中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第二章 线性方程组的直接解法

二、三角分解法1 容易求解的方程组Ax = b必A为下三角结构000b,Xal...00b2..x =b,a21a122X2则-0b3a31a132a33...=X3xx=bk--Zagx,(k=2,,n)............j=lban2an3Lan1n...A为上三角结构b,aia12ar3Cxi.b20a22a23a2nX2X00则3a33asnX3=x =(br - agx,)/aw(k = n-1,..,1).....:.....j=k+100L 0b....QX-11-

-11 - 1 容 易 求解 的 方程 组Ax b  11 1 1 21 22 2 2 31 32 33 3 3 1 2 3 0 0 0 0 00 , n n n nn n n a x b a a x b a a a x b a a a a x b                                                   则 x1  b1 ( 2, , ) 11 x b a x k n kj k  k  kj j    ( )/ ( 1, ,1) 1         x b a x a k n n j k k k kj j kk xn bn ann  / 11 12 13 1 1 1 22 23 2 2 2 33 3 3 3 0 0 0 , 0 0 0 nnn nn n n a a a a x b a a a x b a a x b a x b                                                   则  A. 为下三角结构  A . 为上三角结构 二 三角分解法

2基本思想对Ax=b,如果A可进行如下分解：1aay2anulUy2un1ALUU2na21a22a2nU22A=......In1nan2LananUnLy= b则Ax=bLUx=b←LUx=y[yi =b,从而易得yr = b, -Zluy,(k = 2,.",n)=/ux, =(yk - Z ugx,)/uw(k = n-1,.,l)j=k+1-12-

-12-        对 如果 可进行如下分解 Ax b A  , : 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a              21 1 2 1 1 1 n n l l l              11 12 1 22 2 n n nn u u u u u u             LU  则 Ax b    LUx b     Ly b  Ux y  从而易得 1 1 y b  1 1 ( 2, , ) k k k kj j j y b l y k n       / n n nn x y u  1 ( )/ ( 1, ,1) n k k kj j kk j k x y u x u k n        2 基本思想

3Gauss变换矩阵及性质区定义记,=(0,,0, j+,j+2,j,)，称11L(I,) =j+1,j:Vh)1为Gauss矩阵或Gauss变换区性质1. L(I,)- = L(-l,)-13-

-13 - 3 Gauss 变 换 矩 阵 及 性质  定 . 义 1 , , 1 1 ( ) 1 1 1 j j j n j L l ll        1 2 0 0 , , ( , , , , , , ) T j j j j j nj l l l l 记    ，称 为Gauss Gauss . 矩阵或 变换 性 . 质 1 1. ( ) ( ) L L j j  l l  

li+;12.当i<，L(I,)L(I)=li+2,ij+1,j....ImiM1112111321L(DL()...L(,-D) =.....1In31.11-11-14-

-14- 1 , 2 , 1 , 1 1 1 ( ) ( ) 1 i i i j i i j j ni nj l L l L l l l l l                         2.当i j  时， 21 31 32 1 2 1 1 2 3 , 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 . 1 n n n n n n l l l L l L l L l l l l l                     

4Gauss消去法的矩阵形式51111X+X++x=521-24-1X +2x2-x + 4x4 =-2解A=求解3-22-3-5-2x -3x +2xg - 5x4 =331210153x +x2 +2x, +x4 =1011151r -(1/1).r1-23:1-705 -(-2 /1)r≤PA其中P=-(1/1)1A茶413-310-1福1-(-2 / 1)r4 -(3 / 1)r0-5-2-1-21福-(3 / 1)11511101 -23-7r3 -(-1 / 1)r21≤P(PA)其中P, =20600r4 -(-2 / 1)r-(-1/1)-51-190401)-(-2 / 1)-15-

-15 -               其中P2  4 Gauss 消 去 法 的 矩 阵 形 式 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 4 2 2 3 2 5 3 3 2 10 x x x x x x x x x x x x x x x x                       求解 解 A  A 1 1 1 1 5 1 2 1 4 2 2 3 2 5 3 3 1 2 1 10       2 1 r r   ( ) 1 / 1 3 1 r r  ( ) 2 / 1 4 1 r r  ( ) 3 / 1 1 – 2 3 – 7 1 1 1 1 5 –1 4 – 3 13 –2 –1 –2 –5 P A1               其中P1  000  3 2 r r  ( ) 1 / 1 4 1 r r  ( ) 2 / 1 2 1 P P A ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1/ 1 1 / 2 1   00 2 0 6 –5 4 –19 1 1 1 1 5 0 1 – 2 3 – 7 00 1 / 1 2 / 1 1 ( ) 1 ( ) 1 (3 / 1) 1  