276第9章无穷级数"和p级数！基准级数的是等比级数(几何级数)aq"_(p>0).n=l将所给正项级数与等比级数比较，我们能够得到实用上很方便的比值审敛法设u,为正项级数，如果lim"=p，则定理4(达朗贝尔判别法)un=1)当p<1时级，数收敛；2）当p>1（或p=+0）时，级数发散；3）当p=1时，级数可能收敛也可能发散，证I)当p<1时，可取一个适当小的正数，使得p+=r<l.据极限的定义，对正数s，存在正整数N，当n>N时有不等式"<p+=r。因此unUN+<r-un,Un+2<r-un+<run,Un+<r-uN+2<r'uN+<r"-uy,相加有UN++u+2+u+3+..<r.u+?.un+r.uw+..-Erunk=l由0<r<1得级数≥r*ux收敛，再由定理2的推论知，级数≥u,收敛.K=N+12)当p>1时，取一个适当小的正数ε，使得p-6>1，据极限的定义，当n≥N时，有"ml>p-6>1,Un即Un>Un因此当n≥N时，级数的一般项u,是逐渐增大的，从而limu.0。由级数收敛的必要条件知u.发散，n=l类似地，可以证明当p=+时，级数u发散。n=l3)当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。如对于p级数之一，不论p取何值，总有np1/1nlim "m = lim=lim()P=1n-(n+1)p/npn-→ n+1n-ou.但是，该级数却在p>1时收敛，p≤1时发散。例6判定级数之的收敛性。n解因为n2nlim ml = lim-2lim=2>1,2"(n+1)#* n+1 u.2根据比值审敛法可知，级数二发散n2"n!0元=0例7证明limOS5n
276 第 9 章 无穷级数 基准级数的是等比级数(几何级数) 1 1 n n aq • - = Â 和 p 级数 1 1 ( 0) p n p n • = Â > ． 将所给正项级数与等比级数比较，我们能够得到实用上很方便的比值审敛法． 定理 4(达朗贝尔判别法) 设 1 n n u • = Â 为正项级数，如果 1 lim n n n u u r + Æ• = ，则 1) 当 r < 1时级，数收敛； 2) 当 r > 1（或 r = +• ）时，级数发散； 3) 当 r = 1时，级数可能收敛也可能发散． 证 1) 当 r < 1时，可取一个适当小的正数e ，使得 r +e = r < 1．据极限的定义，对正数e ，存在 正整数 N ，当 n > N 时有不等式 n 1 n u r u r e + < + = ．因此 N 1 N u r u + < × ， 2 N 2 N 1 N u r u r u + + < × < × ， 2 3 N 3 N 2 N 1 N u r u r u r u + + + < × < < × ，. 相加有 N 1 N 2 N 3 u u u + + + + + +L 2 3 N N N < r×u + r ×u + r ×u +L 1 k N k r u • = = Â ． 由0 < r <1得级数 1 k N k N r u • = + Â 收敛，再由定理 2 的推论知，级数 1 n n u • = Â 收敛． 2) 当 r > 1时，取一个适当小的正数e ，使得 r -e > 1，据极限的定义，当 n ³ N 时，有 1 1 n n u u r e + > - > ， 即 n 1 n u u + > ． 因此当n ³ N 时，级数的一般项 n u 是逐渐增大的，从而lim 0 n n u Æ• ¹ ．由级数收敛的必要条件知 1 n n u • = Â 发散． 类似地，可以证明当 r = +• 时，级数 1 n n u • = Â 发散． 3) 当 r = 1时，级数可能收敛，也可能发散．如对于 p 级数 1 1 p n n • = Â ，不论 p 取何值，总有 1 1 1 lim lim lim( ) 1 ( 1) 1 n p p p n n n n u n u n n n + Æ• Æ• Æ• = = = + + ． 但是，该级数却在 p > 1时收敛， p £ 1时发散． 例 6 判定级数 1 2 n n n • = Â 的收敛性． 解 因为 1 1 2 lim lim 2lim 2 1 2 ( 1) 1 n n n n n n n u n n u n n + + Æ• Æ• Æ• = = = > + + ， 根据比值审敛法可知，级数 1 2 n n n • = Â 发散． 例 7 证明 2 ! 2 lim cos 0 5 n n n n n n p Æ• = ．
第二节常数项级数的审法2772"n!cos?nm，只要能够证明u，收敛，则由级数收敛的必要条件必有limu,=0.因证设u=n5台为0s2元2"n!2"n!u,=cosV.nSn2"*(n+1)n"2nlim mt = lim 又-2lim(<" 2" nl(n + 1)+/1+n0VAe由比值审敛法知正项级数，收敛，再由比较审敛法知u.收敛.I1-11例8判别级数1+…的收敛性11x21x2×31x2×3x...x(n-1)解因为1x2×3x...x(n-1)12=lim=lim "m = lim1=0<1.1x2x3x...xnn-Unnan根据比值审敛法可知，所给级数收敛。将所给正项级数与等比级数比较，我们也可以得到实用上很方便的根值审敛法定理5(柯西判别法)设≥u,为正项级数，如果imvi=p，则Yu1=I1)当p<1时，级数收敛；2)当p>1(或p=+oo)时，级数发散：3)当p=1时，级数可能收敛也可能发散证1）当p<1时，可取一个适当小的正数ε，使得p+=r<1据极限的定义，对正数ε，存在正整数N，当n>N时有不等式/u<p+=r。即u<r"；而等比级数Zr"（0<r<1)是收敛的，NA由比较判别法知≥u,收敛；再由级数的性质得级数≥u.收敛.n=N+12)当p>1时，取一个适当小的正数，使得p->1，据极限的定义，当n≥N时有u>p-s>1，即u>1，因此级数的一般项不趋向于零，由级数收敛的必要条件知u.发散，n=1类似地，可以证明当p=+の时，级数≥"。发散。3)当β=1时，级数可能收敛，也可能发散。如级数之是收敛，而级数之！，是发散的，但2记nT11=lim(-)3=1，1limu,=liml=lim-=llimu,=limim=imnn例9判别级数()"的收敛性。=2n+1n1n<1，由根值判别法，级数（解因为lim/u,=lim)"是收敛的.#→#2n+122n+1=将所给正项级数与p级数作比较，可得在实用上较方便的极限审敛法
第二节 常数项级数的审敛法 277 证 设 n u = 2 ! 2 cos 5 n nn n n p ，只要能够证明 1 n n u • = Â 收敛，则由级数收敛的必要条件必有 lim 0 n n u Æ• = ．因 为 n u = 2 ! 2 2 ! cos 5 n n n n n n n n v n n p £ = ． 又 1 1 1 2 ( 1)! 2 lim lim 2lim( ) 1 2 !( 1) 1 n n n n n n n n n n v n n n v n n n e + + Æ + • Æ• Æ• + = = = < + + ， 由比值审敛法知正项级数 1 n n v • = Â 收敛，再由比较审敛法知 1 n n u • = Â 收敛． 例 8 判别级数 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (n 1) + + + + + + ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ - L L L 的收敛性． 解 因为 1 1 2 3 ( 1) 1 lim lim lim 0 1 1 2 3 n n n n n u n u n n + Æ• Æ• Æ• ¥ ¥ ¥ ¥ - = = = < ¥ ¥ ¥ ¥ L L ． 根据比值审敛法可知，所给级数收敛． 将所给正项级数与等比级数比较，我们也可以得到实用上很方便的根值审敛法． 定理 5(柯西判别法) 设 1 n n u • = Â 为正项级数，如果lim n n n u r Æ• = ，则 1) 当 r < 1时，级数收敛； 2) 当 r >1(或 r = +• )时，级数发散； 3) 当 r = 1时，级数可能收敛也可能发散． 证 1) 当 r < 1时，可取一个适当小的正数e ，使得 r +e = r < 1．据极限的定义，对正数e ，存在 正整数 N ，当 n > N 时有不等式 n n u < r + e = r ．即 n n u < r ；而等比级数 1 n n N r • = + Â ( 0 < r <1 )是收敛的， 由比较判别法知 1 n n N u • = + Â 收敛；再由级数的性质得级数 1 n n u • = Â 收敛． 2) 当 r > 1时， 取一个适当小的正数e ， 使得 r -e > 1， 据极限的定义， 当n ³ N 时有 n 1 n u > r -e > ， 即 1 n u > ，因此级数的一般项不趋向于零，由级数收敛的必要条件知 1 n n u • = Â 发散． 类似地，可以证明当 r = +• 时，级数 1 n n u • = Â 发散． 3) 当 r = 1时，级数可能收敛，也可能发散．如级数 2 1 1 n n • = Â 是收敛，而级数 1 1 n n • = Â 是发散的，但 2 21 1 lim n lim n lim( ) 1 n n n n n u Æ n n • Æ• Æ• = = = ， 1 1 lim n lim n lim 1 n n n n n u Æ n n • Æ• Æ• = = = ． 例 9 判别级数 1 ( ) 2 1 n n n n • = + Â 的收敛性． 解 因为lim n n n u Æ• = 1 lim 1 n 2 1 2 n Æ• n = < + ，由根值判别法，级数 1 ( ) 2 1 n n n n • = + Â 是收敛的． 将所给正项级数与 p 级数作比较，可得在实用上较方便的极限审敛法．