《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 随机变量及其数值模拟 4.1 一维随机变量函数的分布

第四章随机变量的函数4.1 一维随机变量函数的分布4.2. 二维随机变量函数的分布

4.1 一维随机变量函数的分布 4.2 二维随机变量函数的分布 第四章 随机变量的函数

4.1 一维随机变量函数的分布一般地，若X是分布已知的随机变量，g(x)为一元连续函数，那么由Y=g(X定义的Y也是一个随机变量．按定义，Y=g(X)的分布函数应为F(y)=PY≤y)=Pig(X≤y)下面我们就依据此式，讨论如何由已知的随机变量X的分布去求它的函数Y一g(X)的分布

一般地，若X是分布已知的随机变量, g(x)为 一元连续函数, 那么由Y＝g(X)定义的Y也是一个 随机变量．按定义，Y＝g(X )的分布函数应为 下面我们就依据此式, 讨论如何由已知的随 机变量X的分布去求它的函数Y＝g(X )的分布． 4.1 一维随机变量函数的分布 F ( y) P{Y y} P{g(X) y} Y =  = 

例1设随机变量X具有以下分布律0-11X0.20.30.10.4求随机变量Y=(X-1)"的分布律解Y所有可能取的值为0，1，4.由P(Y=0} = PI(X-1)? =0} = P(X =1) =0.1,P(Y = 1} = P(X = 0}+ P(X = 2) = 0.7P(Y = 4) = P(X = -1} = 0.2,04X即得的分布律为0.10.70.2

例1 设随机变量 具有以下分布律： 求随机变量 的分布律. 解 所有可能取的值为0，1，4.由 ， ， ， 即得的分布律为 X 1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 X   −     2 Y X = − ( 1) Y 2 P Y P X P X { 0} {( 1) 0} { 1} 0.1 = = − = = = = P Y P X P X { 1} { 0} { 2} 0.7 = = = + = = P Y P X { 4} { 1} 0.2 = = = − = 0 1 4 0.1 0.7 0.2 X      

例2设随机变量X的分布律为P(X = k}k =1,2, ...的分布律求随机变量函数Ysin=22:W1ZP(X =4k-1):解 P[Y = -1} ==24k-115k=1k=1811ZP(Y = 0) = ZP(X = 2k) =22h3k=1k=1:W8081ZP(X = 4k -3] :P(Y =1} =124k-315k=1k=101所以Y=si28131515

求随机变量函数 的分布律． 例2       Y = X 2 sin  设随机变量X的分布律为 , 1, 2, 2 1 P{X = k} = k = k 15 2 2 1 { 1} { 4 1} 1 4 1 1 = − =  = − =  =  = −  = k k k P Y P X k 3 1 2 1 { 0} { 2 } 1 2 1 = =  = =  =  =  = k k k P Y P X k 15 8 2 1 { 1} { 4 3} 1 4 3 1 = =  = − =  =  = −  = k k k P Y P X k        −       = 1 0 1 ~ 2 Y sin X  15 2 3 1 15 8 解 所以

例3 设X服从N(0,1),求Y-X2的分布密度解由Y=X≥0知,当y<0时f(y)=0当y>0时, F(y)=P[Y≤ y)= P(-/y≤X≤/y)2/dx2元所以当y>0时,fy(y)=F(y)2元y0,J≤0y=0时可任即 fy(y)=意规定其值2元1本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法

       = − e , 0 2π 1 0, 0 ( ) 2 y y y f y y Y 例3 设 X 服从N(0, 1), 求Y=X 2的分布密度. 解 所以 由Y = X 2  0知， 即 当y  0时 f Y ( y) = 0 y 0 , F ( y) P{Y y} 当  时 Y =  = P{− y  X  y} − − = y y x e d x 2π 1 2 2  − = y x x 0 2 e d 2π 2 2 2 e 2π 1 0 , ( ) ( ) y Y Y y y f y F y − 当  时 =  = y =0时可任 意规定其值 本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法 ① ②