因此,对任意给定的函数a(x),有 2m+1 Sn(x)-0(x) [f(x+u)+f(x-u)-2o(x) du 0 2 sin 这样,若记 (l2x)=f(x+l)+f(x-)-20(x), 则∫f(x)的 Fourier级数是否收敛于某个a(x)就等价于极限 n1+ SIn u lim. po(u,x) du 2 sin 是否存在且等于0
因此，对任意给定的函数 σ x)( ，有 xxS )()( m − σ π 0 2 1 sin 1 2 [ ( ) ( ) 2 ( )] d π 2sin 2 m u f x u fx u x u u σ + = ++ −− ∫ 。 这样，若记 ϕ σ xuxfuxfxu )(2)()(),( σ = + + − − ， 则 f x( ) 的 Fourier 级数是否收敛于某个 σ x)( 就等价于极限 π 0 2 1 sin 2 lim ( , ) d 2sin 2 m m u u x u u ϕσ →∞ + ∫ 是否存在且等于 0
Riemann引理及其推论 定理16.2.1( Riemann引理)设函数v(x)在[a,b上可积或绝 对可积,则成立 m y(x)sin px dx lim ] w(x)cos prix=0
Riemann 引理及其推论 定理 16.2.1（Riemann 引理） 设函数ψ x)( 在[,] a b 上可积或绝 对可积，则成立 lim ( )sin d b p a ψ x px x →+∞ = ∫ lim ( ) cos d 0 b p a ψ x px x →+∞ = ∫
Riemann引理及其推论 定理16.2.1( Riemann引理)设函数v(x)在[a,b上可积或绝 对可积,则成立 lim v(x)sin px dx= lim v(x)cos px dx=0 证先考虑v(x)有界的情况,这时v(x) Riemann可积。 对于任意给定的E>0,由定理7.1.3,存在着一种划分 a=x<x1<x2<…<xn=b, 满足 C.△x< 这里Ax1=x1-x,,是v(x)在[x,x中的振幅
证 先考虑ψ x)( 有界的情况，这时ψ x)( Riemann 可积。 对于任意给定的ε > 0，由定理 7.1.3，存在着一种划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 满足 1 2 ε ∑ω <Δ = n i ii x ， 这里Δxxx i ii = − −1，ωi 是ψ x)( 在[ ,] x x i i −1 中的振幅。 Riemann 引理及其推论 定理 16.2.1（Riemann 引理） 设函数ψ x)( 在[,] a b 上可积或绝 对可积，则成立 lim ( )sin d b p a ψ x px x →+∞ = ∫ lim ( ) cos d 0 b p a ψ x px x →+∞ = ∫
对于这种固定的划分,记m是v(x)在[x1,x中的下确界,并取实 数P=∑m>0,则当p>P时,有 2/ 2m, 5 于是,对于任意给定的E>0,存在实数P>0,当p>P时,有 b y(x)sin px d y(x)sin pxa ∫0(x)-m) sin pxdx+∑m∫sin, ∑∫”10(x)-mnpd+ m,I[ sin prd ∑∫v(mdx+2∑m P ∑m <8
对于这种固定的划分，记 mi是ψ x)( 在[ ,] x x i i −1 中的下确界，并取 实 数 0|| 4 1 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑= n i mP i ε ，则当 p P > 时，有 2 || 2 1 ε ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑= n i mi p 。 于是，对于任意给定的 ε > 0，存在实数 P > 0，当 p P > 时，有 ( )sin d b a ψ x px x ∫ 1 1 ( )sin d i i n x x i ψ x px x − = = ∑ ∫ 1 1 ( ( ) )sin d i i n x i x i ψ x m px x − = = − ∑ ∫ 1 1 sin d i i n x i x i m px x − = + ∑ ∫ 1 1 | ( ) | |sin | d i i n x i x i ψ x m px x − = ≤ −⋅ ∑ ∫ 1 1 | | sin d i i n x i x i m px x − = + ∑ ∫ 1 1 | ( ) |d i i n x i x i ψ x m x − = ≤ − ∑ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑= n i mi p 1 || 2 ∑= Δ≤ n i ii x 1 ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑= n i mi p 1 || 2 < ε
再考虑v(x)无界的情况,这时v(x)绝对可积。 不妨假设b是v(x)的唯一奇点。由无界函数反常积分绝对收敛 的定义,对于任意给定的s>0,存在δ>0,当n<δ时, y(x) du 固定n,则v(x)在{a,b-]上 Riemann可积,应用上面的结论,存在实 数P>0,当p>P时, y(x)sin px dx
再考虑ψ x)( 无界的情况，这时ψ x)( 绝对可积。 不妨假设b是ψ x)( 的唯一奇点。由无界函数反常积分绝对收敛 的定义，对于任意给定的ε > 0，存在δ > 0，当η < δ 时， | ( )|d 2 b b x x η ε ψ − < ∫ ， 固定η，则ψ x)( 在 ba −η],[ 上 Riemann 可积，应用上面的结论，存在实 数 P > 0，当 p P > 时， ( )sin d 2 b a x px x η ε ψ − < ∫