第5章随机变量的数字特征5.1数学期望内容：1.数学期望的定义及性质2.计算各随机变量及变量函数的数学期望要求：1.掌握数学期望的计算公式和性质2.知道常用随机变量的期望3.会计算随机变量及变量函数的数学期望一。引例例5.1.1在检查一批灯泡的质量时，从中抽取了10个灯泡，测得各灯泡的寿命（单位：小时）分别为700，750，750，800，800，800，850，850，900，900试求这些灯泡的平均寿命.解显然，这些灯泡的平均寿命为1×(700×1+750×2+800×3+850×2+900×2）10322212+900×二=810=700x+750x=+800×+850×1010101010从例5.1.1可以看出，虽然所取灯泡的寿命分别为700，750，800，850，900这5个数字，但这些灯泡的平均寿命并不是这5个数字的简单平均，而是把它们分别乘以123221010101010这5个比值（权重）的加权平均：而这5个比值的意义正是这些灯泡分别取得700，750，800，850，900这5个数字的频率．当实验抽取灯泡数较多时，这些频率就趋于相应的概率，因此，对于一般的随机变量，我们自然引入下面的定义二。随机变量的数学期望定义5.1.1对于离散型随机变量X，设其分布律为P(X =x)= pk, k=1,2,3...如果级数之ZxP绝对收敛，则称该级数的和为X的数学期望，记为E(X)，简=l写成EX，即ZxPkEX=(5. 1)k=l注：①上式定义中要求级数绝对收敛，是为了级数的和与各项的排列次序无关，因为分布列中诸x.的排列次序对随机变量X不是本质的。作为统计特征之一的E(X）的值不应受x.的排列次序的影响
第 5 章 随机变量的数字特征 5.1 数学期望 内容：1.数学期望的定义及性质 2.计算各随机变量及变量函数的数学期望 要求：1.掌握数学期望的计算公式和性质 2.知道常用随机变量的期望 3.会计算随机变量及变量函数的数学期望 一．引例 例 5.1.1 在检查一批灯泡的质量时，从中抽取了 10 个灯泡，测得各灯泡的 寿命（单位：小时）分别为 700，750，750，800，800，800，850，850，900，900 试求这些灯泡的平均寿命． 解 显然，这些灯泡的平均寿命为 1 (700 1 750 2 800 3 850 2 900 2) 10 ´ ´ + ´ + ´ + ´ + ´ 1 2322 700 750 800 850 900 810 10 10 10 10 10 = ´ + ´ + ´ + ´ + ´ = 从例 5.1.1 可以看出，虽然所取灯泡的寿命分别为 700，750，800，850，900 这 5 个数字，但这些灯泡的平均寿命并不是这 5 个数字的简单平均，而是把它们 分别乘以 1 2322 , , 10 10 10 10 10 ， ， 这 5 个比值（权重）的加权平均．而这 5 个比值的意义正是这些灯泡分别取得 700，750，800，850，900 这 5 个数字的频率．当实验抽取灯泡数较多时，这些 频率就趋于相应的概率．因此，对于一般的随机变量，我们自然引入下面的定义． 二．随机变量的数学期望 定义 5.1.1 对于离散型随机变量 X ,设其分布律为 P{X = = x p k k } ，k = 1, 2,3L 如果级数 1 k k k x p ¥ = å 绝对收敛，则称该级数的和为 X 的数学期望，记为 E X( ) ，简 写成 EX ，即 1 k k k EX x p ¥ = = å （5．1） 注：①上式定义中要求级数绝对收敛，是为了级数的和与各项的排列次序无 关，因为分布列中诸 i x 的排列次序对随机变量 X 不是本质的。作为统计特征之 一的 E(X )的值不应受 i x 的排列次序的影响．
②若X只取有限个值，则E(X)=Jxpk=l对于连续型随机变量X，其分布密度为f(x)，如果积分「xf(x)绝对收敛，则称该积分的值为X的数学期望，记为EX），简写成EX，即EX = [xf(x)(5. 2)数学期望简称期望，又称均值，它反映了随机变量的平均取值例5.1.2甲，乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y.设它们的分布律分别为[..........22Y..............3.试评定甲，乙两人成绩的好坏，解计算甲，乙两人的数学期望，由（5.1)得EX=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2EY=0×0.4+1x0.2+2×0.4=1.0这意味着如果甲，乙两人进行多次射击，那么甲所得分数的平均值就接近于1.2分而乙则接近于1.0分。可见乙的成绩不如甲，例5.1.3求泊松分布X~P(2)的数学期望EX解泊松分布的分布律为24e-^, k=1,2,3...P(X = k)= p(a) =k!由（5.1）得e-EX-Zh.2ne-e=1k!台(k-1)!这表明泊松分布的参数入实际上就是它的数学期望或均值，例5.1.4求正态分布X~N(u,G2)的数学期望EX解正态分布N(u,α)的分布密度为-(t-m)21e2g2f(x) =0<x<0/2元将上式代入（5.2）并作变量替换二=1，则得a
②若 X 只取有限个值，则 ( ) å= = n k k pk E X x 1 对于连续型随机变量 X , 其分布密度为 f(x),如果积分 xf x( ) +¥ ò-¥ 绝对收敛, 则称该积分的值为 X 的数学期望, 记为 E X( ) ，简写成 EX ,即 EX xf x( ) +¥ -¥ = ò （5．2） 数学期望简称期望,又称均值,它反映了随机变量的平均取值． 例 5.1.2 甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为 X,Y．设它们的分布律分别 为 0.1.2 ~ 0.1.0.6.0.3 X é ù ê ú ë û 0.1.2 ~ 0.4.0.2.0.4 Y é ù ê ú ë û 试评定甲,乙两人成绩的好坏． 解 计算甲,乙两人的数学期望, 由(5.1)得 EX = 0´ 0.1 1 + ´ 0.6 + 2´ = 0.3 1.2 EY = 0 ´ 0.4 +1´ 0.2 + 2 ´ = 0.4 1.0 这意味着如果甲, 乙两人进行多次射击, 那么甲所得分数的平均值就接近于 1.2 分, 而乙则接近于 1.0 分．可见乙的成绩不如甲． 例 5.1.3 求泊松分布 X P ~ ( ) l 的数学期望 EX 解 泊松分布的分布律为 { } ( ) ! k P X k k p e k l l l - = = = , k = 1, 2,3L 由（5．1）得 1 0 1 ! ( 1)! k k k k EX k e e e e k k l l l l l l l l l ¥ ¥ - - - - = = = × = = × = - å å 这表明泊松分布的参数l 实际上就是它的数学期望或均值． 例 5.1.4 求正态分布 2 X N ~ (m s, )的数学期望 EX 解 正态分布 2 N(m s, )的分布密度为 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x f x e m s ps - - = , -¥ < x < +¥ 将上式代入（5．2）并作变量替换 x t m s - = ,则得
u730EXI+t)e2dtDV2元1222?0e2dt+Jtedt=μ+0=μV2元√2元这表明正态分布N(u,α)的参数μ实际上就是它的数学期望三。随机变量函数的数学期望1．单个随机变量函数的数学期望：·问题：已知X的概率分布，求X的函数Y=g(X)的期望●求解方法：1)先求Y的概率分布，再由期望的定义求E(y)，特点是比较直观，容易理解，但比较麻烦，且只能求特殊的函数Y=g(X)的概率分布2）用下面的定理5.1.1的结果求E(Y)，避免求Y的分布定理5.1.1设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，那么(1)若X的分布律为P(X=x)=Pk，k=1,2,3.,则函数Y=g(X)的数学期望（当下式中级数绝对收敛时）为E(Y)= E(g(X)=Zg(x ) pr(5.3)ks(2)若X的分布密度为f(x),则函数Y=g(X)的数学期望（当下式中积分绝对收敛时)为(5. 4)E(Y)= E(g(X)= /g(x)(x)dx定理5.1.1还可以推广到多维随机变量函数的情况2.二维随机向量函数的数学期望：·问题：已知(X,Y)的概率分布，求Z=g(X,Y)的数学期望●求解方法：1）先求Z=g(X,Y)的概率分布，再由定义求Z=g(X,Y)的数学期望，特点同上2）用下面的定理5.1.2的结果求E（Z），不必求Z的分布
2 2 2 2 ( ) 2 2 1 1 ( ) 2 2 x t EX e dx t e dt m s m s ps p - +¥ - +¥ - -¥ -¥ = = + ò ò 2 2 2 2 2 1 0 2 2 t t e dt te dt s m m m p p +¥ - - +¥ -¥ -¥ = × + = + = ò ò 这表明正态分布 2 N(m s, )的参数m 实际上就是它的数学期望． 三．随机变量函数的数学期望 1. 单个随机变量函数的数学期望： l 问题：已知 X 的概率分布，求 X 的函数Y = g(X )的期望． l 求解方法： 1)先求Y 的概率分布，再由期望的定义求 E(Y )，特点是比较直观，容易理解， 但比较麻烦，且只能求特殊的函数Y = g(X )的概率分布． 2) 用下面的定理 5.1.1 的结果求 E(Y )，避免求Y 的分布． 定理 5.1.1 设Y = g(X )是随机变量 X 的连续函数,那么 (1)若 X 的分布律为 P{X = = x p k k } ，k = 1, 2,3L,则函数Y = g(X )的数学期 望(当下式中级数绝对收敛时)为 ( ) ( ( )) ( ) 1 k k k E Y E g X g x p ¥ = = = å （5．3） (2)若 X 的分布密度为 f(x),则函数Y = g(X )的数学期望(当下式中积分绝对 收敛时) 为 E( ) Y E (g ( X )) g ( ) x f ( ) x dx +¥ -¥ = = ò （5．4） 定理 5.1.1 还可以推广到多维随机变量函数的情况． 2. 二维随机向量函数的数学期望： l 问题：已知(X ,Y )的概率分布，求Z = g(X ,Y )的数学期望． l 求解方法： 1) 先求Z = g(X,Y )的概率分布，再由定义求Z = g(X ,Y )的数学期望，特点同 上． 2) 用下面的定理 5.1.2 的结果求 E(Z )，不必求Z 的分布．
定理5.1.2设Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的连续函数，那么(1)若(X,Y)的分布律为P(X=x,Y=y)=P，i,j=1,2,3.，则函数Z=g(X,Y)的数学期望（当下式中级数绝对收敛时)为E(Z)=E(g(X,Y)=ZZg(x,y,)P)(5. 5)(2)若(X,Y)的分布密度为f(x,y),数Z=g(X,Y)的数学期望(当下式中积分绝对收敛时)为(5.6)E(Z)= E(g(X,Y))= [ ft g(x, y)f (x,y)dxdy例5.1.5设二维随机变量(X,Y)的分布密度为[x+y..0<x<1,0<y<1f(x,y) =其他0试求XY的数学期望解由（5.6）得E(xm)= J xyf(x, )dxdy= f'dxfxy(x+ y)dx =例5.1.6按季节出售的某种商品，每售出1千克获利润u，如到季末尚有剩余商品，则每千克净亏损.设某商店在季度内这种商品的销售量X（以千克计）在区间（a,b）上服从均匀分布，为使商店所获得利润的数学期望最大，问商店应进多少货？解以z表示进货数（单位：千克），易知应取=所得利润记为Y，则uz-(u+v)=-X).........a<X≤zY = g.(X):.z<X<b是随机变量．由题意，X的分布密度为1.a<x<bf(x)={b-a10..其他于是由（5.．4）式，有EY = E[g.(X)]=t g:(x)f(x)dx["uz -(u+D)(=-x) dx +[budb-ar'dx- (u+v)ruz-x)dxb-
定理 5.1.2 设Z = g ( X Y, )是随机变量(X,Y)的连续函数,那么 (1) 若 (X,Y) 的 分 布 律 为 P{X i , j} ij = x Y = = y p ， i j , = 1, 2,3L , 则 函 数 Z = g ( X Y, )的数学期望(当下式中级数绝对收敛时)为 ( ) ( ( )) ( ) 1 1 , ,i j ij i j E Z E g X Y g x y p ¥ ¥ = = = = åå （5．5） (2)若(X,Y)的分布密度为 f(x,y),数Z = g ( X Y, )的数学期望(当下式中积分 绝对收敛时)为 E(Z ) E (g ( X,Y )) g ( x, , y) f ( x y) dxdy +¥ +¥ -¥ -¥ = = ò ò （5．6） 例 5.1.5 设二维随机变量(X ,Y )的分布密度为 .0 1,0 1 ( , ) 0. x y x y f x y ì + < < < < = í î 其他 试求 XY 的数学期望 解 由（5．6）得 ( ) ( ) 1 1 0 0 1 , ( ) 3 E XY xyf x y dxdy dx xy x y dx +¥ +¥ -¥ -¥ = = + = ò ò ò ò 例 5.1.6 按季节出售的某种商品，每售出 1 千克获利润u ，如到季末尚有剩 余商品，则每千克净亏损u ．设某商店在季度内这种商品的销售量 X（以千克计） 在区间（a b, ）上服从均匀分布，为使商店所获得利润的数学期望最大，问商店 应进多少货？ 解 以 z 表示进货数（单位：千克），易知应取 z 所得利润记为Y ，则 ( )( ). ( ) . z uz u z X a X z Y g X uz z X b ì - +u - < £ = = í î < < 是随机变量．由题意， X 的分布密度为 1 . ( ) 0. a x b f x b a ì ï < < = í - ï î 其他 于是由（5．4）式，有 [ ( )] ( ) ( ) EY E gz z X g x f x dx +¥ -¥ = = ò z b ( )( ) a z uz u z x uz dx dx b a b a - + - u = + - - ò ò ( ) ( ) b z z a uz u dx z x dx b a b a +u = - - - - ò ò
u+v(z-a)?=uzb-a2为了求得EY的最值点，将EY对z求导数，得d(EY)u+u=u-(z-a)dzb-a令该导数为零，可得唯一的最值可疑点u(b-a)z=a+u+u而由问题本身知EY的最大值一定存在，故当进货数1(b-a)（千克）z=a+u+u时获得利润的数学期望最大，四．期望的性质和应用：设XY是两个随机变量，●性质1：设C是常数，则E(C)=C.●性质2. E(cX)=cE(X).·性质3. E(X +Y)=E(X)+E(y) .性质4.设k,k,为任意常数，则E(kX+kY)=kE(X)+k,E()●性质5.X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(y).=2c,E(X.)●推广1.(5.7)ZcXH(ialE(X)(5.8)推广2.若X.,X,,X相互独立，则E(XX,.X)=例5.1.7设一电路中电流1（单位：安）与电阻R（单位：欧）是两个相互独立的随机变量，其概率分布密度分别为[2i.0<i<1g(i) =.其他0与[r2.0<r<3h(r)=0..其他试求电压V=IR的均值解由于电流I与电阻R相互独立，所以
2 ( ) 2 u z a uz b a + - u = - - 为了求得 EY 的最值点，将 EY 对 z 求导数，得 ( ) ( ) d EY u u z a dz b a +u = - - - 令该导数为零，可得唯一的最值可疑点 ( ) u z a b a u u = + - + 而由问题本身知 EY 的最大值一定存在，故当进货数 ( ) u z a b a u u = + - + （千克） 时获得利润的数学期望最大． 四．期望的性质和应用： 设 X, Y 是两个随机变量, l 性质１．设 C 是常数, 则 E( ) C C= ． l 性质 2． E(cX ) = cE X( ) ． l 性质 3． E(X + Y ) = E(X )+ E(Y ) ． l 性质 4．设 1 2 k k, 为任意常数, 则 E(k1X + k2Y ) = + k1 2 E ( X ) k E Y( ) l 性质 5．X 与Y 独立，则 E(XY ) = E(X )E(Y )． l 推广 1． ( ) 1 1 n n i i i i i i E c X c E X = = æ ö = ç ÷ è ø å å （5．7） 推广 2．若 X X Xn , , , 1 2 L 相互独立，则 ( ) Õ ( ) = = n i E X X X n E Xi 1 1 2 L （5．8） 例 5.1.7 设一电路中电流I （单位：安）与电阻 R （单位：欧）是两个相互 独立的随机变量，其概率分布密度分别为 2 .0 1 ( ) 0. i i g i ì < < = í î 其他 与 2 .0 3 ( ) 9 0. r r h r ì ï < < = í ï î 其他 试求电压V = IR 的均值． 解 由于电流I 与电阻 R 相互独立，所以