《线性代数》课程习题选解（C）第四章 习题选解

第四章部分习题及答案 1、求下列齐次线性方程组的一个基础解系： x1+x2+2x-x=0 02x+x+x-x=0 2x1+2x2+x1+2x4=0 解：齐次方程组系数矩阵 [112-1-「112-1 0 100 0-1-31 0-1 013 i+r 220.4800 211-1 0 0 3 经过初等行变换知，齐次方程组系数矩阵的秩r=3, 4 基础解系的个数1=n-r=4-3=1,基础解系为5 4 3 [2x+3x3-x3+5x=0 23x++2年-7x=0 4x1+x2-3x+6x4=0 x1-2x2+4x3+7x4=0 解：齐次方程组系数矩阵 「23-151 [1000] 312-7 0100 41-36 0010 1-24-1 0001 齐次方程组系数矩阵的秩r=4,故方程组只有零解。 3x1+4x2-5x3+7x4=0 (3) 2x1-3x2+3x3-2x4=0 4+1l-13x+16x=0 7x1-2x2+x3+3x4=0 解：齐次方程组系数矩阵

1 第四章 部分习题及答案 1、求下列齐次线性方程组的一个基础解系： ⑴                  2 2 2 0 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x ； 解：齐次方程组系数矩阵                                                                           3 4 0 0 1 0 1 0 3 3 4 1 0 0 ~ 3 4 0 0 1 0 1 3 1 1 0 1 0 ~ 0 0 3 4 0 1 3 1 1 1 2 1 ~ 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 3 1 2 3 2 2 1 3 1 3 3 1 1 2 2 r r r r r r r r r r r r 经过初等行变换知，齐次方程组系数矩阵的秩 r  3， 基础解系的个数 l  n  r  4 3 1，基础解系为               3 4 9 4  。 ⑵                        2 4 7 0 4 3 6 0 3 2 7 0 2 3 5 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x ； 解：齐次方程组系数矩阵                              0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~ ~ 1 2 4 1 4 1 3 6 3 1 2 7 2 3 1 5  齐次方程组系数矩阵的秩 r  4 ，故方程组只有零解。 ⑶                        7 2 3 0 4 11 13 16 0 2 3 3 2 0 3 4 5 7 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x ； 解：齐次方程组系数矩阵

[34-57 -3 3 -2 3—79 01 411-1316 7-2 00 13 00 0 0 齐次方程组系数矩阵的秩r=2,基础解系的个数1=n-r=4-2=2 基础解系为 「31 「-13 -20 5= 17 52= 0 0 [x-2x2+x+x4-x3=0 ④02+名-名-x-,=0 +7x3-5x3-5x4+5x=09 3x-x2-2x3+x4-x3=0 解：略 2、求解下列非齐次线性方程组： [4x+2x2-x3=2 (1)3x1-x2+2x3=10: 11x1+3x2=8 解：增广矩阵 「42-121-13-3-8 A=(4:6)=3-12103-1210 1130811308 403-3-81小13-3-8 0-1011340-101134 -0-30396 000-6 R(=2,Rd=3.R)<Ra),方程组无解 2x+3y+z=4 ②r-2y+4=-5 3x+8y-2:=13 4x-y+9z=-6 解：增广矩阵

2                                    0 0 0 0 0 0 0 0 17 20 17 19 0 1 17 13 17 3 1 0 ~ ~ 7 2 1 3 4 11 13 16 2 3 3 2 3 4 5 7  齐次方程组系数矩阵的秩 r  2 ，基础解系的个数 l  n  r  4  2  2， 基础解系为                             17 0 20 13 , 0 17 19 3  1  2 。 ⑷                            3 2 0 7 5 5 5 0 2 0 2 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 。 解：略。 2、求解下列非齐次线性方程组： ⑴              11 3 8 3 2 10 4 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x ； 解：增广矩阵                               11 3 0 8 3 1 2 10 1 3 3 8 ~ 11 3 0 8 3 1 2 10 4 2 1 2 1 2 r r A A b                                  0 0 0 6 0 10 11 34 1 3 3 8 ~ 0 30 33 96 0 10 11 34 1 3 3 8 ~ 2 1 3 2 3 1 3 3 1 1 r r r r r r RA  2, RA  3, RA  RA ，方程组无解。 ⑵                      4 9 6 3 8 2 13 2 4 5 2 3 4 x y z x y z x y z x y z ； 解：增广矩阵

[231 4=(4:B)= 1-24-5 0000 4 =1 0000 R(A)=R=2<3,基础解系所含向量的个数1=n-r=3-2=1。 方程组的通解为 「x]「-21「- y=1+2。k为常数。 1o] [2x+y-+w=1 (3)3x-2y+z-3w=4: x+4y-3z+5w=-2 解：增广矩阵 「21-11 17 「10-1/7-1/76/7 A=4:6)=3-21-34~.~01-5/7917-517 14-35-2 000 0 0 R(4)=R(=2<4,基础解系的个数1=n-r=4-2=2,其基础解系为 「11 6 -9 52= 0 0 7 0 [「 「61 因此方程组的通解为 -9 1 070 k1,k2为常数。 7 2x+y-:+w=1 (4){4x+2y-2z+w=2. 2x+y-w=1 解：增广矩阵 「21-111]「11/2-1/201/2 A=46=42-212.~00010 21-1-1100000 R()=R)=2<4,基础解系所含向量的个数1=n-r=4-2=2,y,:为自 3

3                                    0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 2 1 ~ ~ 4 1 9 6 3 8 2 13 1 2 4 5 2 3 1 4   A Ab RA  RA  2  3 ，基础解系所含向量的个数 l  n  r  3 2 1。 方程组的通解为 k k z y x , 0 2 1 1 1 2                                 为常数。 ⑶                   4 3 5 2 3 2 3 4 2 1 x y z w x y z w x y z w ； 解：增广矩阵                                  0 0 0 0 0 0 1 5/ 7 9 / 7 5/ 7 1 0 1/ 7 1/ 7 6 / 7 ~ ~ 1 4 3 5 2 3 2 1 3 4 2 1 1 1 1   A Ab RA  RA  2  4 ，基础解系的个数 l  n  r  4  2  2 ，其基础解系为 , 0 0 5 6 ， 7 0 9 1 1 2                               因此方程组的通解为 1 2 1 2 , , 0 0 5 6 7 1 7 0 9 1 0 7 5 1 k k k k w z y x                                                      为常数。 ⑷                  2 1 4 2 2 2 2 1 x y z w x y z w x y z w 。 解：增广矩阵                              0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 ~ ~ 2 1 1 1 1 4 2 2 1 2 2 1 1 1 1   A Ab RA  RA  2  4 ，基础解系所含向量的个数 l  n  r  4  2  2，y,z 为自

由变量。 方程组的通解为 x 「-1/21 「1/2] [1/2 y =k 0 0 +k 0 k,k为常数。 1 0 0 0 3、非齐次线性方程组 +x2++x+x5=1 3x1+2x2+x3+x4-3x3=a x2+2x3+2x+6x=3 5x1+4x2+3x3+3x4-x5=b 当α，b取何值时有解？并求出它的全部解。 解：增广矩阵 「1111111「11 1 1 7 a=(46)=3211-3a0-1-2-2-6a- 01226340122 6 3 5433-1b 0-1-2-2-6b-5 [111111 6+n012263 00000a L00000b-2 当a=0,b=2时，R(A)=R=2,方程组有解。 [111111]「10-1-1-5-2 7、:1012263-0122 3 000000 000000 000000 [000000 x,x4,x为自由变量。 「17 「1 5 2 -2 -2 -6 1 +k0 +k 0 0 1 0 0 1 4、证明线性方程组

4 由变量。 方程组的通解为 1 2 1 2 , , 0 0 0 1/ 2 0 1 0 1/ 2 0 0 1 1/ 2 k k k k w z y x                                                    为常数。 3、非齐次线性方程组                           x x x x x b x x x x x x x x x a x x x x x 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 4 3 3 2 2 6 3 3 2 3 1 ； 当 a,b 取何值时有解？并求出它的全部解。 解：增广矩阵                                                           0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 3 1 1 1 1 1 1 ~ 0 1 2 2 6 5 0 1 2 2 6 3 0 1 2 2 6 3 1 1 1 1 1 1 ~ 5 4 3 3 1 0 1 2 2 6 3 3 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 2 2 1 4 1 3 5 b a b a b a A A b r r r r r r r r r r   当 a  0, b  2 时， RA  RA  2 ，方程组有解。                                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 3 1 0 1 1 5 2 ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 3 1 1 1 1 1 1 1 2 r r A A b   ， 3 4 5 x , x , x 为自由变量。                                                                                        0 0 0 3 2 1 0 0 6 5 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 1 2 3 5 4 3 2 1 k k k x x x x x . 4、证明线性方程组

x-x2=a x-x1=4 53-x4=a X-Xs=a -x+x3=a5 有解的充分必要条件为立4，=0。 解：增广矩阵 r1-1000a 「1-1000 01-100a2 01-100 A=（4b=00 1-10a3 55gn001-1 0 0001-1a4 0001- L-10001a5J 00000 要使方程组有解，A)=R同=4，故∑a,=0· x,+X,+x1=1 5、入取何值时，非齐次线性方程组x+x2+x=元， x,+x2+2x3= (1)有惟一解：(2)无解：(3)有无穷多个解？ 11 解：系数矩阵行列式4=111=+2-32=(1+21-1。 11 ()当1≠1，-2时，A≠0，方程组有惟一解： (②)当1=-2时，增广矩阵 「-21111「1-21-2 A=(4)=1-21-2 -2111 11-2411-24 到 0-33-3 03-36]0003 R(4)=2,R=3.R(4)<R,方程组无解。 (3)当元=1时，增广矩阵

5                     1 5 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 x x a x x a x x a x x a x x a 有解的充分必要条件为 0 5 1   i ai 。 解：增广矩阵                                                     5 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 ~ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 5 1 2 3 4 i i r r r r r a a a a a a a a a a A A b   ， 要使方程组有解， RA  RA  4 ，故 0 5 1   i ai 。 5、λ 取何值时，非齐次线性方程组               2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1      x x x x x x x x x ， ⑴有惟一解；⑵无解；⑶有无穷多个解？ 解：系数矩阵行列式    3 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1               A 。 ⑴ 当   1,2 时， A  0 ，方程组有惟一解； ⑵ 当   2 时，增广矩阵                                                                   0 0 0 3 0 3 3 3 1 2 1 2 ~ 0 3 3 6 0 3 3 3 1 2 1 2 ~ 1 1 2 4 2 1 1 1 1 2 1 2 ~ 1 1 2 4 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 2 2 r 2r r r r r r r r r A A b   RA  2, RA  3, RA  RA ，方程组无解。 ⑶ 当  1 时，增广矩阵