高等代数习题集每个次数大于或等于1的复系数多项式在复数域中有根，即，每个次数大于或等于1的复系数多项式在复数域上一定有一次因式2．复系数多项式因式分解定理每个次数大于或等于1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积因此，复系数多项式标准分解式f(x)=a,(x-α)(x-α2)s...(x-α,)其中ααz，",α,是不同的复数，,2",1,是正整数3．实系数多项式因式分解定理每个次数大于或等于1的实系数多项式f(x)在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.因此，实系数多项式f(x)的标准分解式f(x)=a,(x-c)"...(x-c,)"(x+px+q)...(x?+p,x+q,),其中,Pi,r,qi,q,全是实数，l,,l,,是正整数，并且x+p,x+q,(i=1,2,,r)在实数域上是不可约的$1.8有理系数多项式1.本原多项式的定义如果一个非零整系数多项式g(x)=b,x" +b.+" +.+bo的系数b,b-1,",b.没有异于±1的公因子，也就是说，它们是互素的，就称为一个本原多项式.2.高斯引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式，3.定理如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积4.推论设f(x),g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原的.如果f(x)=g(x)h(x)，其中h(x)-是有理系数多项式，那么h(x)一定是整系数的5.定理设f(x)=a,x"+an-}"-"+.+ao-6-
高等代数习题集 - 6 - 每个次数大于或等于 1 的复系数多项式在复数域中有根，即，每个次数大于或等于 1 的复系数多项式在复数域上一定有一次因式. 2． 复系数多项式因式分解定理 每个次数大于或等于 1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此，复系数多项式标准分解式 1 2 1 2 () ( )( ) ( ) s l l l n s fx a x x x =− − − αα α " , 其中 1 2 , α α α " s 是不同的复数， 1 2 , , s ll l " 是正整数. 3． 实系数多项式因式分解定理 每个次数大于或等于 1 的实系数多项式 f ( ) x 在实数域上都可以唯一地分解成一次因式 与二次不可约因式的乘积.因此，实系数多项式 f ( ) x 的标准分解式 1 1 2 2 1 11 () ( ) ( )( ) ( ), s r l kk l n s rr f x a x c x c x px q x px q = − − ++ ++ " " 其 中 11 1 , , , s r r c cp pq q """ 全是实数， 1 1 , , , , s r l lk k " " 是正整数，并且 2 ( 1,2, , ) i i x ++ = px q i r " 在实数域上是不可约的. §1.8 有理系数多项式 1．本原多项式的定义 如果一个非零整系数多项式 1 1 0 ( ) n n n n g x bx b x b − = + ++ − " 的系数 1 0 , , n n bb b − " 没有异于 ±1的公因子, 也就是说, 它们是互素的，就称为一个本原多项 式. 2．高斯引理 两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 3． 定理 如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么 它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 4. 推论 设 f ( ), ( ) x gx 是整系数多项式，且 g x( ) 是本原的. 如果 f () ()() x gxhx = ，其中 h x( ) 是有理系数多项式，那么 h x( ) 一定是整系数的. ■ 5. 定理 设 1 1 0 ( ) n n n n f x ax a x a − = + ++ −
高等代数习题集是一个整系数多项式，而二是它的一个有理根，其中r,s互素，那么必有slan,rla：特s别地，如果f(x)的首项系数a,=1，那么f(x)的有理根都是整数根，而且是a的因数.6.定理（艾森斯坦因判别法）设f(x)=a,x"+an--"++...+ao是一个整系数多项式．如果有一个素数p使得1. pla.:2. plan-1an-2,ao;3. pao,那么f(x)在有理数域上是不可约的81.9多元多项式1.多元多项式的定义设F是一个数域，x,x2,…,x，是n个文字，符号axx…x称为关于文字x,x2,"",x,的单项式，其中aeF，k,k,",k,是非负整数。如果两个单项式中每一个文字的指数对应都相等，则称它们为同类项。有限个单项式的和，二，“号与中xxh...xk.k2",k,称为，x2，x，的多元多项式2.定理当f(x)0g(x2x）0时，乘积(,x2,)g()的首项等于它们首项的乘积3，推论（1）有限个非零多元多项式的首项等于各多项式首项的乘积（2）非零多元多项式的乘积也不等于零.81.10对称多项式1.对称多项式的定义在n元多项式f(x,x2，",x)中，如果对任意两个i,j(l<i<j≤n)，都有f(x,",x,",x,",x)= f(x,,x,,x,,x),那么这个多项式称为对称多项式-7-
高等代数习题集 - 7 - 是一个整系数多项式，而 r s 是它的一个有理根，其中 r s, 互素，那么必有 0 | ,| n sa ra . 特 别地，如果 f ( ) x 的首项系数 1 n a = , 那么 f ( ) x 的有理根都是整数根，而且是 0 a 的因数. 6.定理（艾森斯坦因判别法） 设 1 1 0 ( ) n n n n f x ax a x a − = + ++ − " 是一个整系数多项式. 如果有一个素数 p 使得 1． | n p / a ; 2． 12 0 | , , n n p aa a − − " ; 3． 2 0 p /| a , 那么 f ( ) x 在有理数域上是不可约的. §1.9 多元多项式 1.多元多项式的定义 设 F 是一个数域， 1 2 , n x x x " 是 n 个文字，符号 1 2 1 2 n n k k k ax x x " 称为关于文字 1 2 , n x x x " 的单项式, 其中 a∈F ， 1 2 , n kk k " 是非负整数. 如果两个单项式中每一个文 字的指数对应都相等，则称它们为同类项. 有限个单项式的和 1 2 12 1 2 1 2 , , , n n n n k k k kk k kk k ∑ a xx x " " " 称为 1 2 , n x x x " 的多元多项式. 2．定理 当 12 12 ( , , ) 0, ( , , ) 0 n n f x x x gx x x " " ≠ ≠ 时，乘积 12 12 ( , , )( , , ) n n f x x x gx x x " " 的首项 等于它们首项的乘积. 3，推论 （1） 有限个非零多元多项式的首项等于各多项式首项的乘积. （2） 非零多元多项式的乘积也不等于零. §1.10 对称多项式 1． 对称多项式的定义 在n 元多项式 1 2 , n （ ） f xx x " 中，如果对任意两个ij i j n , (1 ) ≤ < ≤ ，都有 1 1 , , , , , , , , , , i jn jin （ ）（ ） f x x x x fx x x x """ """ = , 那么这个多项式称为对称多项式
高等代数习题集2.定理对于任意一个n元对称多项式f(x,x，,x），都有一个n元多项式y,y2,,y）使得f(x,x2,..,x)=d(o1,02,..,o.).二、训练题、填空题1一个数域所含元素的个数是2时，才有最大公因式；它们的最大公因当两个多项式满足条件式与它们的公因式之间的关系是3对于任意正整数n存在有理数域上不可约的n次多项式吗，如果存在请举例；如果不存在请说明。X实数域上不可约多项式的次数是：如果多项式有一个非实数的复数根，则它有另外一个与之相伴的根，它们的关系是5.当，多项式f(x）=x-3x2+tx-1有重根？如果(x-1)?Ax*+Bx2+1，则A=,B=6.7.如果整系数多项式有既约分数根一，则有理根的分子和分母与首系数和常数项的关系是s多项式f(x)=2x3-x2+2x-1的有理根是69.设f(x)=3x3+ax2-x+b,g(x)=x2+2x+1，若用g(x)除f(x)的余式为2x+6，则a=,b=10如果x?+ax+1x+2x?+bx+c，则a,b,c满足条件二、选择题1.如果多项式f(x)Ig(x)，则（（A）f(x)是非零多项式；(B）f(x)和g(x)均是非零多项式；(C）f(x)和g(x)均是非零多项式；(D)g(x)的因式均是f(x)的因式。2.如果两个多项式互素，则（）(A）它们的最大公因式是常数；(B）它们的最大公因式是1;(C）它们的最大公因式是非零常数；(D）它们的最大公因式只有±1。下面陈述正确的是（）3.(A）如果r是多项式f(x)的微商f(x)的二重根，则r是f(x)的单根；-8-
高等代数习题集 - 8 - 2． 定理 对于任意一个 n 元对称多项式 1 2 , n （ ） f xx x " , 都有一个 n 元多项式 1 2 , n φ（ ） y y y " 使得 12 1 2 , (, , ) n n （ ） fxx x " " = φ σσ σ . 二、训练题 一、填空题 1. 一个数域所含元素的个数是_。 2. 当两个多项式满足条件_时，才有最大公因式；它们的最大公因 式与它们的公因式之间的关系是_。 3. 对于任意正整数 n 存在有理数域上不可约的 n 次多项式吗，如果存在请举例 _；如果不存在请说明。 4. 实数域上不可约多项式的次数是_；如果多项式有一个非实数的复 数根，则它有另外一个与之相伴的根，它们的关系是_。 5. 当，多项式 3 2 f () 3 1 x x x tx = − +− 有重根？ 6. 如果 24 2 ( 1) | 1 x Ax Bx − ++ ，则 A B = _, _ = 。 7. 如果整系数多项式有既约分数根 r s ，则有理根的分子和分母与首系数和常数项的关系是 _。 8. 多项式 3 2 f () 2 2 1 x xx x = −+ − 的有理根是_。 9. 设 32 2 f () 3 , () 2 1 x x ax x b g x x x = + −+ = + + ，若用 g x( ) 除 f ( ) x 的余式为 2 6 x + ， 则 a b = = _, _ 。 10. 如果 2 32 x ++ + ++ ax x x bx c 1| 2 ，则 abc , , 满足条件_。 二、选择题 1. 如果多项式 f ( )| ( ) x gx ，则（ ） （A） f ( ) x 是非零多项式； （B） f ( ) x 和 g x( ) 均是非零多项式； （C） f ( ) x 和 g x( ) 均是非零多项式； (D) g x( ) 的因式均是 f ( ) x 的因式。 2. 如果两个多项式互素，则（ ） (A) 它们的最大公因式是常数； (B) 它们的最大公因式是 1； (C) 它们的最大公因式是非零常数； (D) 它们的最大公因式只有 ±1。 3. 下面陈述正确的是（ ） (A) 如果 r 是多项式 f ( ) x 的微商 f '( ) x 的二重根，则 r 是 f ( ) x 的单根；
高等代数习题集(B）如果r是多项式f(x)和微商f(x)的根，则r是f(x)的重根：(C）r是f(x)的根的充分必要条件是x-r是f(x)的一次因式；(D)多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是f(x)与f(x)的互素。对于一个数域F上的n次多项式f(x)(n≥1)，下面结论不成立的是（）。4.(B)f(x)在F[x]中一定有一次因式;(A）在复数域中一定有根；(C）它的根的个数不超过n；(D)f(x)在复数域上一定有一次因式。5、设f(x)是一个多项式，f(x)是它的微商，x=a是f(x)的根，则（）(A）x=a是f(x)的重根；(B）x=a不一定是f(x)的根；(C）x=a不是f(x)的根；(D）x-a是f(x)的重因式。6．设f(x),g(x)是有理系数多项式，则下面陈述正确的是（）（A）如果它们在有理数域上互素，则它们在实数域上也互素：(B）如果它们在实数域上互素，则它们在有理数域上也互素；(C）如果在有理数域上f(x)Ig(x)，则在实数域上也有f(x)Ig(x);(D)如果在实数域上f(x)Ig(x)，则在有理数域上也有f(x)Ig(x)。7.设F是数域，f(x),g(x)eF[x)并且f(x)±0，则在下面的命题中（）不是f(x)1g(x)的充分必要条件。(A）对任意的正整数k，f*(x)Ig*(x)；(B）用f(x)除g(x)，余式为零：(C)f(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式：(D)f(x)的不可约因式一定是g(x)的因式。8．本原多项式对下面运算（）不是封闭的。(A）多项式的乘法；(B)多项式加法；(C)取整系数因式；(D)取负多项式。9.设f(x）是整系数多项式，则下面命题正确的是（）。(A）f(x)有有理根的充分必要条件是f(x)在有理数域上可约-9-
高等代数习题集 - 9 - (B) 如果r 是多项式 f ( ) x 和微商 f '( ) x 的根，则 r 是 f ( ) x 的重根； (C) r 是 f ( ) x 的根的充分必要条件是 x − r 是 f ( ) x 的一次因式； (D) 多项式 f ( ) x 没有重因式的充分必要条件是 f ( ) x 与 f '( ) x 的互素。 4. 对于一个数域 F 上的n 次多项式 fxn ( )( 1) ≥ ，下面结论不成立的是（ ）。 (A) 在复数域中一定有根； (B) f ( ) x 在 F[ ] x 中一定有一次因式； (C) 它的根的个数不超过 n ； (D) f ( ) x 在复数域上一定有一次因式。 5. 设 f ( ) x 是一个多项式， f '( ) x 是它的微商， x = a 是 f ( ) x 的根，则（ ） (A) x = a 是 f ( ) x 的重根； (B) x = a 不一定是 f ( ) x 的根； (C) x = a 不是 f ( ) x 的根； (D) x − a 是 f ( ) x 的重因式。 6. 设 f ( ), ( ) x gx 是有理系数多项式，则下面陈述正确的是（ ） (A) 如果它们在有理数域上互素，则它们在实数域上也互素； (B) 如果它们在实数域上互素，则它们在有理数域上也互素； (C) 如果在有理数域上 f ( )| ( ) x gx ，则在实数域上也有 f ( )| ( ) x gx ； (D) 如果在实数域上 f ( )| ( ) x gx ，则在有理数域上也有 f ( )| ( ) x gx 。 7. 设 F 是数域， f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈ F 并且 f x() 0 ≠ ，则在下面的命题中（ ）不是 f ( )| ( ) x gx 的充分必要条件。 (A) 对任意的正整数 k ， ( )| ( ) k k f xgx ； (B) 用 f ( ) x 除 g x( ) ，余式为零； (C) f ( ) x 是 f ( ) x 与 g x( ) 的一个最大公因式； (D) f ( ) x 的不可约因式一定是 g x( ) 的因式。 8. 本原多项式对下面运算（ ）不是封闭的。 (A) 多项式的乘法； (B) 多项式加法； (C) 取整系数因式； (D) 取负多项 式。 9. 设 f ( ) x 是整系数多项式，则下面命题正确的是（ ）。 (A) f ( ) x 有有理根的充分必要条件是 f ( ) x 在有理数域上可约；
高等代数习题集(B）若既约分数号是f(x)的根，则q整除f(x)的常数项；(C）若p是素数且能整除f(x)的除首项外的所有项系数，则f(x)在有理数上不可约：(D）若f(x)有重因式，则它在有理数上必有重根，10若(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1，则下列多项式不一定互素的是（)。(A) f(x),f(x)+g(x)(B) f(x),h(x)+g(x)(C) f(x),h(x)g(x)(D) f(x)g(x),f(x)+g(x)三、计算题1.设多项式f(x)=x +2x -5x-6， g(x)=x +x-2。求(f(x),g(x)),并且求u(x),v(x)使得(f(x),g(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。2．求以√2+i为根的最小有理系数多项式。求多项式+x-x+2x2-x-2的有理根，并写出它在有理数域上的标准分解式。3.4.用初等对称多项式表示对称多项式(+)+)x+x)。四、证明题1.证明：如果d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，则d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式当且仅当d(x)/f(x),d(x)Ig(x)。2.证明：如果(f(x),g(x))=p(x)是一个不可约多项式，那么存在正整数k使得(f(x)g(x), f(x)+g(x)= p*(x) 。3.设f(x),g(x)是实数域上的多项式且(x)和g(x)在复数域上无公共根。证明：(f(x),g(x)=1 。4.设F是数域，f(x),g(x)eF[x)。证明：如果g(x)If(x)，则g(x)If(x)。5.设F,F是数域，且FF，f(x),g(x)F[x]。证明：(1)如果在F[x]中有g(x)f(x)，则在F[x]中也有g(x)If(x)。(2)f(x)和g(x)在F[x]中互素当且仅当f(x)和g(x)在F[x]中互素。- 10 -
高等代数习题集 - 10 - (B) 若既约分数 p q 是 f ( ) x 的根，则 q 整除 f ( ) x 的常数项； (C) 若 p 是素数且能整除 f ( ) x 的除首项外的所有项系数，则 f ( ) x 在有理数上不可约； (D) 若 f ( ) x 有重因式，则它在有理数上必有重根。 10. 若( ( ), ( )) 1,( ( ), ( )) 1 f x gx f x hx = = ，则下列多项式不一定互素的是（ ）。 (A) f ( ), ( ) ( ) x f x gx + (B) f ( ), ( ) ( ) x hx gx + (C) f ( ), ( ) ( ) x hxgx (D) f ( ) ( ), ( ) ( ) xgx f x gx + 三、计算题 1. 设多项式 ( ) 2 5 6 3 2 f x = x + x − x − ， ( ) 2 2 g x = x + x − 。 求( f (x), g(x)),并且 求ux vx ( ), ( ) 使得( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) f x gx ux f x vxgx = + 。 2. 求以 2 + i 为根的最小有理系数多项式。 3. 求多项式 543 2 x + − + −− xx xx 2 2的有理根，并写出它在有理数域上的标准分解式。 4. 用初等对称多项式表示对称多项式 1 22 33 1 ( )( )( ) x + xx xx x + + 。 四、证明题 1. 证明：如果d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) ，则d(x)是 f (x)与 g(x)的最大公因 式当且仅当d(x) | f (x),d(x) | g(x)。 2. 证明：如果 ( ( ), ( )) ( ) f x gx px = 是一个不可约多项式，那么存在正整数 k 使得 ( ( ) ( ), ( ) ( )) ( ) k f xgx f x gx p x + = 。 3. 设 f ( ), ( ) x gx 是实数域上的多项式且 f ( ) x 和 g x( ) 在复数域上无公共根。证明： ( ( ), ( )) 1 f x gx = 。 4. 设 F 是数域， f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈ F 。证明：如果 3 3 gx f x ( )| ( ) ，则 gx f x ( )| ( )。 5. 设 1 F,F 是数域，且 F ⊆ F1， f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈ F 。证明： （1） 如果在 1 F [ ] x 中有 gx f x ( )| ( )，则在 F[ ] x 中也有 gx f x ( )| ( )。 （2） f ( ) x 和 g x( ) 在 F[ ] x 中互素当且仅当 f ( ) x 和 g x( ) 在 1 F [ ] x 中互素