271第一节常数项级数的概念与性质证设级数u,的部分和为S，且lims,=s，则它的一般项u,与前n项部分和有关系式=u, = S, Sn-I,于是limu,=lim(s,-S-l)=lims,-limsn-l= s-s=0.a→推论如果级数u，的一般项u.不趋于零，则级数u。一定发散（性质5的逆否命题）.=注意级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件：有些级数虽然一般项趋于零，但仍然是发散的．如下面的例4所涉及的调和级数就是这样的例子例8证明调和级数711-in2n是发散的.证假设调和级数收敛于s，则调和级数的部分和s,满足lim.s,=s，lims2n=s，即lim(s2m-s,)=01111111n但+....S2n-S,=n+n2n+1n+2n+nn+nn+nn+n即lim(s2m-s,)+0,与假设调和级数收敛矛盾．这矛盾说明调和级数必定发散.例9判定级数≥(-1)"的收敛性。n+1解 lim u,=lim(-1)-_n*0，故级数发散n+1怎样判定一个级数的收敛性呢？我们有下述柯西审敛原理性质6（级数收敛的充分必要条件）级数≥u，收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数ε，总=存在正整数N，使得n>N时，对于任意的正整数p，都有Iu+ +un+2 +..+un+p Ke.a0证设级数u.的部分和为S，因为E[um+ +u+2 +...+u+pHSh+p-S, /,所以由数列的柯西极限存在准则（第一章第六节），即得本定理结论例10利用柯西审敛原理判定级数之的收敛性Mein解因为任何整数p，都有111Iun+! +Un+2 +...+un+p(n+1))(n+2)*(n+p)*111n(n+1)(n+1)(n+2)(n+p-1)(n+p)111(n+1n+2)(nn+l)（n+p-1n+p)nn+pn，则当n>N时，对任何正整数p，都有所以对于任意给定的正数，取正整数N≥
第一节 常数项级数的概念与性质 271 证 设级数 1 n n u • = Â 的部分和为 n S ，且lim n n s s Æ• = ，则它的一般项 n u 与前 n 项部分和有关系式 n n n 1 u s s = - - ， 于是 lim n n u Æ• = 1 1 lim( ) lim lim 0 n n n n n n n s s s s s s - - Æ• Æ• Æ• - = - = - = ． 推论 如果级数 1 n n u • = Â 的一般项 n u 不趋于零，则级数 1 n n u • = Â 一定发散（性质 5 的逆否命题）． 注意 级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件．有些级数虽然一般项趋于零，但仍然 是发散的．如下面的例 4 所涉及的调和级数就是这样的例子． 例 8 证明调和级数 1 1 n n • = Â 1 1 =1+ + + + 2 n L L 是发散的． 证 假设调和级数收敛于s ， 则调和级数的部分和 n s 满足lim n n s s Æ• = ， 2 lim n n s s Æ• = ， 即 2 lim( ) 0 n n n s s Æ• - = ． 但 2 1 1 1 1 2 n n s s n n n n - = + + + + + + L 1 1 1 n n n n n n > + + + + + + L 1 2 n n n = = + ， 即 2 lim( ) 0 n n n s s Æ• - ¹ ， 与假设调和级数收敛矛盾．这矛盾说明调和级数必定发散． 例 9 判定级数 1 1 ( 1) 1 n n n n • - = - + Â 的收敛性． 解 1 lim lim( 1) 0 1 n n n n n u n - Æ• Æ• = - ¹ + ，故级数发散． 怎样判定一个级数的收敛性呢？我们有下述柯西审敛原理． 性质 6 ( 级数收敛的充分必要条件) 级数 1 n n u • = Â 收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数ε ，总 存在正整数 N ，使得n > N 时，对于任意的正整数 p ，都有 | un+1 + un+2 +L + un+ p |< ε ． 证 设级数 1 n n u • = Â 的部分和为 n S ，因为 n+1 + n+2 + + n+ p = n+ p n | u u L u | | S - S | ， 所以由数列的柯西极限存在准则( 第一章第六节) ，即得本定理结论． 例 10 利用柯西审敛原理判定级数 2 1 1 n n • = Â 的收敛性． 解 因为任何整数 p ，都有 +1 +2 + 2 2 2 1 1 1 + + + = + + + ( +1) ( + 2) ( + ) n n n p u u u n n n p | L | L 1 1 1 < + + + n(n +1) (n +1)(n + 2) (n + p -1)(n + p) L 1 1 1 1 1 1 + + + n n +1 n +1 n + 2 n + p 1 n + p Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ = Á - ˜ Á - ˜ Á - ˜ Ë ¯ Ë ¯ Ë - ¯ L 1 1 n n + p = - 1 < n 所以对于任意给定的正数ε ，取正整数 1 N ε ³ ，则当n > N 时，对任何正整数 p ，都有
272第9章无穷级数Iu+ +u2 +.+u+pKe成立。按柯西审敛原理，级数一收敛n
272 第 9 章 无穷级数 | un+1 + un+2 +L + un+ p |< ε 成立．按柯西审敛原理，级数 2 1 1 n n • = Â 收敛．
273第二节常数项级数的审敛法第二节常数项级数的审敛法一、正项级数的审敛法一般情况下，常数项级数的各项可以是正数、负数或者为零，现在我们讨论各项是正数或为零的级数，这种级数称为正项级数，以后会看到许多级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题，1.正项级数收敛的充要条件定理1正项级数u，收敛的充要条件是部分和数列(s）有界=证必要性：设s,为正项级数≥u。（u,≥0)的部分和，显然数列(s.)是一个单调递增数列：alS,≤s,≤S,≤...≤S.≤...如果(s）有界，即s,总不大于某个常数M，根据单调有界的数列必有极限的准则，正项级数>u,必收n=l敛于和s，且s≤s<M.充分性：如果正项级数u,收敛于和s，即lims,=s，根据有极限的数列是有界数列这一性质知，数列(s有界定理1表明：判断正项级数的收敛问题，可化为判断该级数的部分和数列(s是否有界的问题1例1证明级数文是收敛的.胎n(n+1)证因为11-(1-<1S.+1x22×32nn+ln+1nx(n+1)321故即对一切正整数n，都有s<1成立，也就是正项级数的部分和数列有界，古收敛=n(n+1)1F111例2讨论正项级数的收敛性1+-1台n!！!2!n!解因为二、21（n=12），于是1-(1-24-1)1.11≤1+!+111=1+2-2<2.s.:20+2+23112 m-1121n!2即该正项级数的部分和数列有界，故级数之六收效。n!2.正项级数的几个审敛法一般来说，判断s有界并不容易，因而不直接利用定理1来判断正项级数的收敛性，而是借助于定理1，我们可建立一系列具有较强实用性的正项级数审敛法来判断正项级数的收敛性
第二节 常数项级数的审敛法 273 第二节 常数项级数的审敛法 一、正项级数的审敛法 一般情况下，常数项级数的各项可以是正数、负数或者为零．现在我们讨论各项是正数或为零的 级数，这种级数称为正项级数，以后会看到许多级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题． 1. 正项级数收敛的充要条件 定理 1 正项级数 1 n n u • = Â 收敛的充要条件是部分和数列{ }n s 有界． 证 必要性：设 n s 为正项级数 1 n n u • = Â ( 0) n u ³ 的部分和，显然数列{ }n s 是一个单调递增数列： 1 2 3 n s £ s £ s £L£ s £L ． 如果{ }n s 有界，即 n s 总不大于某个常数M ，根据单调有界的数列必有极限的准则，正项级数 1 n n u • = Â 必收 敛于和s ，且 n s £ s £ M ． 充分性：如果正项级数 1 n n u • = Â 收敛于和s ，即lim n n s s Æ• = ，根据有极限的数列是有界数列这一性质知， 数列{ }n s 有界． 定理 1 表明：判断正项级数的收敛问题，可化为判断该级数的部分和数列{ }n s 是否有界的问题． 例 1 证明级数 1 1 n n(n 1) • = + Â 是收敛的． 证 因为 1 1 1 1 2 2 3 ( 1) n s n n = + + + ¥ + L ¥ ¥ 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n n 1 - + - + + - + L 1 1 n 1 = - + ＜1． 即对一切正整数n ，都有 1 n s < 成立，也就是正项级数的部分和数列有界，故 1 1 n n(n 1) • = + Â 收敛． 例 2 讨论正项级数 1 1 1 1 1 n n! 1! 2! n! • = Â = + +L+ +L 的收敛性． 解 因为 1 1 1 ! 2 n n - £ (n = 1,2,L ) ，于是 1 1 1 1! 2! ! n s n = + +L+ ≤ 2 1 1 1 1 1 2 2 2 n- + + +L+ 1 1 1 (1 ) 2 2 1 1 1 2 n- - = + - 1 1 2 2 2 n- = - < ． 即该正项级数的部分和数列有界，故级数 1 1 n n! • = Â 收敛． 2. 正项级数的几个审敛法 一般来说，判断 n s 有界并不容易，因而不直接利用定理 1 来判断正项级数的收敛性，而是借助于 定理 1，我们可建立一系列具有较强实用性的正项级数审敛法来判断正项级数的收敛性．
274第9章无穷级数定理2(比较判别法）设u，和，y都是正项级数，且u,≤v.(n=1,2,).=l1）若级数收敛，则级数u也收敛.II2)若级数≥u,发散，则级数之也发散.n=ll证I)设正项级数收敛于和α，则正项级数u,的部分和n=1=S, =u+u,+..+u,Sy+v+...+y,≤o,即部分和数列[5)有界，故正预级数≥",收敏。=1反之，设正项级数u.发散，则它的部分和n=ls,=u,+u,++u→+oo (n→)I因u≤v，则正项级数广的部分和n=lo,=y,+v,+...+v,≥u,+u,+..+u,=s,即之发散.所以当n→时→+，n=l2)用反证法由于级数的每项同乘一个不为零的常数以及去掉级数的有限项不改变级数的敛散性，因而比较审敛法又可表述如下：推论设u，和，都是正项级数，二则u.收敛；I)如果收敛，且存在正整数N，当n≥N时有u,≤ky,（k>0)成立，贝2)如果u发散，且存在正整数N，当n≥N时有u,≥kv,（k>0)，则发散二=l1例3证明级数1+1+1+1++...++是发散的3572n-11>>0.而级数与调和级数之！有相同的敛散性，因之！证因为级数的一般项u,2n-12n12ninn亦发散，由正项级数的比较判别法，得级数之。！31是发散的，即级数>也发散台2n-12n例4讨论p级数1311_=1++...++.. (p>0)20+3P+Einpnp的收敛性，1>1解当p≤1时≥一；由于调和级数是发散的，根据比较判别法，当p≥1时p级数是发散的：npn当p>1时，顺序把所给级数一项、两项、四项、八项.括在一起，得到
274 第 9 章 无穷级数 定理 2 (比较判别法) 设 1 n n u • = Â 和 1 n n v • = Â 都是正项级数，且 n n u £ v (n = 1,2,L ) ． 1) 若级数 1 n n v • = Â 收敛，则级数 1 n n u • = Â 也收敛． 2) 若级数 1 n n u • = Â 发散，则级数 1 n n v • = Â 也发散． 证 1) 设正项级数 1 n n v • = Â 收敛于和s ，则正项级数 1 n n u • = Â 的部分和 n 1 2 n 1 2 n s = u + u +L+ u £ v + v +L + v £s ， 即部分和数列{ }n s 有界，故正项级数 1 n n u • =Â 收敛． 反之，设正项级数 1 n n u • = Â 发散，则它的部分和 1 2 ( ) n n s = u + u +L + u Æ +• n Æ • ， 因 n n u £ v ，则正项级数 1 n n v • = Â 的部分和 n 1 2 n 1 2 n n s = v + v +L+ v ³ u + u +L + u = s ． 所以当n Æ • 时s n Æ +• ，即 1 n n v • = Â 发散． 2) 用反证法 由于级数的每项同乘一个不为零的常数以及去掉级数的有限项不改变级数的敛散性，因而比较审 敛法又可表述如下： 推论 设 1 n n u • = Â 和 1 n n v • = Â 都是正项级数， 1) 如果 1 n n v • = Â 收敛，且存在正整数 N ，当 n ³ N 时有 n n u £ kv (k > 0) 成立，则 1 n n u • = Â 收敛； 2) 如果 1 n n u • = Â 发散，且存在正整数 N ，当 n ³ N 时有 n n u ³ kv (k > 0) ，则 1 n n v • = Â 发散． 例 3 证明级数 1 1 1 1 1 3 5 7 2n 1 + + + + + + - L L是发散的． 证 因为级数的一般项 1 2 1 n u n = - ＞ 1 2n ＞0， 而级数 1 1 n 2n • = Â 与调和级数 1 1 n n • = Â 有相同的敛散性， 因 1 1 n n • = Â 是发散的，即级数 1 1 n 2n • = Â 亦发散，由正项级数的比较判别法，得级数 1 1 n 2n 1 • = - Â 也发散． 例 4 讨论 p 级数 1 1 p n n • = Â 1 1 1 =1 2 3 p p p n + + +L+ +L ( p > 0) 的收敛性． 解 当 p £ 1时 1 1 p n n ³ ；由于调和级数是发散的，根据比较判别法，当 p ³ 1时 p 级数是发散的； 当 p > 1时，顺序把所给级数一项、两项、四项、八项.括在一起，得到
275第二节常数项级数的审法-111-171=1+=1++anP2P3P203PSA7P8p15Pnp4F6P11111111<1+6)+(+2元+20）4+4+4+48P8P8u=1+(2-)+1但最后一个级数是等比级数，其公比=<1，所以收敛，于是，当p>1时p级数收敛，2A1综上所述：p级数当p≤1时发散；当p>1时收敛，为了应用上更为方便，我们给出比较审敛法的极限形式，定理 3(比较审效法的极限形式)） 设≥ 。 均为正项级数，二立1）若1im=1(0≤1<+0)，且级数≥收敛，则级数u,收敛：1n2)若lim=1>0或lim=+0，且级数Z发散，则级数u.发散n-ye VnVaVe=I证I)由极限的定义，取ε=I，存在着正整数N，当n>N时有不等式<I+1成立，即V.u<(I+1).而级数Z，收敛，根据比较审敛法的推论，知级数u收敛。=I202)按已知条件知，极限lim兰存在，如果级数≥u。收敛，由1)的知，级数收敛，这与≥。1E=IPal发散矛盾，因此级数之u，发散。极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项都趋于零的情况下，其实是比较它们一般项作为无穷小的阶。定理表明，当乃→时，如果u,是与，同阶无穷小或比，高阶的无穷小，而级数≥。n=1收敛，则级数之u,收敛；如果u,是与同阶无穷小或比v低阶的无穷小，而级数之。发散，则级数=IZu.发散.=1例5判定级数文的收敛性，台n(n+I)解因为1lim In(n+1)1= lim=1>0,n-Vnann而级数之二发散，根据极限形式的比较审敛法，所给级数发散。in应用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数又，作为比较的基准。最常选用作=
第二节 常数项级数的审敛法 275 1 1 p n n • = Â 1 1 1 =1 2 3 p p p n + + +L+ +L 1 1 1 1 1 1 1 1 =1 ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 15 p p p p p p p p + + + + + + + +L+ +L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <1 ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 4 4 8 8 8 p p p p p p p p p + + + + + + + + +L+ +L 2 3 1 1 1 1 1 1 =1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 p- p- p- + + + +L ． 但最后一个级数是等比级数，其公比 1 1 2 p q - = ＜1，所以收敛．于是，当 p > 1时 p 级数收敛． 综上所述： p 级数当 p £ 1时发散；当 p > 1时收敛． 为了应用上更为方便，我们给出比较审敛法的极限形式． 定理 3 (比较审敛法的极限形式) 设 1 1 , n n n n u v • • = = Â Â 均为正项级数， 1) 若lim n n n u l Æ• v = ( 0 £ l < +• )，且级数 1 n n v • = Â 收敛，则级数 1 n n u • = Â 收敛； 2) 若lim 0 n n n u l Æ• v = > 或lim n n n u Æ• v = +• ，且级数 1 n n v • = Â 发散，则级数 1 n n u • = Â 发散． 证 1) 由极限的定义，取 e =1 ，存在着正整数 N ，当 n > N 时有不等式 1 n n u l v < + 成立，即 ( 1) n n u < l + v ．而级数 1 n n v • = Â 收敛，根据比较审敛法的推论，知级数 1 n n u • = Â 收敛． 2) 按已知条件知，极限lim n n n v Æ• u 存在，如果级数 1 n n u • = Â 收敛，由1) 的知，级数 1 n n v • = Â 收敛．这与 1 n n v • = Â 发散矛盾，因此级数 1 n n u • = Â 发散． 极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项都趋于零的情况下，其实是比较它们一般项作 为无穷小的阶．定理表明，当n Æ • 时，如果 n u 是与 n v 同阶无穷小或比 n v 高阶的无穷小，而级数 1 n n v • = Â 收敛，则级数 1 n n u • = Â 收敛；如果 n u 是与 n v 同阶无穷小或比 n v 低阶的无穷小，而级数 1 n n v • = Â 发散，则级数 1 n n u • = Â 发散． 例 5 判定级数 1 1 n n(n 1) • = + Â 的收敛性． 解 因为 1 ( 1) 1 lim lim 1 0 1 1 1 n n n n n n Æ• Æ• + = = > + ， 而级数 1 1 n n • = Â 发散，根据极限形式的比较审敛法，所给级数发散． 应用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数 1 n n v • = Â 作为比较的基准．最常选用作