第五章线性微分方程组 许多实际问题的数学模型表现为复杂的非线性微分方程组，若用近似法把问题简化为线 性微分方程组往往可以获得简捷的解答因此对线性微分方程组研究是十分重要的本章主要 是引进向量和矩阵的记号，借助于高等代数知识来研究其性质，这方面内容要特别注意. $5.1一般理论初步 形如微分方程组 0-2a,0,+06 这里a,)和f0)(亿，j=1,m)在区间[a,b上都是连续的.引入矩阵函数和向量函数 记号： （a,().an(0 x0) (f A0)=.,0=:,了)=： an)）.an) (x(n 0 则可以把方程组(5.1)写成等价的向量的形式 '=A()元+f）(5.2) 称方程组(5.2)为n个一阶线性微分方程组，简称为线性方程组， 若子)≠0，则称(52)为非齐线性微分方程组：若子)=0，此时方程的形式为 =A()元 (5.3) 则称(5.3)为相应于(5.2)的齐线性微分方程组 为了研究线性微分方程组(5,2)解的结构，我们引进下面的概念 1,矩阵函数和向量函数的选续，可微，积分概念及运算公式： 设4A)是区间[a,b]上n阶矩阵函数，()是区间[a,b]上n维列向量函数. 定义1若A()(或())中每一个元均在区间[a,b上连续，则称A1)(或))在[a,b 上是连续的. 同理，可以相应地定义它们可微和积分定义，且有下式： 4o=la6》n,io=(d广Aodh=(Ca,0a 心a0d=(4,od） 设A(),B()是区间a,b上n阶矩阵函数，()，下()是区间[a,b上n维列向量，不难 证明若它们可微，则它们具有下列性质：
84 第五章 线性微分方程组 许多实际问题的数学模型表现为复杂的非线性微分方程组，若用近似法把问题简化为线 性微分方程组往往可以获得简捷的解答.因此对线性微分方程组研究是十分重要的.本章主要 是引进向量和矩阵的记号，借助于高等代数知识来研究其性质，这方面内容要特别注意. §5.1 一般理论初步 形如微分方程组 ( ) ( ) 1 a t x f t dt dx j i n j ij i = ∑ + = (5.1) 这里 a (t) ij 和 f (t) i,( j ,1 , n) i = L 在区间[a,b]上都是连续的.引入矩阵函数和向量函数 记号： = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 a t a t a t a t A t n nn n L L L L L , = ( ) ( ) ( ) 1 x t x t x t n M v , = ( ) ( ) ( ) 1 f t f t f t n M v ， 则可以把方程组(5.1)写成等价的向量的形式 x A t x f (t) v v v ′ = ( ) + (5.2) 称方程组(5.2)为n 个一阶线性微分方程组,简称为线性方程组. 若 f (t) ≠ 0 v ，则称(5.2)为非齐线性微分方程组；若 f (t) = 0 v ，此时方程的形式为 x A t x v v ′ = ( ) (5.3) 则称(5.3)为相应于(5.2)的齐线性微分方程组. 为了研究线性微分方程组(5.2)解的结构，我们引进下面的概念. 1． 矩阵函数和向量函数的连续，可微，积分概念及运算公式： 设 A(t) 是区间[a,b]上 n 阶矩阵函数，u(t) v 是区间[a,b]上n 维列向量函数. 定义 1 若 A(t)（或u(t) v ）中每一个元均在区间[a,b]上连续，则称 A(t)（或u(t) v ）在[a,b] 上是连续的. 同理，可以相应地定义它们可微和积分定义，且有下式： ( ( )) ( ) ( ) n n b a ij b a ij n n i n A t a t u t u t A t dt a t dt × × × ′ = ′ ′ = ′ = ∫ ∫ ( ) , ( ) , ( ) ( ) 1 v 和 1 ( ) ( ) × = ∫ ∫ n b a i b a u t dt u t dt v . 设 A(t), B(t) 是区间[a,b]上 n 阶矩阵函数，u(t),v(t) v v 是区间[a,b]上n 维列向量，不难 证明若它们可微，则它们具有下列性质：
(A)+B)=4A)'+B,()+)=+) (A)B(t)）=A)'B(t)+At)B(), (A)a()）=4)'a()+A)a') 注1行列式的导数与矩阵的导数差别很大，值得同学留意 行列式4)的导数=∑4，这里A,)为40中第i行换成(a).a()的矩 阵. 2.矩阵与向量的范数 对于A=ag)和示=(x)m,我们定义范数 定文2记A=,=立x小，分别称刷4为A和天的范数 设A,B是n阶矩阵，无，是n维向量，不加证明给出下面关于范数的性质： AB例≤4B, A≤4 2)H+刷s+l 际+≤+ 3.关于上述范数意义下的收敛问题 定义3设在()}为区间a,b]上的向量函数序列，这里元()=(x.()若对于每一个正 整数i,有函数序列{x4()}在区间a,b上是收敛的（或一致收敛的），称向量函数序列在 区间a,b]上是收敛的（或一致收敛的） 同理可以类似定义矩阵函数序列，矩阵函数级数和向量函数级数的收敛或一致收敛的概 念进一步，我们不加证明指出它们具有与数学分析中序列和级数平行的性质，可以看成是 其自然推广例如，判别向量函数序列的一致收敛性也有魏尔斯特拉斯判别法，即若存在正 项级数空M,有华，OsM,1e血小，且满足最数空M,收数。则民，O}证 间a,b]上一致收敛 4.李普希兹条件 定义4若n维向量函数了(1，)在闭区域 H=《化，)川k-ta≤a,F-≤b1∈R,次∈R"} 85
85 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ,) ( ) ( ) = ( )′ + ( )′ ′ = ′ + ′ + ′ A t + B t A t B t u t v t u t v t v v v v ( ) ( ) ( ) = ( )′ ( ) + ( ) ( ′,) ′ A t B t A t B t A t B t ( ) A(t)u(t) = A(t)′u(t) + A(t)u′(t) v ′ v v . 注 1 行列式的导数与矩阵的导数差别很大，值得同学留意. 行列式 A(t) 的导数 ∑= = n i i A t 1 ( ) ，这里 A (t) i 为 A(t) 中第i 行换成( ( ) ( )) 1 a t a t i in ′ L ′ 的矩 阵. 2． 矩阵与向量的范数 对于 ( ) n n A aij × = 和 ( ) ×1 = i n x x v ，我们定义范数. 定义 2 记 ∑ ∑ = = = = n i i n i j ij A a x x , 1 1 || || , v ，分别称 A x v , 为 A 和 x v 的范数. 设 A,B 是n 阶矩阵， x y v v , 是 n 维向量，不加证明给出下面关于范数的性质： （1） ; , Ax A x AB A B v v ≤ ⋅ ≤ ⋅ （2） . , x y x y A B A B v v v v + ≤ + + ≤ + 3． 关于上述范数意义下的收敛问题 定义 3 设{xk (t)} v 为区间[a,b]上的向量函数序列，这里 ( ) 1 ( ) ( ) × = k ik n x t x t v .若对于每一个正 整数i ，有函数序列{xik (t)}在区间[a,b]上是收敛的（或一致收敛的），称向量函数序列在 区间[a,b]上是收敛的（或一致收敛的）. 同理可以类似定义矩阵函数序列，矩阵函数级数和向量函数级数的收敛或一致收敛的概 念.进一步，我们不加证明指出它们具有与数学分析中序列和级数平行的性质，可以看成是 其自然推广.例如，判别向量函数序列的一致收敛性也有魏尔斯特拉斯判别法，即若存在正 项级数∑= n k M k 1 ，有 x t M t [a b] k k ( ) ≤ ∀ ∈ , v ，且满足级数∑= n k M k 1 收敛，则{xk (t)} v 在区 间[a,b]上一致收敛. 4． 李普希兹条件 定义 4 若n 维向量函数 f t,( x) v v 在闭区域 { ,( |) 0 , 0 , } n H = t x t − t ≤ a x − x ≤ b ∀t ∈ R ∀x ∈ R v v v v
上连续，且存在正常数L>0,使得V(L,元)，亿，x2)∈H，有 了u,)-u,2)≤-2， 则称了亿，x)在H上关于x满足李普希兹条件同理可以类似定义局部李普希兹条件 注2特别地设f,)=A()i+0,若A()和)在-o≤a上连续，则了(，)在 H上关于x满足李普希兹条件 5.解的定义 对于线性微分方程组 =A()F+f0）(52) 这里n阶矩阵函数A(t)和n维向量函数了()在区间a,b上连续. 定义5若存在定义于区间[α，例S[a,b上的向量函数()，能使方程组(5.2)成为恒等式， 则称向量函数1)是方程组(5.2)的解。 定义6若解()还满足初始条件（化）=元，则称()是初值问题 '=A0+f) (5.2) 和 ()=。 的解这里1o∈a,b。∈R 6.关于线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理 有了上述有关概念和性质，我们有如下线性方程组解的存在唯一性定理 定理1若n阶矩阵函数A()和n维向量函数了)在区间a,b上连续，则对于区间a,b 上的任何数1。及任一常数向量元。=(7，n了 线性微分方程组 =A)元+7)(5.2) 存在唯一解：=()，定义于整个区间[a,b上，且满足初始条件 1)=元6 定理1的证明几乎平行于第三章的证明，这里留给同学自己证明. 注3由于方程组(52)是线性微分方程组，因此定理1是全局存在定理，即解的存在区间不
86 上连续，且存在正常数 L > 0 ，使得∀ t,( x1 ), t,( x2 ) ∈ H v v ，有 1 2 1 2 f t,( x ) f t,( x ) L x x v v v v v v − ≤ − ， 则称 f t,( x) v v 在 H 上关于 x v 满足李普希兹条件.同理可以类似定义局部李普希兹条件. 注 2 特别地设 f t,( x) A(t)x g(t) v v v v = + ，若 A(t) 和 g(t) v 在 t − t 0 ≤ a 上连续，则 f t,( x) v v 在 H 上关于 x v 满足李普希兹条件. 5． 解的定义 对于线性微分方程组 x A t x f (t) v v v ′ = ( ) + (5.2) 这里n 阶矩阵函数 A(t) 和n 维向量函数 f (t) v 在区间[a,b]上连续. 定义 5 若存在定义于区间[α,β ] ⊆ [a,b]上的向量函数ϕ(t) v ，能使方程组(5.2)成为恒等式， 则称向量函数ϕ(t) v 是方程组(5.2)的解. 定义 6 若解ϕ(t) v 还满足初始条件 0 0 x(t ) x v v = ，则称ϕ(t) v 是初值问题 x A t x f (t) v v v ′ = ( ) + (5.2) 和 0 0 x(t ) x v v = 的解.这里 [ ] n t 0 ∈ a,b , x0 ∈ R v 6．关于线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理 有了上述有关概念和性质，我们有如下线性方程组解的存在唯一性定理. 定理 1 若n 阶矩阵函数 A(t) 和 n 维向量函数 f (t) v 在区间[a,b]上连续，则对于区间[a,b] 上的任何数 0 t 及任一常数向量 ( ) T n x0 η1 ,L,η v = 线性微分方程组 x A t x f (t) v v v ′ = ( ) + (5.2) 存在唯一解 x ϕ(t) v v = ，定义于整个区间[a,b]上，且满足初始条件 0 0 (t ) x v v ϕ = 定理 1 的证明几乎平行于第三章的证明，这里留给同学自己证明. 注 3 由于方程组(5.2)是线性微分方程组，因此定理 1 是全局存在定理，即解的存在区间不
小于4)和了)的连续区间[a,b小.同时当4)和了)在区间[a,b上给定时，解的存在和 唯一完全由初始值元。确定 7.n阶线性微分方程与n个一阶线性微分方程组的关系 一方面，对于n阶线性方程的初值问题 L.(x)=f() ,)=,)=x"-0=5利 则一定可以化为n个一阶线性方程组的初值问题 x'=A)r+g),o)= (5.5) 0 1 0 0 10 0 0 1 0 0 x 这里40)=. bg()= 0 0 0 0. 1 （-an)-am-()-an-2().-a,() (o) 事实上，设x=x,了=x2,.,x=x.,则方程L(x)=f()就可政写成 x=0x1+1x2+0x+.+0x。, x=0x+0x2+13+.+0-x x=0x+0x2+0-x3+.+1xn x。=-a()x1-an-(0)x2-a(0xn+f)） 所以可以将上式写成向量形式 =A0元+g0),)=(5.5). 另一方面，一般线性微分方程组化不成高阶线性微分方程.事实上，例如 (阅-代)复对世化为三动线性准分方程=里= 的-代到-，立手提上式 个二阶线性微分方程 $5.2线性微分方程组解的结构和性质
87 小于 A(t) 和 f (t) v 的连续区间[a,b].同时当 A(t) 和 f (t) v 在区间[a,b]上给定时，解的存在和 唯一完全由初始值 0 x v 确定. 7． n 阶线性微分方程与n 个一阶线性微分方程组的关系 一方面，对于n 阶线性方程的初值问题 ( ) ( ) ( ) = ′ = = = − −1 0 1 1 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) ( ) ( ) n n n x t x x t x x t x L x f t L (5.4) 则一定可以化为n 个一阶线性方程组的初值问题 x A t x g(t) v v v ′ = ( ) + ， 0 0 x(t ) x v v = (5.5) 这里 ( ) ( ) ( ) = = − − − − = − − − 1 0 2 0 1 0 0 0 1 2 1 , ( ) 0 0 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ( ) n n n n x x x x x f t g t a t a t a t a t A t M v M v L L L L L L L L L . 事实上，设 n n x = x x′ = x x′ = x 1 1 2 −1 , ,L, ，则方程 L (x) f (t) n = 就可改写成 n x′ = 0 ⋅ x +1⋅ x + 0 ⋅ x + + 0 ⋅ x 1 1 2 3 L ， n x′ = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x +1⋅ x + + 0 ⋅ x 2 1 2 3 L , . n n x′ = ⋅ x + ⋅ x + ⋅ x + + ⋅ x − 0 0 0 1 1 1 2 3 L , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 x a t x a t x a t x f t n ′ = − n − n− −L− n + 所以可以将上式写成向量形式 x A t x g(t) v v v ′ = ( ) + ， 0 0 x(t ) x v v = (5.5). 另 一 方 面 ， 一 般 线 性 微 分 方 程 组 化 不 成 高 阶 线 性 微 分 方 程 . 事 实 上 ， 例 如 = ′ ′ 2 1 2 1 1 0 0 1 x x x x 仅 可 以 化 为 二 阶 线 性 微 分 方 程 1 1 x′′ = x 且 2 1 x = x′ . 例 如 = ′ ′ 2 1 2 1 0 1 1 0 x x x x 只能表示成 1 1 2 2 x′ = x , x′ = x ，由于 1 x 与 2 x 独立，于是上式不能化为一 个二阶线性微分方程. §5.2 线性微分方程组解的结构和性质
1.齐线性微分方程组解的代数结构 考虑齐线性微分方程组 '=A0(53) 这里A(t)在区间[a,b上连续. 类似于前面第四章$4.1中阶齐线性微分方程解的代数结构，我们给出齐线性微分方程 组的平行定理，值得同学体会 定理2（叠加原理）若(0)和下()是方程组(5.3)的解.则它们的线性组合()+你()也是 方程组(5.3)的解 这里以，B是两个任意常数。 证明代入直接验证即可 此定理2表明方程组（⑤.3）所有解的集合构成一个线性空间，当然要问此空间的维数是多 少？基怎么判定？类似于高等代数中的向量线性相关和线性无关的概念，我们引入向量函数 的线性相关和线性无关概念， 定义7设元)，.，元()是区间a,b)上的m个n维向量函数若存在m个不全为零的常 数G,.,Cm,使得 c()+.+cnx(0）=0∀1e[a,b, 则称这向量函数组在区间,b上线性相关，否则称它们线性无关 例如，元=(10.0，元2=(0.0，x3=20.0为三个n维向量 函数，易知它们在任何区间上线性无关.例如，两个”维向量函数 无=(sint0.0,x2=(cos10.0在任何区间上线性无关例如，两个n维 向量函数元=sin210.0,x2=(cos21-10.0在任何区间上线性相关 下面引入与判定向量函数组线性相关和线性无关有关的伏朗斯基行列式， 定义8设无()，元()是a,b区间上的n个n维向量函数，记 Wn(=W(E).,()=e(),.,元)， 则称W(C)为这向量函数组构成的伏朗斯基行列式这里（民，(），.，元()是n阶矩阵， 定理3设元()，.，R,()是区间a,b上n个n维向量函数组若这向量函数组在区间a,b小 线性相关，则它们的伏朗斯基行列式W,)=01e[a,b 证明由假设可知存在不全为零的常数G,.,C。,使得
88 1． 齐线性微分方程组解的代数结构 考虑齐线性微分方程组 x A t x v v ′ = ( ) (5.3) 这里 A(t) 在区间[a,b]上连续. 类似于前面第四章§4.1 中n 阶齐线性微分方程解的代数结构，我们给出齐线性微分方程 组的平行定理，值得同学体会. 定理 2（叠加原理）若u(t) v 和v(t) v 是方程组(5.3)的解.则它们的线性组合 u(t) v(t) v v α + β 也是 方程组(5.3)的解. 这里α, β 是两个任意常数. 证明 代入直接验证即可. 此定理 2 表明方程组(5.3)所有解的集合构成一个线性空间，当然要问此空间的维数是多 少？基怎么判定？类似于高等代数中的向量线性相关和线性无关的概念，我们引入向量函数 的线性相关和线性无关概念. 定义 7 设 ( ), , ( ) 1 x t x t m v L v 是区间[a,b]上的 m 个 n 维向量函数.若存在 m 个不全为零的常 数 1 , , m c c L ，使得 c x t c x t t a b 1 1( ) ( ) 0 , + + = ∀ ∈ m m [ ] v v v L ， 则称这向量函数组在区间[a,b]上线性相关，否则称它们线性无关. 例如， ( ) ( ) ( ) T T T x 1 0 0 , x t 0 0 , x t 0 0 2 1 2 3 L v L v L v = = = 为三个 n 维向量 函 数 ， 易 知 它 们 在 任 何 区 间 上 线 性 无 关 . 例 如 , 两 个 n 维 向 量 函 数 ( ) ( ) T T x sin t 0 0 , x cost 0 0 1 2 L v L v = = 在任何区间上线性无关.例如，两个 n 维 向量函数 ( ) ( ) T T x sin t 0 0 , x cos t 1 0 0 2 2 2 1 L v L v = = − 在任何区间上线性相关. 下面引入与判定向量函数组线性相关和线性无关有关的伏朗斯基行列式. 定义 8 设 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 是[a,b]区间上的n 个 n 维向量函数，记 ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ), , ( ) 1 1 W t W x t x t x t x t n n n v L v v L v = = ∆ ， 则称W (t) n 为这向量函数组构成的伏朗斯基行列式.这里( ( ), , ( )) 1 x t x t n v L v 是n 阶矩阵. 定理 3 设 ( ), , ( ) 1 x t x t n v L v 是区间[a,b]上n 个 n 维向量函数组.若这向量函数组在区间[a,b] 线性相关，则它们的伏朗斯基行列式W t t [a b] n ( ) ≡ 0 ∀ ∈ , . 证明 由假设可知存在不全为零的常数 1 , , n c c L ，使得