1.4条件概率一.条件概率与乘法公式描述性定义：在事件A发生的条件（假设）下事件B发生的概率。记作：P(BA)例如：上抛两枚硬币，样本空间Q={HH,HT,TH,TT,A表示至少有一次正面向上，即：A=HH,HT,TH，B表示两次出现相同的一面即：B=(HH,TT}，则：P(B|A)=1/3,注意到:P(B|A)=1/3 =P(AB) /P(A)定义：设A,B是两个事件，且 P(A)>0,则事件A发生的条件下事件B发生的条件概率为：P(AB)/P(A)即 : P(B|A)=P(AB)/P(A)
一 .条件概率与乘法公式 描述性定义：在事件A发生的条件（假设）下， 事件B发生的概率。记作：P(B|A) 1.4 条件概率 ( ) ( ) ( ) ( ) {HH,HT,TH,TT},A A {HH,HT,TH} B B {HH,TT} P B | A 1/ 3 , P B | A 1/ 3 P AB / P A = = = = = = 例如：上抛两枚硬币，样本空间 表示至少有 一次正面向上，即： ， 表示两次出现相同的一面， 即： ，则： 注意到： 定义 ： 设A,B是两个事件，且 P(A)>0,则事件A发 生的条件下事件B发生的条件概率为: P(AB)/P(A) 即：P(B|A)=P(AB)/P(A)
条件概率的性质：(1)有界性: 0≤P(BA)≤1P(A2)(2)规范性: P(2A)=1(: P(2A)1P(A)(3)可加性：设B,B,，是两两不相容的事件则UB,A=ZP(B,|A)iZP(AB,)P(AUB,)P(UAB)i=li=证明：P()B,IA)=P(A)P(A)P(A)i=1P(AB,)ZP(B, / A)P(A)i=li=1
条件概率的性质： (1)有界性: 0 P(B A) 1 ( ) (2) : ( ) 1( P( ) 1) ( ) P AΩ P Ω A Ω A P A 规范性 = = = (3)可加性:设 B1 , B2 , 是两两不相容的事件,则 1 1 ( ) i i i i P B A P B A = = = 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i P A B P AB P AB B A P A P A P A P AB P B A P A = = = = = = = = = = ( ) ( ) ( ) | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) i=1 证明：P(
例1：设在一只盒子中混有新旧两种乒乓球，新乒乓球中，黄色30只，白色40只；旧乒乓球中，黄色10只，自色20只，现任取一只发现是新的，问这只乒乓球是白色的概率解：设A表示取到新乒乓球，B表示取到的是白色乒乓球法—：P(B|A)=40/70=4/7黄白0.44P(AB)法二：P(B|A)=新403017P(A)0.7旧1020
例1：设在一只盒子中混有新旧两种乒乓球，新乒 乓球中，黄色30只，白色40只；旧乒乓球中，黄 色10只，白色20只，现任取一只发现是新的，问 这只乒乓球是白色的概率. 解：设A表示取到新乒乓球，B表示取到的是 白色乒乓球. 法一：P(B|A)=40/70=4/7 法二：P(B|A)= 0 4 4 0 7 7 P AB P A = = ( ) . ( ) . 黄 白 新 旧 30 40 10 20
注：1、两个事件的乘法公式：P(A)>0时P(AB)-P(A)P(B|A)2、三个事件的乘法公式：P(AB)>0时P(ABC)-P(A)P(B|A)P(C|AB)3、类似四个，五个事件乘法的公式说明：一般地，先发生的事件作为条件例2：（传染病模型）设袋中装有r只红球，t只白球每次从袋中任取一球观察其颜色后再放回，并再放入a只与所取球同色的球，若在袋中连续取四次，求第一、二次取到红球，三、四次取到白球的概率
例2： （传染病模型）设袋中装有r只红球，t只白球， 每次从袋中任取一球观察其颜色后再放回 ，并再放 入a只与所取球同色的球，若在袋中连续取四次， 求第一、二次取到红球，三、四次取到白球的概率. 注：1、两个事件的乘法公式： P(A)>0时， P(AB)=P(A)P(B|A) 2、三个事件的乘法公式：P(AB)>0时 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 3、类似四个，五个事件乘法的公式. 说明：一般地，先发生的事件作为条件
解：设A表示第次取到红球（i=1,2,3）P(A A, A, A) = P(A)P(A IA)P(A I A,A)P(A / A,A, A,)tt+ar+ar+t r+t+a r+t+2a r+t+3a例3.设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落地打破的概率为1/2，若第一次落地未破，第二次落地打破的概率为7/10，若第二次落地仍未破，第三次打破的概率为9/10，求落下三次而未打破的概率解：设A表示第次落地打破（i=1,2,3）P(A A, A) = P(A)(A, IA)P(A, /A A)= 0.01510
解：设 Ai 表示第i次取到红球（i=1,2,3) P A A A A P A P A A P A A A P A A A A r r a t t a r t r t a r t a r t a 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3 ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) 2 3 = + + = + + + + + + + 例3.设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落地打破 的概率为1/2，若第一次落地未破，第二次落地打破 的概率为7/10，若第二次落地仍未破，第三次打破 的概率为9/10，求落下三次而未打破的概率. 解：设 Ai 表示第i次落地打破（i=1,2,3) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 ( ) ( )( | ) ( | ) 1 7 9 (1 )(1 ) 0.015 2 10 10 P A A A P A A A P A A A = = − − =