例在线性空间R[x2中取一组基 E1=1,e2=(x-a),e3=(x-a),,En=(x-a) 则由 Taylor公式知 ∫(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+ (n-1(a (x-a) (n-1) 因此f(x)在基E1E2,E3,…,En下的坐标是 (f(a), f(a),(a (n-1) 问题:1,不同性质的线性空间 2,同一线性空间的不同基下的坐标表示
则由 Taylor 公式知 ,1 ( ), ( ) , , ( ) [ ] , 1 n 2 1 2 x a 3 x a x a R x n n = = − = − = − − ε ε ε L ε 例 在线性空间 中 取一组基 ( ) ( ) ( ) 2 ! ' ' ( ) ( ) ( ) (' )( ) 1 ( 1 ) 2 x a f a x a f a f x f a f a x a n n + + − = + − + − − − L • 问题：1，不同性质的线性空间 2，同一线性空间的不同基下的坐标表示 ) . ( 1)!( ) , , !2('' ) ( ( ), (' ), ( ) , , , , ( )1 T 1 2 3 −− n f a f a f a f a f x n nL 因此 在基ε ε ε L ε 下的坐标是 ( ) ( 1 )! ( ) 1 x a n f a n − − + + − L
若线性空间V有一个基{an12a2,…,an} 设 B=ba+b2a2+…+ba 即向量a,B∈在基a1、a2,…,an下的坐标分别为(a1a12…,an) (b,b2…,bn),则 a+B=(a1+b1)a1+(a2+b2)a2+…+(an+bn)an ka=ka1a+kaa2+…+kana 于是a+B与ka的坐标分别为 (a1+b1a2+b2…an+bn)=(ana2…an)+(b,b2;…bn) (kakar, . kan)=k(ar
β α α α α α α α n n b b b a a a n n = + + + = + + + L L 1 2 1 2 1 2 设 1 2 和 则 即向量 在基 下的坐标分别为 , , , , , ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 1 2 b b b a a a n T n T V n L α β ∈ α α L α L • 若线性空间V有一个基 {α1,α2 ,L,αn} 于是α + β与kα的坐标分别为 (b1,b2,L,bn) α β a b α a b α an bn αn ( ) ( ) ( ) + = 1 + 1 1 + 2 + 2 2 +L+ + kα = k a1α1 + k a2α2 +L+ k anαn ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) a1 b1 a2 b2 an bn a1 a2 an b1 b2 bn T T T + + L + = L + L ( , , , ) ( , , , ) ka1 ka2 ka a1 a2 an k n T T L = L