql3中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 【3】定义中   0可换成： 0 0     。 例 4 证明 0 1 lim    n n ，这里 为正数. 证 对   0，要 1 1 0 n n       只要 1/ 1 n    （注：上式用到幂函数 1 x x( 0   ) 是增函数）。 只要取 1/ 1 N    ，则当 时，便有  Nn 1 1 0 n n       例 5 证明 ，这里 lim 0 || <1． n n q   q 证法 1 若 q  0 ，则结果是显然的． 现设 0< q || <1．记 1 1 0 | | h q   ，有 1 | 0| | | (1 ) n n n q q h    由  1+ （二项展开或伯努利不等式）得到 n h)1( nh 1 1 | | 1 n q nh nh    对任给的  ,0 只要取 , 1 h N   则当 时，便有  Nn | 0 | n q    。 证法 2 利用对数函数 的严格增性来证明。设  lg xy 0| |1  q  。 对任给的 >0（不妨设 <1），为使   ，只要 n n qq |||0| qn  lg||lg  即 lg lg | | n q   （注意分子分母都是负数）。于是，只要取 ||lg lg q N   即可。 中国矿业大学数学学院 3

华师大数学分析（第五版）讲义第二章数列极限例6证明lima=1，其中a>0。证（1）当a=1时，结论显然成立（2）当a>1时，记α=αn-1，则α>0（因为α增，αl/n>α°=1）由a=(1+α)" ≥1+nα=1+n(al/n_1)得1q"-l≤a-1na-1任给>0，取N=时，则当n>N，便有8qln-1≤a-1<8n1（3）当0<α<1时，令b==>1，从而a-- -1/b利用（2）的结果，得证。例7证明lim/n=1证设n≥2。记h,=/n-1>0则有（由二项展开）n=(1+h,) =1+nh, +"(n-1),n(n-l)22h...h. ≥224得20<h,<Vn4取N=max2则当n>N时，有Sh,=n-1<6下面是数列极限“ε-N定义”，否定形式4中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 例 6 证明  1lim n n a ，其中a >0。 证 （1）当 a  1时，结论显然成立. （2）当 时，记 a  1 ，则 1/ 1 n    a   0（因为 x a 增， ）.由 1/ 0 1 n a a   1/ (1 ) 1 1 ( 1) n n a nn        a 得 1 1 1 n a a n    任给  0 ，取 a 1 N    时，则当 n  N ，便有 1/ 1 1 n a a n      （3）当  a  10 时，令b a １>1，从而 1 1 1 n n n n b a b b      利用（2）的结果，得证。 例 7 证明lim 1 n n n   . 证 设 。记 n  2 1 0 n n h n    则有（由二项展开）       2 2 2 1 1 1 1 2 2 n nn n n n n n n n n h nh h h           2 4 n h 得 2 0 n h n   取 2 4 N max 2,       ，则当 时，有 n N  1 n n h n     下面是数列极限“  N 定义”，否定形式： 中国矿业大学数学学院 4

华师大数学分析(第五版)讲义第二章数列极限数列(a)不以a为极限的定义：3>0,VNN，En>N，使得am-a≥8数列(a，发散的定义：VaeR,3>0,VNeN,,n>N,使得am-a≥%h3lim-0例8n+l证因为n+nn所以，取=1，对VNN，取n=N+1>N，有ng+1-0=1+↓≥6 =1nono例9证明((-1)"是发散数列证对任何aER，当α≥0时，取6=1，则对所有奇数n，有(-1"-α=1+a≥8当α<0时，取6=1，对所有偶数n，有(-1"-=1+≥60二、数列极限“几何定义”画图对定义1作几何解释（待补）。定义2任给ε>0，若在U(a,s)之外数列(a,)中的项至多只有有限个，则称数列(a,)收敛于极限α.其否定形式：若存在常数8>0，使得数列(a,)中有无穷多个项落在U(a,ε)之外，则(a,)一定不以a为极限.例10设limx=limy=a，做数列（z）如下：(zn:X1,yi,X2.y2,*,Xn,yn,..5中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 数列an 不以 a 为极限的定义： 0    0 ， ， ，使得   N N 0   n N 0 n 0 a a    。 数列an 发散的定义：  a R ， 0    0 ，  N N ， 0 n N  ，使得 0 n 0 a a    。 例 8 lim 0 n 1 n  n   . 证 因为 1 1 01 1 n n n     所以，取 0  1，对 ，取   N N 0 nN N   1 ，有 0 0 0 0 1 1 01 1 n n n       例 9 证明( 1)  n  是发散数列． 证 对任何a R， 当 时，取 a  0  0  1，则对所有奇数 ，有 n 0 ( 1) 1 n     a a  当 时，取 a  0  0  1，对所有偶数 ，有 n 0 ( 1) 1 n     a a  二、数列极限“几何定义” 画图对定义 1 作几何解释（待补）。 定义 2 任给 >0，若在 U( , ) a  之外数列an 中的项至多只有有限个，则称数列  收敛于极限 ． an a 其否定形式： 若存在常数 0   0 ，使得数列 中有无穷多个项落在 }{an U( , ) a  之外，则 }一定不 以 为极限． an { a 例 10 设 n ayx ，做数列 如下： n n n   limlim }{ n z .,:}{ n 2211  yxyxyxz nn  中国矿业大学数学学院 5