《线性代数》课程电子教案（C）第四章线性方程组 4-3 非齐次线性方程组

§4.3非齐次线性方程组 对于非齐次线性方程组 aux+an2x2 +.+aux=b a211+a22x2++a2nxn=b2 (4-1) amx+am2x2+.+amx=b 记 a . b A- . . a 则线性方程组(4-1)矩阵形式为Ar=b 齐次线性方程组 a1x+a12X2+.+a1nxn=0, a21x1+a22x2+.+a2mxn=0, (4-5) am+am2x2+.+am=0 的矩阵形式为Ax=0. 我们称方程组(4-5)为方程组(4-1)所对应的齐次线性方程组或导出组. 非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质： 性质1设x=n,及x=,都是方程组(4-)的解，则x=-是其对应的齐次方程 组(4-5)的解 证4A(n,-2)=An-An2=b-b=0,即x=n+2是(45)的解 性质2设x=n是(4-1)的解，x=5是(45)的解，则x=5+n是4-1)的解 证A(5+7)=A5+An=0+b=b,即x=5+n是(4-1)的解 由性质1知，若求出(41)的一个解n,则(4-1)的任一解x总可以表示为 x=(x-n)+n=5+n, 其中ξ=x-n为方程组(4-5)的解，即方程组(4-1)的任一解都可以表示为它的一个特定 解)与它的导出组的解的和.又若方程组(4-5)的通解为

§4.3 非齐次线性方程组 对于非齐次线性方程组                。 ， m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , (4-1) 记               n n mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 ，        n x x x x 2 1 ，        mb b b b 2 1 . 则线性方程组(4-1)矩阵形式为 Ax  b . 齐次线性方程组                0. 0 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ， (4-5) 的矩阵形式为 Ax  0 . 我们称方程组(4-5)为方程组(4-1)所对应的齐次线性方程组或导出组. 非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质： 性质 1 设  1 x 及  2 x 都是方程组(4-1)的解，则 1 2 x 是其对应的齐次方程 组(4-5)的解. 证 ( ) 0 A 1 2  A1  A2  b  b  ,即 1  2 x 是(4-5)的解. 性质 2 设 x   是(4-1)的解, x   是(4-5)的解,则 x    是(4-1)的解. 证 A( )  A  A  0  b  b ,即 x    是(4-1)的解. 由性质 1 知,若求出(4-1)的一个解 *  ,则(4-1)的任一解 x 总可以表示为 ( ) * x  x  + *  = *   ， 其中 *   x  为方程组(4-5)的解，即方程组(4-1)的任一解都可以表示为它的一个特定 解 *  与它的导出组的解的和.又若方程组(4-5)的通解为

x=k5+k52+.+k。5n,+刀 而由性质2可知，对任何数k,k,k,上式总是方程(4-)的解，于是方程组(4-1)的通 解为 x=k51+k,52+.+km-5m,+刀 其中，刀是(4-1)的一个解，k5+k52+.+kn-5n-是(4-5)的通解 例1求解方程组 x+x2-3x3-x4=1, 3x1-x2-3x3+4x4=4 x1+5x2-9x3-8x4=0. 解对增广矩阵A进行初等行变换化成行最筒形 「11-3-1115-3「11-3-111 A=3-1-344 0-4671 15-9-805-r04-6-7-1 10-3 3 4. 01 5-2 5x3000。 01- 4 于是得与原方程组同解的方程组 3 3 4 5 x2- 2-4x=-4 2 西=++4 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为

* x  k1 1  k 2 2  k nr nr  , 而由性质 2 可知,对任何数 n r k k k   , , , 1 2 ,上式总是方程(4-1)的解,于是方程组(4-1)的通 解为 * x  k1 1  k 2 2  k nr nr  . 其中, *  是(4-1)的一个解， n r n r k k k 1 1  2 2     是(4-5)的通解. 例 1 求解方程组                  5 9 8 0. 3 3 4 4, 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵 A进行初等行变换化成行最简形              1 5 9 8 0 3 1 3 4 4 1 1 3 1 1 A 3 1 2 1 ~ 3 r r r r               0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 1 1 3 1 1 ) 4 1 (~ 2 3 2    r r r            0 0 0 0 0 4 1 4 7 2 3 0 1 1 1 3 1 1 ~ 1 2 r  r           0 0 0 0 0 4 1 4 7 2 3 0 1 4 5 4 3 2 3 1 0 于是得与原方程组同解的方程组             , 4 1 4 7 2 3 , 4 5 4 3 2 3 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 即            . 4 1 4 7 2 3 , 4 5 4 3 2 3 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为

5= 3-23-21 5 34740 1 取x,x4=0的原方程组的一个解 5 n"= 0 因此，原方程组的通解为 「x1 =kj X: 323-2 40 + x.J 0 1 0 其中k,k2为任意数. 例2求解方程组 x1-2x2+3x3-x4=1 3x1-x2+5x3-3x4=2, 2x,+x2+2x3-2x4=3 解对增广矩阵A进行初等行变换，化为行最简形 「1-23-115-3[1-23-111 A=3-15-32~05-40-1 212-235-205-401 「1-23-111 5-605-40- -00002] 可见，R(4A)=2,R()=3,故方程组无解 例3求解方程组

       0 1 2 3 2 3  1 ,        1 0 4 7 4 3  2 . 取 , 0 x3 x4  的原方程组的一个解         0 0 4 1 4 5 *  . 因此,原方程组的通解为       4 3 2 1 x x x x =       0 1 2 3 2 3 1 k +       1 0 4 7 4 3 2 k +       0 0 4 1 4 5 , 其中 1 2 k , k 为任意数. 例 2 求解方程组                  2 2 2 3. 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵 A进行初等行变换,化为行最简形 A             2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 3 1 2 1 2~ 3 r r r r              0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 ~ 3 2 r  r           0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 , 可见, R(A)  2 , R(A)  3,故方程组无解. 例 3 求解方程组

x1-x2-x3+x4=0, -x2+x3-3x4=1 -2x,+3x,=-7 解对增广矩阵A进行初等行变换化成行最简形 1-1-1105-51-1-110 =1-11-3 、002-4 1-1-23 25-00-12 ⅓对却1119 1-10-1 001-2 +0 01-2 5+0000 0000 可见R(A)=R(不=2，故方程组有解，与原方程组同解的方程组为 1 x-x2-x4= -2x= 即 =++分 5*2x+号 此方程组对应齐次方程组的一个基础解系为 1 5= /0 8 取名=0，得=名 即得原方程组的一个解为 0

                  . 2 1 2 3 3 1, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵 A进行初等行变换化成行最简形 A               2 1 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 0 3 1 2 1 ~ r r r r              2 1 0 0 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 0 3 2 2 2 1 r r r   ~          0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 2 1 1 1 1 0 ~ 1 2 r  r          0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 2 2 1 1 1 0 1 . 可见 R(A)  R(A)  2 ,故方程组有解，与原方程组同解的方程组为           . 2 1 2 , 2 1 3 4 1 2 4 x x x x x 即           . 2 1 2 , 2 1 3 4 1 2 4 x x x x x 此方程组对应齐次方程组的一个基础解系为        0 0 1 1  1 ，        1 2 0 1  2 . 取 2 4 x  x =0，得 2 1 x1  x3  ，即得原方程组的一个解为      0 2 1 0 2 1 * 

因此原方程组的通解为 +kz 其中k,k2为任意数

因此原方程组的通解为   4321 xxxx =  0011 1 k +  1200 2 k + 21  0101 ， 其中 1 2 k , k 为任意数