高等代数习题集(3)）设f(x)是数域F上的不可约多项式，则f(x)的根都是单根。6.设次数大于1的有理系数不可约多项式p(x)有一个实根α。证明：对于任意的有理数β，存在有理系数多项式u(x)使得u(α)=a-。A证明：xd-1|x"-1当且仅当d|n。7.6.证明：多项式f(x)=x-5x+1在有理数域上不可约。9设αi,α2,,α,是不同的整数。证明多项式f(x)=(x-α,)(x-α,)..-(x-α,)+1在有理数域上是不可约的或者是某个多项式的平方。10.设F是数域，f(x)eF[x)，其首系数为a，次数为n，f(x)是其微商。证明：f(x)If(x)当且仅当存在beF使得f(x)=a(x-b)"。-11-
高等代数习题集 - 11 - （3） 设 f ( ) x 是数域 F 上的不可约多项式，则 f ( ) x 的根都是单根。 6. 设次数大于 1 的有理系数不可约多项式 p( ) x 有一个实根α 。证明：对于任意的有理数 β ，存在有理系数多项式u x( ) 使得 1 u( ) α α β− = 。 7. 证明： 1| 1 d n x x − − 当且仅当 d n| 。 8. 证明：多项式 5 f () 5 1 xx x =−+ 在有理数域上不可约。 9. 设 1 2 , α α α " n 是不同的整数。证明多项式 1 2 ( ) ( )( ) ( ) 1 n fx x x x =− − − + α α α " 在有理数域上是不可约的或者是某个多项式的平方。 10. 设 F 是数域， f () [] x x ∈ F ，其首系数为 a ，次数为 n ， f '( ) x 是其微商。证明： f '( ) | ( ) x fx 当且仅当存在b∈ F 使得 () ( )n f x ax b = −
高等代数习题集第二章行列式$2.1引言一、内容提要1.二阶行列式ba= ad -bccd2．三阶行列式auai2ar3a21a22a23=2+22-1-a23a3ia32a33$2.2排列与逆序1.排列的定义由n个自然数12,..,n组成的一个有序数组称为一个n级排列，记作JiJ.Jn.其中j称为该排列的第k个元素。2．排列的逆序数定义在一个n级排列jjj.j.j.中，如果j，>j（即排在前面的数j,比排在后面的数j,大)，则称j,与j,构成该排列的一个逆序，记作jsj排列jj2j,中逆序的总数称为排列的逆序数，记作t(jj2J.）逆序数是非负整数，逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列3.定理对换改变排列的奇偶性4.推论（1）任何一个奇（偶）排列可经过奇（偶）数次对换变成自然排列.（2）在n!个n(n>l)级排列中，奇偶排列各半S2.3n阶行列式的定义1.行列式的定义由n?个元素a,（i,j=1,2,,n)排列成的数学符号- 12 -
高等代数习题集 - 12 - 第二章 行列式 §2.1 引言 一、内容提要 1．二阶行列式 ad bc c d a b = − 2．三阶行列式 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − §2.2 排列与逆序 1. 排列的定义 由n 个自然数1,2, , " n 组成的一个有序数组称为一个 n级排列,记作 n j j " j 1 2 . 其中 kj 称为该排列的第k 个元素. 2．排列的逆序数定义 在一个n 级排列 s t n j j " j " j " j 1 2 中，如果 s t j > j (即排在前面的数 sj 比排在后面的 数 t j 大),则称 sj 与 t j 构成该排列的一个逆序，记作 sj t j . 排列 n j j " j 1 2 中逆序的总数称 为排列的逆序数，记作 ( ) 1 2 n τ j j " j . 逆序数是非负整数. 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 3．定理 对换改变排列的奇偶性 4．推论 （1） 任何一个奇(偶)排列可经过奇(偶)数次对换变成自然排列. （2） 在n!个n n( 1) > 级排列中,奇偶排列各半. §2.3 n阶行列式的定义 1. 行列式的定义 由 2 n 个元素 a ij n ij ( , 1, 2, , = " ) 排列成的数学符号
高等代数习题集aa2..ana21a22.a2n:……"..a.anan2称为n阶行列式．它表示一个数，这个数是n!项的代数和，每一项是取自行列式不同行不同列的n个元素的乘积，每一项的n个元素按行指标构成自然排列时，由列指标构成的排列的奇偶性来确定该项的符号：当列指标构成的排列是偶排列时，该项取正号：当列指标构成的排列是奇排列时，该项取负号，即aa2..ana21a22a2nE (-1)()aaj.am：…：jij.anam2..anZ其中为n级排列，jij表示对所有n级排列求和.2．几种特殊的行列式（1）下三角行列式0an0..0.a22a21D==aa22-am..:::antaman2(2）上三角行列式anainaj2..0a22a2n=aa22"-.am..:.:00.a(3）对角行列式Ja00...00an.=aa22...amm.:目.00am（4）反对角行列式000..aun000m(n-1l)..a2,n-l=(-1)2a,a2,n--am:：::000...[antS2.4行列式的性质与计算- 13 -
高等代数习题集 - 13 - 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a aa a " " # ### " 称为 n阶行列式. 它表示一个数, 这个数是 n!项的代数和，每一项是取自行列式不同行不 同列的 n 个元素的乘积, 每一项的n 个元素按行指标构成自然排列时，由列指标构成的排列 的奇偶性来确定该项的符号：当列指标构成的排列是偶排列时，该项取正号；当列指标构成 的排列是奇排列时，该项取负号，即 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 n n n n n jj j j j nj jj j n n nn aa a aa a aa a aa a τ = − ∑ " " " " " # ### " , 其中 n j j " j 1 2 为 n 级排列， ∑ n j j " j 1 2 表示对所有n 级排列求和. 2．几种特殊的行列式 （1）下三角行列式 11 21 22 11 22 1 2 0 0 0 nn n n nn a a a D aa a aa a = = " " " # ### " , (2) 上三角行列式 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn aa a a a a = " " # ### " a11a22 "ann (3) 对角行列式 11 22 11 22 0 0 0 0 0 0 nn nn a a aa a a = " " " # ### " . (4) 反对角行列式 ( ) ( ) 1 1 2, 1 2 1 2, 1 1 1 00 0 00 0 1 0 00 n n n n nn n n a a aa a a − − = − − " " " # ## # # " §2.4 行列式的性质与计算
高等代数习题集1.行列式的性质(1) D =D.(2）行列式的任一行（列）中各元素的公因子可提到行列式符号的外面.(3）若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零（4）如果行列式中有一行（列)元素都是两个数的和，则该行列式可以拆成两个行列式的和(5）如果行列式有两行（列)相同，那么行列式为零：所谓两行相同就是说两行对应元素相等.(6）如果行列式中两行（列)成比例，那么行列式为零(7）把一行的倍数加到另一行，行列式不变.(8）对换行列式中的两行列)，行列式变号2.行列式按某行（列）展开（1）定义在n阶行列式auaraujD,=a.aia....n.aj..am中，划去元素α,所在的第i行和第j列，剩下的元素按原来的顺序构成一个n-1阶行列式，称为元素a，的余子式，记作M，；称(-1)M，为元素a,的代数余子式，记作A，即A, =(-1)*i Mg.（2）行列式按行（列）展开定理【1】n阶行列式D的值等于它的任意一行（列）各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=a,Ar+a2A2+...+amAn,(i=1,2,...,n)或D=a,A, +a2,A2, +.+ayAy,(j =1,2,.,n)【2】n阶行列式D的任一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即a,A.+a2A2+...+amAm=0(i+s),或a,A,+a2A2,+...+amA..=0(j+t).$2.5克兰姆（Cramer）法则- 14-
高等代数习题集 - 14 - 1. 行列式的性质 (1) T D D= . (2) 行列式的任一行（列）中各元素的公因子可提到行列式符号的外面. (3) 若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零. (4) 如果行列式中有一行(列)元素都是两个数的和, 则该行列式可以拆成两个行列式的 和. (5) 如果行列式有两行(列)相同，那么行列式为零. 所谓两行相同就是说两行对应元素相 等. (6) 如果行列式中两行(列)成比例，那么行列式为零. (7) 把一行的倍数加到另一行,行列式不变. (8) 对换行列式中的两行(列)，行列式变号. 2． 行列式按某行（列）展开 （1） 定义 在 n 阶行列式 11 1 1 1 1 j n n i ij in n nj nn aaa D aaa aaa = " " """"" " " """"" " " 中，划去元素 aij 所在的第i 行和第 j 列，剩下的元素按原来的顺序构成一个 n −1阶行列式， 称为元素 aij 的余子式，记作 Mij ；称( ) ij i j M+ −1 为元素 aij 的代数余子式，记作 Aij ，即 ( ) ij i j Aij M+ = −1 . （2） 行列式按行（列）展开定理 【1】n 阶行列式 D 的值等于它的任意一行（列）各元素与其对应的代数余子式的乘积 之和, 即 11 2 2 , ( 1, 2, , ) D i i i i in in = + ++ = aA aA aA i n " " 或 11 2 2 , ( 1, 2, , ) D j j j j nj nj = aA a A aA j n + ++ = " " 【2】n 阶行列式 D 的任一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积 之和等于零, 即 ai1As1 + ai2 As2 +.+ ain Asn = 0 (i ≠ s) , 或 a1 j A1t + a2 j A2t +.+ anj Ant = 0 ( j ≠ t) . §2.5 克兰姆（Cramer）法则
高等代数习题集1.定理（Cramer法则）如果线性方程a+a2+..+anx=ba2j+a22x2+..+a2nx,=ban+anx+...+amx.=b,的系数组成的行列式aai2..ana22a2na21...D:±0:::..amanan2那么线性方程组（2.5.1）有解，且解是唯一的，并可以通过系数表示为D,D.D2x =X=,x.DDD其中b,aai,j+1ainai,j-1.b2a2,j-1az.j+1a2*..a21..D,=j=1,2,,n.::::...b...a..anl...an,j-1an,j+12.关于齐次线性方程组解的定理如果齐次线性方程组a, +a2x +.+ax,=0a2ix+a2x,+.+a2nx,=0[amx,+anx2+.+amx,=0的系数行列式D+0，那么它只有零解。换句话说，如果方程组(2.5.5)有非零解，那么必有D=0.S2.6拉普拉斯（Laplace）定理行列式的乘法规则1.余子式定义在一个n阶行列式D中任意选定k行k列，位于这些行和列交点上的k2个元素按原来的顺序组成的一个k阶行列式M称为行列式D的一个k阶子式，在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的顺序组成的n-k阶行列式M'称为M的余子式2．代数余子式定义设D的k阶子式M在D中所在的行、列指标分别是i,2,,i;ji,j2,,Jk则M的余子式M前面加上符号-15-
高等代数习题集 - 15 - 1. 定理（ Cramer 法则） 如果线性方程 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b " """"""""""" " " 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 的系数组成的行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn aa a aa a D aa a = ≠ " " # ### " 那么线性方程组（2.5.1）有解，且解是唯一的，并可以通过系数表示为 1 2 1 2 , , , n n D D D xx x DD D == = " ， 其中 11 1, 1 1 1, 1 1 21 2, 1 2 2, 1 2 1 ,1 ,1 , 1, 2, , j jn j jn j n n j n n j nn a a ba a a a b a a D jn a a ba a − + − + − + = = " " " " " #" # # # "# " " . 2．关于齐次线性方程组解的定理 如果齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x " """"""""""" " " 的系数行列式 D ≠ 0 , 那么它只有零解. 换句话说，如果方程组(2.5.5)有非零解，那么必 有 D = 0. §2.6 拉普拉斯（Laplace）定理 行列式的乘法规则 1．余子式定义 在一个n 阶行列式 D 中任意选定 k 行 k 列，位于这些行和列交点上的 2 k 个元素按原来 的顺序组成的一个 k 阶行列式 M 称为行列式 D 的一个 k 阶子式. 在 D 中划去这 k 行 k 列 后余下的元素按照原来的顺序组成的 n k − 阶行列式 M ' 称为 M 的余子式. 2．代数余子式定义 设 D 的k 阶子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 12 1 2 , , , ; , , , . k k ii i j j j " " 则 M 的 余子式 M ' 前面加上符号