高等代数习题集(1)(++)(i++++j)后，称为M的代数余子式3.引理行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致.4.定理（拉普拉斯定理）设在行列式中任意取定了k行．由这k行元素所组成的一切k阶子式分别与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D二、训练题一、填空题11当j=，k=时，8元排列21j53k68为偶排列。12排列1(k+1)2(k+2)..-(k-1)(2k-1)k(2k)的逆序数是13.行列式的一行元素乘以它们的代数余子式之和等于；行列式一行元素乘以另一行对应元素之和等于14.若在n阶行列式中等于零的元素的个数超过n2-n个，则这个行列式的值等于（）。15.如果一个n阶行列式中，有一个n一2阶子式元素全为零，则该行列式的值为（）[2 -1 0x -2=0,则x=( )。16若行列式13-1217.排列a,a,a,a,a,的逆序数是3，排列a,aa,a,a,的逆序数是（)。18.n阶行列式D的值为c，若将D的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为（）。19.设n阶行列式D的值为c，将D的每个元素a,换成(-1)i+a，则得到的行列式的值为()。ana2..aina21a22*.a2n20.已知n阶行列式D=b,b,,,b,为常数，若D=c，则anan2...amab?a2bb,...anbb.a2ib,b a2b2 .. amb,b,的值为（)。D =anb,b anb,b?.a.b?-16-
高等代数习题集 - 16 - ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) k k i +i + i + j + j + + j − " " 后, 称为 M 的代数余子式. 3．引理 行列式 D 的任一个子式 M 与它的代数余子式 A 的乘积中的每一项都是行列式 D 的展 开式中的一项，而且符号也一致. 4．定理（拉普拉斯定理） 设在行列式中任意取定了 k 行. 由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子式分别与它们的代数 余子式的乘积的和等于行列式 D . 二、训练题 一、填空题 11. 当 j k = = _, _ 时，8 元排列 21 53 68 j k 为偶排列。 12. 排列1( 1)2( 2) ( 1)(2 1) (2 ) k k k k kk ++ −− " 的逆序数是_。 13. 行列式的一行元素乘以它们的代数余子式之和等于_；行列式一行元素乘以 另一行对应元素之和等于_。 14. 若在 n 阶行列式中等于零的元素的个数超过 2 n n − 个，则这个行列式的值等于（ ）。 15. 如果一个 n 阶行列式中，有一个 n − 2阶子式元素全为零，则该行列式的值为（ ）。 16. 若行列式 2 1 0 1 2 0 3 1 2 x − − = − ，则 x = ( ) 。 17. 排列 12345 aaaaa 的逆序数是 3，排列 54321 aaaaa 的逆序数是（ ）。 18. n 阶行列式 D 的值为c ，若将 D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次 序向左移动，则得到的行列式值为（ ）。 19. 设 n 阶行列式 D 的值为c ，将 D 的每个元素 ij a 换成( 1)i j ij a + − ，则得到的行列式的值为 （ ）。 20. 已 知 n 阶行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a D aa a = " " """"" " ， 1 2 , , n bb b " 为常数，若 D c = ， 则 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 1 2 11 2 2 n n n n n n n n nn n a b a bb a bb a bb a b a bb D a bb a bb a b = " " """"" " 的值为（ ）
高等代数习题集二、选择题11.n阶行列式等于零的充分必要条件是（)(A)两行（列）元素对应成比例：(B)经初等变换化成上三角行列式后，最后一行的元素全为零：(C)A中有一行元素全为零；(D)必有一行是另一行的倍数。[2 -1 0]x -2=0,则x=(12.若行列式123-1(A)-2;(B)2;(C)-1(D) 1。Jo0..000...1 013.n阶行列式的值（）。......0...0010...00(A) (-1)" ;(B) (-1)n(n-1) ,(C)(-1)(n1)(D)1。14.设A,是行列式A|的元素a,(i,j=1,2,,n)的代数余子式，当i+j时，下式各式中错误的是（）(A)|A|=a,A,+a2A2+..+amAm(B)IA=a,A,+a2A2+...+amAm;(C)[A|=a,A,+a2,A,+..+amAg:(D)0=aA,+a2A,+..+amAm。oaoobcoo15.行列式的值等于（）oodeooof(A)abcdef ;(B)-abdf ;(C)abdf ;(D)cdf[3a[a 42 433aj23a13=d，则2a2116.如果行列式a21a222a222a23=( )。a23[as1a3a32-a31-ag2-a3(A) -6d;(B)6d :(C)4d;(D) -4d。三、计算题- 17-
高等代数习题集 - 17 - 二、选择题 11. n 阶行列式等于零的充分必要条件是（ ） （A） 两行（列）元素对应成比例； （B） 经初等变换化成上三角行列式后，最后一行的元素全为零； （C） A 中有一行元素全为零； （D） 必有一行是另一行的倍数。 12. 若行列式 2 1 0 1 2 0 3 1 2 x − − = − ，则 x = ( ) （A） －2； （B） 2； （C） －1 （D） 1。 13. n 阶行列式 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 " " """" " " 的值（ ）。 （A） 2 ( 1)n − ； （B） 1 2 ( 1) ( 1) n n− − ； （C） 1 2 ( 1) ( 1) n n+ − ； （D） 1。 14. 设 Aij 是行列式| | A 的元素 ( , 1,2, , ) ij a ij n = " 的代数余子式，当i j ≠ 时，下式各式中 错误的是（ ） （A） 11 2 2 | | A i j i j in jn = + ++ aA aA aA " ； （B） 11 2 2 | | A aA aA aA = i i i i in in + ++ " ； （C） 11 22 | | A j j i j ni nj = + ++ aA aA aA " ； （D） 11 2 2 0 i j i j in jn = aA aA aA + ++ " 。 15. 行列式 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a b c d e f 的值等于（ ） （A） abcdef ； （B） −abdf ； （C） abdf ； （D） cdf 16. 如果行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 aaa aaa d aaa = ，则 11 12 13 21 22 23 31 32 33 3 3 3 2 2 2 ( ) a aa aaa aaa = −− − 。 （A） −6d ； （B） 6d ； （C） 4d ； （D） −4d 。 三、计算题
高等代数习题集22.-2222...25.计算行列式223..2222...na +b,a,+b.a,+b,a,+b,a,+b,...a,+b6.计算行列式a,+b,a,+b,a,+b.111-XxX2... .x2x2?.. x?7.计算行列式传专3专子3...专专机x"x"x".. "8.记s=a,+a+.+a，（例如s=n,s=a+a,+.+a）。计算行列式SoSt S, -Sn--S2S.S,S3 S4 .-S+S.Sn-I Sn Sn+I*-S2n-四、证明题aai2..aina2ia22..a2n11.设行列式D=。证明：若a,=-a(1≤i,j≤n)，且n为奇数，则D=0。Jan an2... am1 xx.-α..a12.设P(x)=，其中a,a,,a是互异的数。说明：P(x)是n-11 a-a . an-l次多项式，并且aj,a2，,an-是它的全部根。13.已知f(x),g(x),h(x)在[a,b]上连续可导。证明：存在一点ce[a,b]使得- 18-
高等代数习题集 - 18 - 5. 计算行列式 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 n " " " """"" " 。 6. 计算行列式 1 11 2 1 2 12 2 2 1 2 n n n n nn a ba b a b a ba b a b a ba b a b ++ + + + + + + + " " """""""" " 。 7. 计算行列式 12 3 22 2 2 12 3 -3 -3 -3 -3 12 3 -1 -1 -1 -1 12 3 12 3 1 1 1 1 n n nn n n n nn n n n nn n n n x xx x x xx x x xx x xx x x xx x x " " " """" "" " " " 。 8. 记 1 2 kk k k n saa a = + ++ " ，（例如 0 112 , n s ns a a a = =+++ " ）。计算行列式 0 12 1 1 23 2 34 1 1 1 22 n n n n nn n s ss s s ss s s ss s s ss s − + −+ − " " " """"""" " 四、证明题 11. 设行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a D aa a = " " """"" " 。证明：若 (1 , ) ij ji a a ij n = − ≤≤ ，且 n 为奇数，则 D = 0 。 12. 设 2 1 2 1 11 1 2 1 11 1 1 1 ( ) 1 n n n nn n x x x aa a P x aa a − − − − − − = " " """"""" " ，其中 12 1 , n aa a " − 是互异的数。说明：P x( )是 n −1 次多项式，并且 12 1 , n aa a " − 是它的全部根。 13. 已知 f ( ), ( ), ( ) x gx hx 在[,] a b 上连续可导。证明：存在一点c ab ∈[,]使得
高等代数习题集f(a) g(a) h(a)f(b) g(b) h(b) = 0 。[f'(c) g'(c) h'(c)14证明：设多项式f(x)=α+ax+….+a,x"有n+1个互异的零点，f(x)=0。15设α,az，",a,互不相同。证明：下列线性方程组有唯一解：[X++++x, =1ax+ax+.+ax=baix+x+.+x.=b?[a"'x +a"'x +..+a"x,=b"-并求解。16．若对任意的n阶行列式D。存在从n阶行列式集合到数集的映射f，满足下列条件：(1)若D是对角行列式且主对角元素全是1，则f(D)=1；将D的任意两列对换得到D，则f(D)=-f(D);(2)(3)将D的任意一列乘以k得到D，则f(D)=kf(D)；(4)若D的第i列可表示为另外两个行列式D和D,的第i列的和，而D和D,其他列与D的列完全相同，则f(D)=f(D)+f(D,)求证：f(D)就是行列式的值。- 19 -
高等代数习题集 - 19 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 '( ) '( ) '( ) f a ga ha f b gb hb f c gc hc = 。 14. 证明：设多项式 0 1 ( ) n n f x a ax ax =+ ++ " 有 n +1个互异的零点， f x() 0 = 。 15. 设 1 2 , n aa a " 互不相同。证明：下列线性方程组有唯一解： 1 2 11 2 2 22 2 2 11 22 11 1 1 11 22 1 n n n n n nn n n n n xx x ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b −− − − ⎧ +++ = ⎪ + ++ = ⎪ ⎪ ⎨ + ++ = ⎪ ⎪ ⎪ + ++ = ⎩ " " " """"""""" " 并求解。 16. 若对任意的 n 阶行列式 D 。存在从 n 阶行列式集合到数集的映射 f ，满足下列条件： （1） 若 D 是对角行列式且主对角元素全是 1，则 f ( ) D ＝1； （2） 将 D 的任意两列对换得到 D ，则 f () () D fD = − ； （3） 将 D 的任意一列乘以k 得到 D ，则 f () () D kf D = ； （4） 若 D 的第i 列可表示为另外两个行列式 D1 和 D2 的第i 列的和，而 D1 和 D2 其他 列与 D 的列完全相同，则 1 2 f () ( ) ( ) D fD fD = + 求证： f ( ) D 就是行列式的值
高等代数习题集第三章矩阵一、主要内容$3. 1-$3. 2矩阵的概念与运算1．矩阵的定义定义3.1-1对任意正整数m,n，由数域F中mxn个数a,i=l,.-m,j=1,,n排成m行n列所得的数表称为F上的mxn矩阵aai2aina21a22.a2n.amlam2...am2．矩阵的运算（1）矩阵的加减法定义 3. 2-1设有两个m×n矩阵A=(a）、B=(b，），定义A+B是一个m×n矩阵且其第(i,j)元素等于a,+b,，即A+B=(a, +b,)mxm(ai+bai2+b22..an+bna2i+b2ia22+b2..a2n+b2n...(aml+bmlam2+bm2...amm+bmm）（2）矩阵与数的乘法定义3.2-2对任意正整数m,n，Fm×"中任意一个矩阵A=(a）与F中任意一个数相乘得到一个mxn矩阵A（或A），称为左乘（右乘）.它的第(i,j)元素等于a,(或a,)，即AA= 2(a,)mm=(aa,) mn（3）矩阵的乘法定义3.2-3对任意正整数m,n,P，任意的矩阵A=(ag）mmeF""和B=(b）m,eF"xp可以相乘，乘积AB是一个mxp矩阵AB=(c-20-
高等代数习题集 - 20 - 第三章 矩阵 一、主要内容 §3.1-§3.2 矩阵的概念与运算 1． 矩阵的定义 定义 3.1-1 对任意正整数 m n, , 由数域 F 中 m n × 个数 , 1, ; 1, , ij a i mj n = " " = 排成 m 行n 列所得的数表称为F 上的m n × 矩阵： 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn aa a aa a aa a " " " """ " 2． 矩阵的运算 （1）矩阵的加减法 定义 3.2-1 设有两个 m n × 矩阵 ( ij)m n A a × = 、 ( ij)m n B b × = , 定义 A+ B 是一个m n × 矩阵且其第( ) i j , 元素等于 ij ij a b + , 即 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 11 2 2 ( ) ij ij m n n n n n m m m m mn mn AB a b ab ab ab ab ab ab abab ab += + × ⎛ ⎞ ++ + ⎜ ⎟ ++ + = ⎝ ⎠ ++ + " " " """ " （2）矩阵与数的乘法 定义 3.2-2 对任意正整数 m n, ， m n× F 中任意一个矩阵 A = ( ij)m n a × 与F 中任意一个数 λ 相乘得到一个 m n × 矩阵λA（或 Aλ ），称为左乘（右乘）. 它的第(i j , ) 元素等于λ ij a (或 ij a λ )， 即 ( ij ij ) ( ) mn mn λλ λ Aa a × × = = （3）矩阵的乘法 定义 3.2-3 对任意正整数 mn p , , ，任意的矩阵 A = ( ij)m n a × m n× ∈F 和 ( ) n p ij n p B b × × = ∈F 可以相乘, 乘积 AB 是一个 m p × 矩阵 ( ij)m p AB c × =