内蒙古科技大学参考答案及评分标准课程名称：《概率论与数理统计》考试班级：工科各专业考试时间：2008年1月14日15时00分至17时00分标准制订人：张英琴每空2分，共20分）、填空题（共7题，114.1. AB2.3.0.1;0.2np2元(1+ x)24,=16.5. C2(0.7)*(0.3)67.x;2lel二、单项选择题（共6题，每题3分，共18分）1.C 2.C 3.B4.B5. C6. D三、（10分）解：令A表示零件为合格品，B表示零件由甲车间生产.则由题意知P(B)=2 ,P(B)=↓ ,P(4|B)=1-0.03 = 0.97 ,P(4|B)=1-0.02 =0.983由全概率公式知：P(A)= P(AB) + P(AB) = P(B)P(AB) + P(B)P(AB)2×0.97+x0.98~0.973..·10分33四、（10分）解：（1)（法一） EX=J[ xf(x,y)dxdy = [ x=dxdy*+2-1
内蒙古科技大学参考答案及评分标准 课程名称： 《概率论与数理统计》 考试班级：工科各专业 考试时间：2008 年 1 月 14 日 15 时 00 分至 17 时 00 分 标准制订人：张英琴 一、填空题（共 7 题，每空 2 分，共 20 分） 1. AB 2. 0.1；0.2 3. np 4. 1 2 ； 2 1 p (1 ) + x 5. 2 2 6 8 C (0.7) (0.3) 6. 1 1 n i i a = å = 7. 2 c ；2 二、单项选择题（共 6 题，每题 3 分，共 18 分） 1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 三、（10 分） 解：令 A 表示零件为合格品，B 表示零件由甲车间生产.则由题 意知 2 1 ( ) , ( ) , ( ) 1 0.03 0.97 , ( ) 1 0.02 0.98 3 3 P B = P B = P A B = - = P A B = - = 由全概率公式知： P(A) = P(AB) + P(AB) = P(B)P(A B) + P(B)P(A B) 2 1 0.97 0.98 0.973 3 3 = ´ + ´ » .10 分 四、（10 分） 解：（1）（法一） EX xf (x, ) y dxdy +¥ +¥ -¥ -¥ = ò ò 2 2 1 1 x y x dxdy p + < = òò
rcosodo=0...3分rdr(法二） Jx(x)=[ f(x,)dy[国<1[2 J-x,[x/<1其它其它0,0,EX =xx(x)dx=x2/1-xdx= ..3分下求DX：(法一) : Ex=(x,)dady= J ddy-元2+2<1J'rar Ir cos'e do -!4.. DX = EX? -(EX) - ·3分4(法二) ： EX=x fr(x)dx=x2/1-dx=4T-. DX = EX?-(EX)"-!...3分4(2)由(1)知EX=EY=0, DX=DY=I4又: EXY = Jt [t xyf(x, y)dxdy = JdxdX7x2+y2<12cososinede=0.:Cov(X,Y)=EXY-EXEY=OCOv(X,Y)4分.. PxyDXDY五、（10分）解：令5000个零件的总重量为X千克，则由题意知
1 2 0 0 1 rdr r d cos 0 p q q p = = ò ò .3 分 （法二） ( ) ( , ) X f x f x y dy +¥ -¥ = ò 2 2 1 1 1 , 1 0, x x dy x p - - - ì ï < = í ï î ò 其它 2 2 1 , 1 0, x x p ì ï - < = í ï î 其它 ( ) EX X xf x dx +¥ -¥ = ò 1 2 1 2 x 1 0 x dx - p = - = ò .3 分 下求 DX ： （法一）Q 2 2 EX x f (x, ) y dxdy +¥ +¥ -¥ -¥ = ò ò 2 2 2 1 1 x y x dxdy p + < = òò 1 2 2 2 0 0 1 1 cos 4 rdr r d p q q p = = ò ò \ 2 2 1 ( ) 4 DX = EX - = EX .3 分 （法二）Q 2 2 ( ) EX X x f x dx +¥ -¥ = ò 1 2 2 1 2 1 1 4 x x dx - p = - = ò \ 2 2 1 ( ) 4 DX = EX - = EX .3 分 （2）由（1）知 1 0, 4 EX = EY = DX = = DY 又Q EXY xyf (x, ) y dxdy +¥ +¥ -¥ -¥ = ò ò 2 2 1 1 x y xy dxdy p + < = òò 1 2 2 0 0 1 rdr r d cos sin 0 p q q q p = = ò ò \ Cov(X,Y) 0 = EXY - = EXEY \ 0 ( , ) 0 XY C v X Y DX DY r = = .4 分 五、（10 分） 解：令 5000 个零件的总重量为 X 千克，则由题意知
EX=5000×0.5=2500千克：DX=5000×0.01=50千克X-2500近似服从N(0,1)由林德伯格-列维定理知V50则所求PX>2510)=1-PX≤2510[X-25102510-2510=1-PV50V5010)=1-0(/2)=1-Φ(-....10分V50六、（8分）解：（法一)P(X≤lny),y>0: Fy())= P(Y≤y)=Py≤O0x1Im.1，J>02dx,/2元0,J≤OIn'y1J>0F,()=e.. f,(y)=8分12元y福dy[0,J≤O（法二）：y=e在（-,+)上单调增加且可微，其反函数为x=lny(y>0)，则由定理知1ny112J>0y>08分fr()=2元y12元y0,0,y≤O≤O七、（12分）
EX = 5000´ = 0.5 2500千克 ； DX = 5000´ = 0.01 50 千克 由林德伯格-列维定理知 2500 50 X - 近似服从 N(0,1) 则所求 P{X > 2510} =1- £ P X{ 2510} 2510 2510 2510 1 50 50 X P ì ü - - = - £ í ý î þ 10 1 ( ) 1 ( 2) 50 = -F = - F .10 分 六、（8 分） 解：（法一） Q { } { } { ln }, 0 ( ) 0, 0 X Y P X y y F y P Y y P e y y ì £ > = £ = £ = í î £ 2 ln 2 1 , 0 2 0, 0 x y e dx y y p - -¥ ì ï > = í ï î £ ò \ 2 ln 2 1 , 0 ( ) ( ) 2 0, 0 y Y Y d e y f y F y y dy y p ì - ï > = = í ï î £ .8 分 （法二）Q x y e = 在(-¥, + ¥)上单调增加且可微，其反函数为 x = > ln y y( 0)，则由定理知 2 2 ln ln 2 2 1 1 1 , 0 , 0 ( ) 2 2 0, 0 0, 0 y y Y e y e y f y y y y y p p ì ì - - ï ï > > = = í í ï ï î î £ £ .8 分 七、（12 分）
解: (1) : f(x, y)dxdy=JJ Ae+2ndxdy =2..A=23分(2) fr(o)=J f(x, y)dx2e-(x+2n)dx, y>0[2e-2y,y>0·3分0,y≤O0y≤o(3) P(0<X≤1,0<Y≤1)= (「/ f(x,y)dxdy0KS1['dx[’2e-(x+2) dy= (1-e-")(1-e-)·3分(4) Jxp(xl)=[(x,)Jr(y)[2e-(r+2)x>0x>0e-r2e-2y·3分[0,x≤o[0,X≤O八、（12分）解：似然函数为L(O)=ox-- =0"(xx,.x,)o-1i=lInL(0)= nlng +(0-1)In(xx2 ..x,)令lnL(0)=+n(x*x,)=0de0n得参数θ的极大似然估计值=In(xx..x,)n从而参数的极大似然估计量为=...12分.In(X,X,...X.)
解：（1）Q ( 2 ) 0 0 ( , ) 1 2 x y A f x y dxdy Ae dxdy +¥ +¥ +¥ +¥ - + -¥ -¥ = = = ò ò ò ò \ A = 2 .3 分 （2） ( ) ( , ) Y f y f x y dx +¥ -¥ = ò ( 2 ) 2 0 2 , 0 2 , 0 0, 0 0, 0 x y y e dx y e y y y +¥ ì - + - ï > ì > = = í íî £ ïî £ ò .3 分 （3） { } 0 1 0 1 0 1, 0 1 ( , ) x y P X Y f x y dxdy < £ < £ < £ < £ = òò 1 1 ( 2 ) 1 2 0 0 2 (1 )(1 ) x y dx e dyee - + - - = = - - ò ò .3 分 （4） ( , ) ( ) ( ) X Y Y f x y f x y f y = ( 2 ) 2 2 , 0 , 0 2 0, 0 0, 0 x y x y e x e x e x x - + - - ì ï > ì > = = í íî £ ï î £ .3 分 八、（12 分） 解：似然函数为 1 1 1 2 1 ( ) ( ) n n i n i L x x x x q q q q q - - = = = Õ L 1 2 ln ( ) ln ( 1)ln( ) L n q = n q q + - x x x L 令 1 2 ln ( ) ln( ) 0 n d n L x x x d q q q = + = L 得参数q 的极大似然估计值 1 2 ˆ ln( ) n n x x x q = - L 从而参数q 的极大似然估计量为 1 2 ˆ ln( ) n n X X X q = - L .12 分.