《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 2-3 向量组的线性相关性

二章矩阵与向量 2.3 向量组的线性相关性 线性表示（组合) 二、 向量组的线性相关性 三、 线性相关性的判定 四、两向量组之间的关系 五、向量组的最大无关组 六、向量空间的基与向量坐标 七、小结

第二章 矩阵与向量 六、向量空间的基与向量坐标 二、向量组的线性相关性 一、线性表示（组合） §2.3 向量组的线性相关性 五、向量组的最大无关组 三、线性相关性的判定 四、两向量组之间的关系 七、小结

第二章矩阵与向量 一、线性表示（组合） 向量组维数相同的向量组成的集合称为向量组 定义1对于向量a和向量组1，%，0m,若存在m个 数1,2·，m,使得： a=1a%1+2ck+.+2mam 则称a是，2，nm的线性组合，1,2，.，2m称为组 合系数，或称向量a能用向量组a1,a,anm线性表示 显然，零向量是任意一组向量的线性组合

第二章 矩阵与向量 一、线性表示(组合) 定义1 对于向量和向量组1 ,2 ,., m , 若存在m个 数1 ,2 ,. ,m , 使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是 1 ,2 ,.,m 的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称为组 合系数, 或称向量 能用向量组 1 ,2 ,.,m线性表示 . 显然，零向量是任意一组向量的线性组合 . 向量组 维数相同的向量组成的集合称为向量组

第二章矩阵与向量 例1设n维向量G=1,0,0),62=(0,1,0),.,6n=(0,0.,1) 称￡，2，n为n维单位坐标向量组 考虑任意一个n维向量&=(a,a2,an).由于 =a1e1+a2E2+.十anen 所以，x是E1,2,￡n的线性组合，也就是说任意一个 n维向量都可以由6，E2,￡n来线性表示

第二章 矩阵与向量 例1 设 维向量 ， ，.， 为 考虑任意一个 维向量 . 由于 的线性组合，也就是说任意一个 维向量都可以由 来线性表示. 维单位坐标向量组. 所以， 是 称

第之章矩阵与向量 例2证明向量x=(0,4,2)是向量0=(1,2,3)，2=(23,1) a=(3,1,2)的线性组合，并将c用a1,x2,a,线性表示。 解：先假定a=九C1+2Q2+3?即 (0,4,2)=2(1,2,3)+2(2,3,1)+23(3,1,2) =(2,+2九2+323,2元1+3九2+九3,321+九2+223) 因此 元1+2元2+33=0， 221+322+元3=4， 321+22+223=2

第二章 矩阵与向量 1 2 3 (0, 4, 2)   (1, 2, 3)   (2, 3,1)   (3,1, 2) 1 2 3 1 2 3 1 2 3  (  2  3 , 2  3   , 3    2 ) 因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.                        解：先假定   11  22  33，即 例2 证明向量 是向量 ， ， 的线性组合，并将 用 线性表示

第二章矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 23 1 =-18≠0， 3 12 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 九1=1，九2=1，九3=-1 于是，a可表示为a=a1+a2-x3

第二章 矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2    由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3   1,   1,    1 于是， 可表示为    1   2   3