第二章矩阵与向量 与必1，cm关系有下列三种情形： 10a可由a%,0m的线性表示且表示式唯一； 20a可由，2，心m的线性表示，但表示式不唯一； 30a不能由a,2,0m的线性表示。 对于n元线性方程组 4X1+a12x2+.+a1mxn=b1 021X1+0222+.+02nXn=b2 (8) ●●●●●●● amix+am2x2+.+amnxn=bm
第二章 矩阵与向量 与1 ,2 ,., m关系有下列三种情形： 1 0 可由1 ,2 ,.,m的线性表示且表示式唯一； 2 0 可由1 ,2 ,.,m的线性表示, 但表示式不唯一； 3 0 不能由1 ,2 ,.,m的线性表示. 对于n元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 . . (8) . . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
第二章矩阵与向量 若以o,表示第个未知量的系数构成的m维列 向量，B表示常数项构成的向量，即 02j b2 aj= j=1,2,.,n B= 那么，方程组（⑧）可以表示为 x a+x2a2+.+x a=B (8)
第二章 矩阵与向量 若以j 表示第 j个未知量的系数构成的m维列 向量，β表示常数项构成的向量，即 1 2 1, 2, , j j j m j a a j n a 那么，方程组(8)可以表示为 1 1 2 2 n n x x x 1 2 m b b b (8)
第之章矩阵与向量 于是，方程组（⑧）是否有解的问题就转化为向量B是否 可由向量租a1,2,线性表示问题。 当B能由向量a1,2,am线性表示时，方程组(8)有解； 当B能由向量a%1,2,Cnm线性表示且表达式唯一时， 方程组（⑧）的解唯一； 当B能由向量C%1,0m线性表示，但表达式不唯 一时，方程组(8)的解不唯一； 当β不能由向量%1,2，am线性表示时，方程组(8)无解
第二章 矩阵与向量 于是, 方程组(8)是否有解的问题就转化为向量 是否 可由向量租1 ,2 ,., m线性表示问题. 当 不能由向量1 ,2 ,., m线性表示时, 方程组(8)无解. 当 能由向量1 ,2 ,., m线性表示时,方程组(8)有解； 当 能由向量1 ,2 ,., m线性表示且表达式唯一时, 方程组(8)的解唯一； 当 能由向量1 ,2 ,., m线性表示，但表达式不唯 一时,方程组(8)的解不唯一；
第二章矩阵与向量 二、向量组的线性相关性 定义2设n维向量组 0%1)03,y0m’ 如果存在个不全为0的数k1,k2,.,km使得 k1&1+k2C2+.+kmOm=0 则称向量组1，0m线性相关，否则称它们是线性无关. 注：%，2，Cm线性无关，就是 k1a1+k22+.+km0m=0←> k1=k2=.=km=0
第二章 矩阵与向量 定义2 设n维向量组 1 , 2 ,., m ， 如果存在m个不全为 0 的数k1 , k2 , . , km, 使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 注：1 ,2 ,.,m线性无关, 就是 k11 + k22 + .+ kmm = 0 k1 = k2 = . = km = 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们是线性无关. 二、向量组的线性相关性
第二章矩阵与向量 根据线性相关无关的定义，可得到下面结论： ()只含有一个向量α的向量组线性相关的充要条件 是a=0; (2)含有两个向量1,2的向量组，它们线性相关的 充要条件为它们的对应分量成比例，反之也成立； (3)含有零向量的向量组必线性相关 (4)如果向量组41,2，anm中有某两个向量4=0（切 或成比例，那么向量组线性相关；
第二章 矩阵与向量 根据线性相关无关的定义，可得到下面结论: (1) 只含有一个向量 的向量组线性相关的充要条件 是 = 0; (2) 含有两个向量1 ,2 的向量组, 它们线性相关的 充要条件为它们的对应分量成比例，反之也成立 ; (3)含有零向量的向量组必线性相关. (4) 如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i =j(i≠j) 或成比例, 那么向量组线性相关 ;