《线性代数》课程电子教案（C）第三章 矩阵的运算 3-1 矩阵的运算

第3-1节 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 重点： 矩阵运算的定义、条件，矩阵可逆的定义、条件，逆矩阵的求 法。 难点： 矩阵可逆的条件、逆矩阵的求法 教学目的要求： (1)掌握矩阵运算的定义： (2)熟悉矩阵运算的条件； (3)熟悉矩阵运算的性质： 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业 1.会进行矩阵运算. 2.掌握矩阵运算的性质. 参考资料 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

第 3-1 节 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 重点： 矩阵运算的定义、条件，矩阵可逆的定义、条件，逆矩阵的求 法。 难点： 矩阵可逆的条件、逆矩阵的求法 教学目的要求： （1）掌握矩阵运算的定义； （2）熟悉矩阵运算的条件； （3）熟悉矩阵运算的性质； 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 1．会进行矩阵运算. 2．掌握矩阵运算的性质. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

第三章矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 行数、列数分别相等的矩阵成为同型矩阵 两个同型矩阵A=(a,),B=(亿，)n,如果它们对应的元素均相等，即 a,=b,=l2.,mj=12,m),则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B 一、矩阵的加法 定义1设矩阵A=(a,),B=(6,),称矩阵 C=(ag+by)w 为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B. 设矩阵A=(ay)mm,称矩阵（一ay)n为A的负矩阵，记作-A,即 -A=(-ay)wn- 利用负矩阵，矩阵的减法可定义为 A-B=A+(B）. 由矩阵加减法的定义，可以看出只有同型矩阵才能进行加法或减法运算。 矩阵的加法满足下列运算规律（设AB,C都是m×n阶矩阵，0是m×n阶零 矩阵)： (1)A+B=B+A: (2)(A+B)+C=A+(B+C): (3)A+0=A: (4)A+(-A)=0. 例1求矩阵X,使 [123-1「0-123 2012+X=301-1 -110-112-20

第三章 矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算 行数、列数分别相等的矩阵成为同型矩阵 两个同型矩阵 A  aij mn ( ) ， B  bij mn ( ) ，如果它们对应的元素均相等，即 a b (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) ij  ij     ，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A  B . 一、矩阵的加法 定义 1 设矩阵 A  aij mn ( ) ， B  bij mn ( ) ，称矩阵 C  aij  bij mn ( ) 为矩阵 A 与矩阵 B 的和，记作 C  A B. 设矩阵 A= aij mn ( ) ,称矩阵 aij mn ( ) 为 A 的负矩阵，记作- A ,即 - A = aij mn ( ) . 利用负矩阵，矩阵的减法可定义为 A B= A +(- B ). 由矩阵加减法的定义,可以看出只有同型矩阵才能进行加法或减法运算. 矩阵的加法满足下列运算规律（设 A,B,C 都是 mn 阶矩阵, 0 是 mn 阶零 矩阵）： （1） A B  B  A ； （2） (A B) C  A (B C) ; （3） A 0= A ; （4） A +(- A )  0. 例 1 求矩阵 X ，使              1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 2 1 ＋ X =              0 1 3 2 1 2 2 0 1 1 3 0 . 解

二、数与矩阵的乘法 定义2设矩阵A=(a,)m,1是一个数，矩阵(a,)mn称为数与矩阵A的乘 积，记作4或A入，即 A1=24=(7an)mn 由定义2知，数乘以矩阵与数乘以行列式显然是不同的. 根据定义容易验证，数与矩阵的乘法满足下列运算规律（设A,B为m×矩 阵，1,4为数)： (1)(u④=(0A: (2)(+)A=M+M: (3)(A+B)=M+B: (4)1A=A. 注：矩阵的加法与数乘运算构成矩阵的线性运算，满足上面八条运算规律， 因此，所有m×n矩阵构成的集合，连同矩阵的加法与数乘运算为线性空间.我们 将在第六章进行介绍 例2设 46。[ 求2A-3B. 解 48á日；到 「28-10]「90-211「-78111 402尸-336L7-3-4 线性变换的系数构成的m×n矩阵

X ＝              0 1 3 2 1 2 2 0 1 1 3 0 －              1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 2 1 ＝                1 2 1 0 0 3 3 1 4 2 1 1 ． 二、数与矩阵的乘法 定义２ 设矩阵 A = aij mn ( ) , 是一个数,矩阵 aij mn ( ) 称为数与矩阵 A 的乘 积,记作 A 或 A ,即 A =A= aij mn ( ) . 由定义２知，数乘以矩阵与数乘以行列式显然是不同的． 根据定义容易验证，数与矩阵的乘法满足下列运算规律（设 A , B 为 mn 矩 阵，  ,  为数）： （1） (A)  ()A ； （2） (  )A  A A ; （3） (A B)  A B ; （4） 1A  A. 注：矩阵的加法与数乘运算构成矩阵的线性运算，满足上面八条运算规律， 因此，所有 mn 矩阵构成的集合，连同矩阵的加法与数乘运算为线性空间.我们 将在第六章进行介绍. 例 2 设                1 1 2 3 0 - 7 , 2 0 1 1 4 - 5 A B , 求 2A 3B. 解 2A 3B                 1 1 2 3 0 7 3 2 0 1 1 4 5 2                          7 3 4 7 8 11 3 3 6 9 0 21 4 0 2 2 8 10 线性变换的系数构成的 mn 矩阵

[a1a2.am . Laa2.am 称为线性变换的系数矩阵。 三、矩阵的兼法 在引进矩阵的乘法运算之前，我们先考察线性变换， 设变量，y2,.,y能用变量x,x2,.,xn线性表示，即 y=aX1+azx2+.+anxa, 2=a2+a222+.+a2nx, ，”▣ ym=am+an22+.+axn 其中a,=12,m,广=12.，m)为常数.这种从x,x2,.,x,到片乃2，.，yn的变 换叫做线性变换.此线性变换的系数构成的m×n矩阵 aa2.am a1a22.a2n dm d2.an 称为线性变换的系数矩阵 设两个线性变换 =a11+a1z2+a1x3 (3-1) y=a21x1+a2z2+a233 x=b41+b42, x2=b24+b22 (3-2) x3=b34+bh2, 为求出从1,12到y,y,的线性变换，可将(3-2)式代入(3-1)式得： 「y=(a1b1+a12b21+a1b3i)M1+(a1b2+a12b2+a1b2)k2 (3-3) y=(az bu+azba+ab+(azb2+azbz2+azb2)2 线性变换(3-3)可看成是先作线性变换(3-1)再作线性变换(3-2)的结果，我们把 线性变换(3-3)叫做线性变换(3-1)与(3-2)的乘积，相应地把(3-3)所对应的系数 矩阵定义为(3-1)与(3-2)所对应的系数矩阵的乘积，即

            n n n n n n a a a a a a a a a . 1 2 21 22 2 11 12 1        称为线性变换的系数矩阵． 三、矩阵的乘法 在引进矩阵的乘法运算之前，我们先考察线性变换. 设变量 m y , y , , y 1 2  能用变量 n x , x , , x 1 2  线性表示,即                    , , , 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x          其中 a (i 1,2, ,m, j 1,2, ,n) ij     为常数.这种从 n x , x , , x 1 2  到 m y , y , , y 1 2  的变 换叫做线性变换.此线性变换的系数构成的 mn 矩阵             m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 称为线性变换的系数矩阵. 设两个线性变换          , , 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 y a x a x a x y a x a x a x (3-1)            , , , 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 x b t b t x b t b t x b t b t (3-2) 为求出从 1 2 t ,t 到 1 2 y , y 的线性变换，可将(3-2)式代入(3-1)式得：                ( ) ( ) . ( ) ( ) , 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 2 y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t (3-3) 线性变换(3-3)可看成是先作线性变换(3-1)再作线性变换(3-2)的结果,我们把 线性变换(3-3)叫做线性变换(3-1)与(3-2)的乘积，相应地把(3-3)所对应的系数 矩阵定义为(3-1)与(3-2)所对应的系数矩阵的乘积，即

ab+aba+abs ab2+abz2+anb32 da dzs a ba b Lazb+aba+ab3 ab2+ab2+azbs2 一般地，我们有 定义3设A=(a,)是m×s矩阵，B=(b,)是s×n矩阵，作m×n矩阵C=(C,), 其中 cy=a1b,+aab,+.+abg=∑asbg(i=l2,m:j=l2,.,n), 矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB,即 a a2.a.）b,b2.bn） a2i22.a2b2b2. . dal d2.am]八bib2. bm ab1+.+a,b,1.4bn+.+a.bn a2ib1t.+a2b.abn++.+a,bn 注意，在矩阵乘积的定义中，只有当左边矩阵A的列数与右边矩阵B的行数 相等时，乘积AB才有意义，这时矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等 于矩阵B的列数且AB的第i行第j列的元素是A的第í行与B的第j列的对应元 素乘积之和. 例3设 102-1 2 A=01-13, B (-1201 03 14 [1x1+0×2+2×0-1×11×2+0x1+2×3-1×41 「04 AB=0×1+1×2-1×0+3×10×2+1×1-1×3+3×4 =510 -1×1+2×2+0×0+1×1-1×2+2×1+0×3+1×444 例3中，矩阵B的列数为2，A的行数为3，所以B与A不能相乘，即BA无

      21 22 23 11 12 13 a a a a a a           32 22 12 31 21 11 b b b b b b ＝               2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 一般地，我们有 定义３ 设 A= ( ) aij 是 m s 矩阵， B ＝( ) bij 是 sn 矩阵，作 mn 矩阵 ( ) ij C  c ， 其中       s k ij ai b j ai b j aisbsj aikbkj c 1 1 1 2 2  ( i 1,2,  ,m；j 1,2,  ,n ), 矩阵 C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积，记作 C  AB ,即               m m ms s s a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1               s s sn n n b b b b b b b b b        1 2 21 22 2 11 12 1 =                            m ms s m n ms s n s s n s s n s s n s s n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b             1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 注意，在矩阵乘积的定义中，只有当左边矩阵 A 的列数与右边矩阵 B 的行数 相等时，乘积 AB 才有意义，这时矩阵 C 的行数等于矩阵 A 的行数， C 的列数等 于矩阵 B 的列数且 AB 的第 i 行第 j 列的元素是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的对应元 素乘积之和. 例 3 设 A =              1 2 0 1 0 1 1 3 1 0 2 1 ， B =               1 4 0 3 2 1 1 2 解                                                        1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 1 0 3 1 4 0 1 1 2 1 0 3 1 0 2 1 1 1 3 3 4 1 1 0 2 2 0 1 1 1 2 0 1 2 3 1 4 AB            4 4 5 10 0 4 . 例 3 中，矩阵 B 的列数为 2，A 的行数为 3，所以 B 与 A 不能相乘，即 BA 无