《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

第二章矩阵与向量 §2.4矩阵的秩 矩阵的行（列秩及秩 二、 向量组的极大无关组 >三、k阶子式 四、小结

第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的行(列)秩及秩 二、 向量组的极大无关组

第二章矩阵与向量 一、矩阵的行（列）秩及秩 定义1 设mX矩阵A, A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩， A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩

第二章 矩阵与向量 定义1 设m×n矩阵A， A 的行向量组的秩称为矩阵A的行秩， A 的列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的行(列)秩及秩

第二章矩阵与向量 1 01 例1求矩阵A= 0 的行秩与列秩。 2 1 解A的行向量a1=(1,0,1),a2=(0,1,2),a3=(2,1,4) 101 由于行列式 012=0 所以，向量组 214 1,02,03线性相关.又01,2线性无关，所以C1,02 是A的行向量组的最大无关组，因此，A的行秩为2. 同理可求，A的列秩也为2.由此知A的行秩、列秩相等

第二章 矩阵与向量 1 2 3 解 A的行向量  (1, 0,1),  (0,1, 2),  (2,1, 4) 例1 求矩阵        2 1 4 0 1 2 1 0 1 A 的行秩与列秩. 由于行列式 0 2 1 4 0 1 2 1 0 1  所以, 向量组 1 2 3  , , 线性相关. 又 1 2  , 线性无关, 所以 1 2  , 是A的行向量组的最大无关组, 因此, A的行秩为 2. 同理可求, A的列秩也为 2. 由此知A的行秩、列秩相等

第之章矩阵与向量 1131 例2求矩阵A= 02 -1 4的行秩和列秩 00 05 解 A的行向量，=(1,1,3,1)，&2=(0,2，-1,4)， a3=(0,0,0,5). 去掉第三个分量的a=(1,1,1),2=(0,2,4), a3=(0,0,5). 111 由行列式024=10≠0知，向量组1,02,0线性无关。 005 所以，向量组a,a2,a也线性无关，因此4的行秩为3

第二章 矩阵与向量 1 2 3 (1,1,3,1), (0,2, 1,4), (0,0,0,5). A        的行向量 1 1 3 1 2 0 2 1 4 . 0 0 0 5 A         例 求矩阵 的行秩和列秩 解 1 2 3 (1,1,1), (0,2,4), (0,0,5).          去掉第三个分量的 由行列式 10 0 0 0 5 0 2 4 1 1 1   知，向量组 '3 '2 '1  , , 线性无关. 所以，向量组 1 2 3  , , 也线性无关，因此A的行秩为 3

第二章矩阵与向量 17 3 1 A的列向量组B,= 0 B2= 月4= 0 45 由于4个三维向量必线性相关，而由P1,2,B构成 的行列式 1 2 0 =10≠0 4 5 所以，A的列秩也等于3. 由此知，矩阵A的行秩、列秩相等

第二章 矩阵与向量 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 A                                                  的列向量组 由于4个三维向量必线性相关，而由β1, β2, β4构成 1 0 0 1 2 0 10 0 1 4 5   的行列式 所以, A的列秩也等于3. 由此知，矩阵A 的行秩、列秩相等